解三角形课件

1、解三角形的综合问题 【主干知识主干知识】 1.1.必记公式必记公式 (1)(1)正弦定理：正弦定理： 定理定理 变形公式变形公式 变形变形1 1变形变形2 2 _=2R_=2R (2R(2R为为ABCABC外接圆的直径外接圆的直径) ) a=_a=_ b=_b=_ c=_c=_ 重要结论重要结论:abc=sinAsinBsinC:abc=sinAsinBsinC abc sin Asin Bsin C 2RsinA2RsinA 2RsinB2RsinB 2RsinC2RsinC a sin A 2R b sin B 2R c sin C 2R 定理定理推论推论 a a2 2=_=_ b b2

2、2=_=_ c c2 2=_=_ (2)(2)余弦定理：余弦定理： b b2 2+c+c2 2-2bccosA-2bccosA a a2 2+c+c2 2-2accosB-2accosB a a2 2+b+b2 2-2abcosC-2abcosC 222 bca cos A 2bc cos B_ cos C_ 222 acb 2ac 222 abc 2ab (3)(3)面积公式：面积公式： S S ABCABC bcsin Abcsin A_ _ 1 2 1 acsin B 2 1 absin C 2 【考题回顾考题回顾】 1.(20141.(2014湖北高考湖北高考) )在在ABCABC中，

3、角中，角A A，B B，C C所对的边分别为所对的边分别为 a a，b b，c.c.已知已知A= A= ，a=1a=1，b= b= ，则，则B=_.B=_. 【解析解析】依题意，由正弦定理知依题意，由正弦定理知 得出得出sin B= .sin B= .由于由于0B0B，所以，所以B=B= 答案：答案： 6 3 13 sin B sin 6 ， 3 2 2 . 33 或 2 33 或 2.(20142.(2014北京高考北京高考) )在在ABCABC中，中，a=1a=1，b=2b=2，cos C= cos C= ，则，则 c=_c=_；sin A=_.sin A=_. 【解析解析】由余弦定理得由

4、余弦定理得cos C= cos C= ，又，又a=1,b=2,a=1,b=2, cos C= ,cos C= ,代入得代入得c=2,c=2,而而sin C=sin C= 由正弦定理得由正弦定理得 解得解得sin A=sin A= 答案：答案：2 2 1 4 222 abc 2ab 1 4 22 115 1 cos C1 ( ), 44 ac , sin Asin C 15 . 8 15 8 3.(20143.(2014益阳模拟益阳模拟) )在在ABCABC中，中，sin A+cos A= ,AC=4,AB=5,sin A+cos A= ,AC=4,AB=5, 则则ABCABC的面积是的面积是_

5、._. 【解析解析】根据题意，在根据题意，在ABCABC中，中，sin A+cos A= sin A+cos A= sin(A+ )= sin(A+ )= sin(A+ )= ,sin(A+ )= , 答案：答案： 2 2 2 2 2 4 2 24 1 2 57 A,A, 4612 175 25 6 ABCS4 5 sin . 2122 所以 的面积为 5 25 6 2 4.(20144.(2014长沙模拟长沙模拟) )在在ABCABC中，角中，角A A，B B，C C所对所对 的边分别为的边分别为a,b,c,a,b,c,已知已知 则则C=( )C=( ) A.30A.30 B.45 B.45

6、 C.45C.45或或135135 D.60 D.60 tan A2c a2 3,c2 2,1, tan Bb 【解析解析】选选B.B.由由1+ 1+ 切化弦，边化角得：切化弦，边化角得： 由正弦定理得：由正弦定理得： 又又C(0,)C(0,)，所以，所以C= C= 或或C= (C= (舍去舍去).). tan A2c = tan Bb sin A+B2sin C1 =,cos A =,A =, cos Asin Bsin B23 从而所以 2 32 22 ,sin C, sin C23 2 4 3 4 热点考向一热点考向一 正、余弦定理在解三角形的应用正、余弦定理在解三角形的应用 考情快报考

