角平分线的性质

1、角平分线的性质角平分线的性质 驶向胜利的彼岸 探究角平分线的性质探究角平分线的性质 (1)实验实验：画一个画一个AOB,用尺规作出用尺规作出AOB的平的平 分线分线OP,过过P作作PD OA,PE OB 问题：问题：比较比较PD和和PE 的大小关系（量一量）。的大小关系（量一量）。 PD=PE 再换一个新的位置看看情况会怎样？再换一个新的位置看看情况会怎样？ 活活 动动1 (2)(2)猜想猜想: : 角的平分线上的角的平分线上的 点到角的两边的距离相等点到角的两边的距离相等. . P P A A OO B B C C E E DD 证明证明：OC平分平分 AOB （已知）（已知） 1= 2（角

2、平分线的定义）（角平分线的定义） PD OA，PE OB（已知）（已知） PDO= PEO= 90（垂直的定义）（垂直的定义） 在在PDO和和PEO中中 PDO= PEO（已证）（已证） 1= 2 （已证）（已证） OP=OP （公共边）（公共边） PDO PEO（AAS） PD=PE（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等） P P A A OO B B C C E E DD 12 已知已知：如图，如图，OCOC平分平分AOBAOB，点，点P P在在OCOC上，上，PDPDOAOA于点于点D D，PEOBPEOB于于 点点E E 求证求证: PD=PE: PD=PE (3)验证猜想

3、：验证猜想： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 得到角平得到角平 分线的性分线的性 质：质： 利 用 此 性 质利 用 此 性 质 怎样书写推理过怎样书写推理过 程程? 1= 2, PD OA， PE OB（已知）（已知） PD=PE（角平分（角平分 线的性质）线的性质） P P A A OO B B C C E E DD 12 归纳：归纳： 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到 铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处 500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺 为120000） 解决问题 S 公路公路 铁路铁路 20000 500 D C s 公路

4、公路 铁路铁路 O 1 X 解解： 设设OD=Xm 则由题得则由题得 = 解得解得x=0.025m 即即OD=2.5cm 作夹角的角平分线作夹角的角平分线OC，截取，截取 OD=2.5cm ,D即为所求。即为所求。 A CD E B F 分析分析:要证要证CF=EB,首先我们想到的是要证它首先我们想到的是要证它 们所在的两个三角形全等们所在的两个三角形全等,即即RtCDF RtEDB. 现已有一个条件现已有一个条件BD=DF(斜边相等斜边相等),还需还需 要我们找什么条件要我们找什么条件 DC=DE (因为角的平分线的性质因为角的平分线的性质) 再用再用HL证明证明. 试试自己写试试自己写 证

5、明。你一证明。你一 定行！定行！ 已知：如图，ABC中 C=90，AD是ABC的角平 分线，DEAB于E，F在AC上 BD=DF， 求证：CF=EB。 应用与提高应用与提高 证明证明： AD平分平分CAB DEAB，C90（已知）（已知） CDDE (角平分线的性质角平分线的性质) 在在tCDF和和RtEDB中中, CD=DE （已证）（已证） DF=DB （已知）（已知） RtCDF RtEDB (HL) CF=EB （全等三角形对应边（全等三角形对应边 相等）相等） A CD E B F 如图，如图，E是是AOB的角平分线的角平分线OC上的上的 一点，一点， EMOB垂足为垂足为M，且，且

6、EM=3cm， 求点求点E 到到OA的距离的距离 分析分析：点：点E 到到OA的距离是过点的距离是过点E作作OA的垂线段，再根据角的平的垂线段，再根据角的平 分线的性质，可知点分线的性质，可知点E到到OA的距离。的距离。 解解：过过E作作ENOA垂足为垂足为N E是是AOB的角平分线上的一点，的角平分线上的一点， EMOB， ENOA， EM=EN 又又 EM=3cm， EN=3cm 即点即点E 到到OA的距离为的距离为3cm。 E E B B OO A A C C 课堂练习课堂练习 MM N N 做一做做一做 w已知已知:如图如图, ,在在ABCABC中中,AD,AD是它的角平分线是它的角平

7、分线, ,且且 BD=CD,DEAB,DFAC,BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是垂足分别是E,F.E,F. w求证求证:EB=FC.EB=FC. B A E D C F 证明证明： AD平分平分CAB DEAB ，DFAC(已知已知) DE=DF (角平分线的性质角平分线的性质) 在在tBED和和RtCFD中中, BD=CD （已证）（已证） DE=DF （已知）（已知） Rt BED RtCFD (HL) BE=FC （全等三角形对应边相（全等三角形对应边相 等）等） 回味无穷回味无穷 w性质性质 角平分线上的点到这角平分线上的点到这 个角的两边距离相等个角的两边距离相等. . w几何语言几何语言： OCOC是是AOBAOB的平分线的平分线, , P P是是OCOC上任意一点上任意一点 PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分