一次函数模型

1、3.2.2 一次函数模型【教学目标】1. 掌握正比例函数和一次函数的关系；理解并掌握一次函数的性质2. 培养学生数形结合研究函数性质的能力，渗透平移变换的数学思想3. 体验数学的严谨性，培养学生理性分析问题的良好习惯【教学重点】一次函数的性质【教学难点】对正比例函数和直线的关系的理解【教学方法】 这节课主要采用讲练结合法先定义一次函数，对特殊的一次函数正比例函数，则采用由曲线与方程的角度来描述正比例函数与直线的关系，然后再考察一次函数与正比例函数的关系，从而得出一次函数的图象也是一条直线的结论，并结合函数的单调性深入分析一次函数的性质，将学生初中对具体的一次函数的认识上升到一般的理性结论. 【

2、教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导入1. 一次函数的概念：函数 y (k，b 为常数，k )叫做一次函数当 b 时，函数yk 叫做正比例函数2. 在直角坐标系中作出 y3 x 的图象教师屏幕显示内容，学生合作完成结论：正比例函数是特殊的一次函数师：函数 y3 x 的图象是一条直线吗？教师引导学生在复习旧知识的同时，让学生自主探索新知识，激发学生获取新知的动力 新课新课新课新课一、正比例函数 yk x 的图象是什么形状？以具体函数 y3 x 为例，令x0，则 y0，所以函数y3 x的图象过点O(0，0)又 x1，y3是方程的另一个解，作点 A(1，3)，过这两个点 O，A 作直线 OA-2

3、-4-3O2-1y=3xPA1x- 2-11234y我们来说明直线OA是正比例函数y3 x的图象(1) 设点 P(x，y) 为直线 OA 任一点，用相似三角形的知识说明点 P(x，y)也满足函数关系式 y3 x(2) 以方程 y3 x 的解为坐标的点 P(x，y)一定在直线 OA 上直线OA正比例函数y3 x方程y3 x的解（x,y）点P（x,y）二、一次函数与正比例函数图象关系例1 在同一直角坐标系内作出下列函数 yx，yx2，yx2的图象-4-1y=x+212xO- 2-112-2-334y=xy=x-2y步骤：列表、描点、连线观察与比较 正比例函数 yx 与一次函数 yx2，yx2图象有

4、什么异同？填空 这 三个函数的图象形状都是 ，并且倾斜程度 ，函数yx的图象经过原点，函数 yx2的图象与 y 轴交于点 ，即它可以看作由直线 yx向 平移 个单位长度而得到函数 yx2的图象与 y 轴交于点 ，即它可以看作由直线 yx 向 平移 个单位长度而得到讨论(1) 一次函数 yk xb 的图象与正比例函数 yk x 图象有什么关系？(2) 一次函数 yk xb 的图象与x，y 轴的交点坐标是什么？结论(1) 一次函数 ykxb 的图象与正比例函数 yk x 图象的关系：一次函数 ykxb 的图象是一条直线，我们称它为直线 ykxb， 它可以看作由直线 ykx 沿y轴平移 |b| 个单

5、位长度得到(当 b0时，向上平移；当 b0时，向下平移) (2) 一次函数 yk xb 的图象是过点(0，b)，(，0)的一条直线练习1 指出下列直线是由哪个正比例函数的图象平移得到的，并求下列直线与 x 轴，y 轴的交点坐标(1)直线 y5 x1；(2)直线 y5x3； (3)直线 yx5；(4)直线 yx3三、一次函数的单调性当 k0时，函数 f(x)kxb是增函数当 k0时，函数f(x)kxb是减函数例2 证明 一次函数f(x)kxb (k0)在(，)上是增函数证明 设 x1，x2 是任意两个不相等的实数，因为 xx2x1，而且yk x2bk x1bk(x2x1)k x，所以 k0所以当

6、 k0时，函数 f (x)k xb在(，) 上是增函数同理我们可以证明：当 k0 时，函数 f(x)k xb在(，) 上是减函数因为 Dy 是函数值的改变量，Dx 是自变量的改变量，所以由 Dyk Dx 还可知：函数值的改变量与相应自变量的改变量成正比四、总结一次函数的性质1一次函数 yk xb 的图象是过点(0，b)，(，0)的一条直线2当 k0时，函数 f (x)kxb是增函数当 k0时，函数 f (x)k xb是减函数3函数值的改变量与相应自变量的改变量成正比练习2 说出下列直线与 x 轴，y 轴的交点坐标，以及函数的增减性(1) yx2；(2) y2 x1；(3) y3 x1； (4)

7、 y8 x师：你是怎么做出y3 x的图象的？生：列表，描了两个点，连线师：由方程 y3 x 的两个解我们做出了直线 OA，那么方程 y3 x 的所有解都在直线OA上吗？反过来，这条直线上的所有点都满足 y3 x 吗？即方程 y3 x 的解与直线 OA 上的点是一一对应的吗？这一部分，教师结合图示，用简洁明了的语言讲解二者之间的关系学生了解即可，不宜过多强调师：正比例函数的图象是直线，那么一次函数的图象也是一条直线吗？它们的图象之间有什么关系呢?一次函数又有什么性质呢？师：出示观察与比较，提示学生，相同点可从图象形状和倾斜度上分析不同点可从三条直线的位置关系等方面生：观察图象，小组合作讨论然后每

8、组选一名代表汇报各组的交流结果，最后师生一起汇总得出结论师：动画演示学生讨论，得出结论学生抢答练习1师生交流练习1后，教师提出问题：一次函数是由正比例函数平移得到的，从图象上看，它们的单调性是怎样的？你能证明你的结论吗？师生共同解决例2，教师板书详细的解题过程教师引导学生归纳得出：函数值的改变量与相应自变量的改变量成正比师生共同总结得出一次函数的性质学生口答，师生共同点评由学生的作图过程引发学生思考，然后在教师的问题引导下，从曲线与方程的角度来描述正比例函数 y3x与直线OA的关系； 画出示意图使学生更容易明确正比例函数y3x与直线OA上的点的一一对应关系从更高的层次上审视初中所学的一次函数，

9、培养学生的理性思维以及思维的严密性通过例1，让学生进一步掌握利用列表描点，连线画函数的图象，并且根据图象来分析一次函数和正比例函数的关系，从而提高学生的读图能力，及文字语言转化为数学语言的能力并与前面学过的知识结合，对学过的这两个函数有更新的认识教师扮演组织者的角色，鼓励学生大胆的猜测和探究，以培养学生的观察、归纳能力，让学生从中体验独立获取知识的愉悦感和成就感通过动画演示，可调动学生学习的兴趣和正确理解直线平移变换的过程 由练习1的两个问题，从特殊到一般，师生一起总结得出结论改变教师直接给出结论的惯例，让学生通过练习，由特殊到一般，自己独立的去获取知识，培养学生的归纳、概括能力练习1帮助学生理解知识，形成技能培养学生的观察能力和归纳总结能力在学生具备函数增减性的知识以后，用单调性的概念重新审视初中所学的一次函数，让学生对函数的直观感知上升到理性分析的层次上，同时加深对函数单调性概念的理解并且为引出一次函数的性质作铺垫通过练习2，加深对函数性质