向量组的线性表示PPT学习教案

1、会计学1 向量组的线性表示向量组的线性表示 ),( 21n T aaaa n a a a a 2 1 维向量写成一行，称为维向量写成一行，称为行向量行向量，也就是行，也就是行 矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等表示，如： T TTT ba , n 维向量写成一列，称为维向量写成一列，称为列向量列向量，也就是列，也就是列 矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等表示，如： ,ba n n 第1页/共23页 注意注意 行向量和列向量总被看作是行向量和列向量总被看作是两个不同的两个不同的 向量向量； 行向量和列向量都按照行向量和列向量都按照矩阵的运算法则矩阵的运算法则 进行运算；进行运算； 当没有

2、明确说明是行向量还是列向量时，当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作都当作列向量列向量. 第2页/共23页 向量向量 )3( n 解析几何解析几何线性代数线性代数 既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量有次序的实数组成的数组有次序的实数组成的数组 几何形象：可随意几何形象：可随意 平行移动的有向线段平行移动的有向线段 代数形象：向量的代数形象：向量的 坐标表示式坐标表示式 ),( 21n T aaaa 第3页/共23页 空间空间 )3( n 解析几何解析几何线性代数线性代数 点空间点空间：点的集合：点的集合 向量空间向量空间：向量的集合：向量的集合 代数形象：向量空代数形象：向量空 间

3、中的平面间中的平面 dczbyaxzyxr T ),( 几何形象：空间几何形象：空间 直线、曲线、空间直线、曲线、空间 平面或曲面平面或曲面 dczbyaxzyx ),( ),(zyxP),(zyxr T 一一对应一一对应 第4页/共23页 R xxxxxx x Rnn n T ,),( 2121 b xaxaxaxxx x nnn T 22 1121 ),( 叫做叫做 维向量空间维向量空间n 时，时， 维向量没有直观的几何形象维向量没有直观的几何形象n3 n 叫做叫做 维向量空间维向量空间 中的中的 维超平面维超平面Rn n 1 n 第5页/共23页 确定飞机的状态，需确定飞机的状态，需 要

4、以下要以下6个参数：个参数： 飞机重心在空间的位置参数飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z) 机身的水平转角机身的水平转角 )20( 机身的仰角机身的仰角 ) 22 ( 机翼的转角机翼的转角 )( 所以，确定飞机的状态，需用所以，确定飞机的状态，需用6维向量维向量 ),( zyxa 维向量的实际意义维向量的实际意义n 第6页/共23页 向量相等：向量相等： = (a1, a2, , an), =(b1, b2, , bn) 零向量：零向量： 第7页/共23页 ; )(); ,0; ,()0; 容易验证向量的线性运算满足下面的运算规律: (1) 向量加法满足 1) 交换律 2) 结合律 ( 3

5、) 对任一向量有 4) 对任一向量有 (2) 向量的数乘运算满足 1) 1= ; ()()() ; (3) ; 2); , , k ll kkl k klkl nk l 2) 向量的线性运算成立分配律 1) k()=k () = 上述均为 维向量均为实数. 第8页/共23页 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量若干个同维数的列向量（或同维数的行向量 ）所组成的集合叫做向量组）所组成的集合叫做向量组 例如例如维列向量维列向量个个有有矩阵矩阵mnaijA nm )( aaaa aaaa aaaa A mnmjmm nj nj 21 222221 111211 a1 . , , 的列向量组的列向量

6、组称为矩阵称为矩阵向量组向量组A a1a2an a2ajana1a2ajan 第9页/共23页 维行向量维行向量个个又有又有矩阵矩阵类似地类似地nm ij a A nm )( , aaa aaa aaa aaa A mnmm inii n n 21 21 22221 11211 T 1 T 2 T i T m T 1 T 2 T i T m 向量组向量组 , , ， 称为矩阵称为矩阵A的行向量组的行向量组 T 1 T 2 T m 第10页/共23页 反之，由有限个向量所组成的向量组可以反之，由有限个向量所组成的向量组可以 构成一个矩阵构成一个矩阵. 矩阵构成一个 组维列向量所组成的向量个 mn

