复变函数电子教案第六章6

1、第六节第六节 施瓦茨施瓦茨-克里斯托费尔映射克里斯托费尔映射 (Schwarz-christoffel) 一、施瓦茨一、施瓦茨-克里斯托费尔映射的引入克里斯托费尔映射的引入 二、施瓦茨二、施瓦茨-克里斯托费尔映射的概念克里斯托费尔映射的概念 三、应用举例三、应用举例 四、小结与思考四、小结与思考 2 一、施瓦茨一、施瓦茨-克里斯托费尔映射的引入克里斯托费尔映射的引入 问题问题: : 边界由直线边界由直线,线段线段,或射线组成或射线组成 3 . . 可看作特殊的多角形域可看作特殊的多角形域 例如例如, , 4 将上例推广将上例推广: 映射可用下列方程来确定映射可用下列方程来确定: 5 验证验证

2、而其它项不变而其它项不变, 是是w欲沿下一条边移动所必须转过的角欲沿下一条边移动所必须转过的角 6 依次下去依次下去: 当当 z历经整个历经整个x轴时轴时, w沿着多角形沿着多角形 的边界移动的边界移动. (如图示如图示) . . . . . . . . 可见可见:由此方程确定的映射将上半平面映射成内由此方程确定的映射将上半平面映射成内 7 二、施瓦茨二、施瓦茨-克里斯托费尔映射的概念克里斯托费尔映射的概念 1. 定义定义对于方程对于方程 两边积分两边积分, , 解得解得 称为施瓦茨称为施瓦茨- -克里斯托费尔映射克里斯托费尔映射 施瓦茨施瓦茨克里斯托费尔克里斯托费尔 8 施瓦茨施瓦茨- -克

3、里斯托费尔映射成为克里斯托费尔映射成为: 说明说明: 所以映射在这些点以外的上半平面是共形的所以映射在这些点以外的上半平面是共形的. 与前式相差一个因子与前式相差一个因子 9 2. 将上半平面映射为已知的多角形区域将上半平面映射为已知的多角形区域 可分解为可分解为: 10 上式表示把上式表示把 z 平面上的上半平面映射成平面上的上半平面映射成 t 平平 的映射的映射. 与已知多角形域相似的多角形域与已知多角形域相似的多角形域 因此因此: 上半平面上半平面 已知多角形域已知多角形域 ? 11 补充补充: 在实际问题中在实际问题中, 常见的多角形是变态多角常见的多角形是变态多角 形形, 即它的顶点

4、有一个或几个在无穷远即它的顶点有一个或几个在无穷远. . . . 规定规定: : 例如，例如， 12 三、应用举例三、应用举例 解解 . 1 13 1 2 3 4 两区域绕向相同两区域绕向相同. 所求映射为所求映射为 14 15 16 点如图示点如图示. . 解解 看作有三个顶点看作有三个顶点C,A,B的多角形的多角形, B,C在无穷远在无穷远 例例2 2 17 18 19 因此所求映射为因此所求映射为 20 例例3 平行板电容器中等位线与电力线的分布情况平行板电容器中等位线与电力线的分布情况. . 分析分析由于理想平行板电容器无边缘由于理想平行板电容器无边缘, 其电力线其电力线 和等位线是互

5、相垂直的两族平行线和等位线是互相垂直的两族平行线. 等位线等位线 电力线电力线 平行于平行板平行于平行板 垂直于平行板垂直于平行板 边缘边缘 中心线中心线 平行板电容器实际是平行板电容器实际是 有边缘的有边缘的. 电场分布电场分布 关于中心线对称关于中心线对称. 21 考虑中心线上方的一半带有割痕的半平面考虑中心线上方的一半带有割痕的半平面 带形区域的映射带形区域的映射, 若能求出若能求出w平面中带割痕的上半平面与平面中带割痕的上半平面与z平面中平面中 欲求平行板电容器的等位线和电力线只需欲求平行板电容器的等位线和电力线只需 将将z平面中的两族互相垂直的平行线映射到平面中的两族互相垂直的平行线

6、映射到w平平 面即可面即可. 就可推知电容器的电场分布就可推知电容器的电场分布 22 解解 因此把因此把z平面中带形区域平面中带形区域 映射到映射到w平面中带割痕的平面中带割痕的 上半平面的映射是上半平面的映射是 23 将所求出映射的实部和虚部分离得将所求出映射的实部和虚部分离得 24 电力线电力线 等位线等位线 此问题也可看成由两条半直线构成的开口此问题也可看成由两条半直线构成的开口 槽中流体的流线与等位线的分布情形槽中流体的流线与等位线的分布情形, 此时图中此时图中 说明：说明： 的等位线变为流线的等位线变为流线, 而电力线变为等位线而电力线变为等位线. 25 四、小结与思考四、小结与思考 施瓦兹施瓦兹-克里斯托费尔公式是反映上半平面克里斯托费尔公式是反映上半平面 到多角形区域的映射公式到多角形区域的映射公式. 它的实际应用比较困它的实际应用比较困 难难. 充分了解本课内容充分了解本课内容. 放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出. . 26 施瓦茨资料施瓦茨资料 Herman Schwarz Born: 25 Jan 1843 in Hermsdorf, Silesia (now Poland) Died: 30 Nov 1921 in Berlin, Germany 27 克里斯托费尔资料 Elwin Christ