7、 nm m , 21 矩矩阵阵构构成成一一个个 的的向向量量组组 维维行行向向量量所所组组成成个个 nm nm T m TT , 21 T m T T B 2 1 ),( 21m A 第11页/共23页 b xaxaxa nn 2211 线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示 . , , 2211 22222121 11212111 bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa mnmnmm nn nn 方程组与增广矩阵的列向量组之间方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应一一对应 第12页/共23页 ，组实数组实数 ，对于任何一，对于任何一给定向量组给定向量组 m m kkk A , ,:

8、 21 21 定义定义 . , 21 个线性组合的系数个线性组合的系数 称为这称为这， m kkk，称为向量组的一个称为向量组的一个 向量向量 2211mm kkk 线性组合线性组合 1234 1234 1110 :, 1201 1110 2323 1201 A aaaa Aaaaa 向量组 向量组 的一个线性组合： 例例 第13页/共23页 mm b 2211 ，使，使，一组数一组数 如果存在如果存在和向量和向量给定向量组给定向量组 m m bA , ,: 21 21 . 2211 有解有解 即线性方程组即线性方程组 bxxx mm 的线性组合，这时称的线性组合，这时称是向量组是向量组则向量

9、则向量Ab 向量向量 能能 由向量组由向量组 线性表示线性表示 b A 第14页/共23页 1234 1234 11106 :, 12017 23 A aaaab aaaab 123 124 6 27 xxx xxx 方程组方程组 有解有解. 例例 11223344 bx ax ax ax a 第15页/共23页 定义定义 . .,:,: 2121 这两个这两个能相互线性表示，则称能相互线性表示，则称量组量组 与向与向若向量组若向量组称称 线性表示，则线性表示，则向量组向量组组中的每个向量都能由组中的每个向量都能由若若 及及 设有两个向量组设有两个向量组 B A AB BA sm 向量组向量组

10、 能由向量组能由向量组 线性表示线性表示 向量组等价向量组等价 BA 第16页/共23页 例例 设有两个向量组设有两个向量组A : : 及及B : : 112212 112212 ,2, 2, ,2, 2, baabaa abbabb 12 10 , 01 aa 12 11 , 12 bb 则称向量组向量组A与向量组与向量组B等价等价. 第17页/共23页 使使在数在数 存存量量线性表示，即对每个向线性表示，即对每个向能由能由 （和和（若记若记 , ), 2 , 1( ).,), 21 2121 mjjj j sm kkk sjbA BbbbBA mmjjjj kkkb 2211 ,), 2

11、1 21 mj j j m k k k （ 第18页/共23页 ), 21s bbb（ 从而从而 msmm s s m kkk kkk kkk 21 22221 11211 21 ), （ . )(数数矩矩阵阵称称为为这这一一线线性性表表示示的的系系矩矩阵阵 ijsm kK 第19页/共23页 矩阵：矩阵： 为这一表示的系数为这一表示的系数的列向量组线性表示，的列向量组线性表示，矩阵矩阵 的列向量组能由的列向量组能由，则矩阵，则矩阵若若 BA CBAC nssmnm snss n n sn bbb bbb bbb ccc 21 22221 11211 2121 ),),（ 第20页/共23页 T s T T msmm s s T m T T aaa aaa aaa 2 1 21 22221 11211 2 1 ：为为这这一一表表示示的的系系数数矩矩阵阵 的的行行向向量量组组线线性性表表示示的的行行向向量量组组能能由由同同时时，ABC, 第21页/共23页 . . 的行向量组等价的行向量组等价的行向量组与的行向量组与于是于是 的行向量组线性表示，的行向量组线性表示，的行向量组能由的行向量组能由可知，可知， 由初等变换可逆性由初等变换可逆性的行向量组线性表示的行向量组线性表示组能由组能由 的行向量的行向量，即，即的行向量