7、情快报 难度:基础题、中档题命题指数命题指数: : 题型:选择题、填空题、解答题 考查方式:主要考查利用正、余弦定理进行边和角、面积的计 算,三角形形状的判定以及有关范围的计算,常与三角恒等变 换综合考查 【典题典题1 1】1 1、( (西城模拟西城模拟) )在在ABCABC中，内角中，内角A A，B B，C C的的 对边分别为对边分别为a a，b b，c.c.已知已知 (1)(1)求求 的值的值. . (2)(2)若若cos B= cos B= ，b=2,b=2,求求ABCABC的面积的面积. . cos A2cos C2ca . cos Bb sin C sin A 1 4 【解析】(1)

8、由正弦定理得 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C, 所以 即sin Bcos A-2sin Bcos C=2sin Ccos B-sin Acos B,即有 sin(A+B)=2sin(B+C),即sin C=2sin A, 所以 cos A2cos C2ca2sin Csin A , cos Bbsin B sin C 2. sin A (2)(2)由由(1)(1)知知: =2,: =2,即即c=2a.c=2a. 又因为又因为b=2,b=2,所以由余弦定理得：所以由余弦定理得： b b2 2=c=c2 2+a+a2 2-2accos B,-2accos B, 即即2

9、22 2=4a=4a2 2+a+a2 2-2a-2a2a2a , ,解得解得a=1(a=1(负值舍负值舍 去去),),所以所以c=2.c=2. 又因为又因为cos B= cos B= ，所以，所以sin B=sin B= 故故ABCABC的面积为的面积为 1 4 1 4 15 4 ， 111515 acsin B1 2. 2244 csin C asin A 2 2、设、设ABCABC的内角的内角A,B,CA,B,C所对的所对的 边分别为边分别为a,b,c,a,b,c, 若若(a(a2 2+b+b2 2)sin(A-B)sin(A-B) =(a=(a2 2-b-b2 2)sin(A+B)sin

10、(A+B) , ,则则ABCABC的形状如何的形状如何? ? 【解析解析】方法一方法一: :由已知由已知(a(a2 2+b+b2 2)sin(A-B)sin(A-B) =(a=(a2 2-b-b2 2)sin(A+B),)sin(A+B), 得得a a2 2sin(A-B)-sin(A+B)sin(A-B)-sin(A+B) =b=b2 2-sin(A+B)-sin(A-B),-sin(A+B)-sin(A-B), 所以所以2a2a2 2cosAsinB=2bcosAsinB=2b2 2cosBsinA.cosBsinA. 由正弦定理得由正弦定理得sinsin2 2AcosAsinB=sinA

11、cosAsinB=sin2 2BcosBsinA,BcosBsinA, 即即sin2AsinAsinB=sin2BsinAsinB.sin2AsinAsinB=sin2BsinAsinB. 因为因为0A,0B,0A,0B,所以所以sin2A=sin2B,sin2A=sin2B, 所以所以2A=2B2A=2B或或2A=-2B,2A=-2B,即即A=BA=B或或A+B= .A+B= . 所以所以ABCABC是等腰三角形或直角三角形是等腰三角形或直角三角形. . 2 方法二方法二: :同方法一可得同方法一可得2a2a2 2cosAsinB=2bcosAsinB=2b2 2cosBsinA,cosBs

12、inA, 由正、余弦定理得由正、余弦定理得 所以所以a a2 2(b(b2 2+c+c2 2-a-a2 2)=b)=b2 2(a(a2 2+c+c2 2-b-b2 2),), 即即(a(a2 2-b-b2 2)(c)(c2 2-a-a2 2-b-b2 2)=0.)=0. 所以所以a=ba=b或或c c2 2=a=a2 2+b+b2 2, , 所以所以ABCABC是等腰三角形或直角三角形是等腰三角形或直角三角形. . 222222 22 bcaacb a bb a. 2bc2ac 易错提醒: : ( (1)忽视解的多种情况: 如已知a,b和A,应先用正弦定理求B,由A+B+C=,求C, 再由正弦

13、定理或余弦定理求边c,但解可能有多种情况. (2)忽略角的范围: 应用正、余弦定理求解边、角等量的最值(范围)时,要 注意角的范围. 热点考向二热点考向二 正、余弦定理的实际应用正、余弦定理的实际应用 考情快报考情快报 难度难度: :中档题中档题命题指数命题指数: : 题型题型: :以解答题为主以解答题为主 考查方式考查方式: :主要考查利用正、余弦定理解决一些现实生活中航主要考查利用正、余弦定理解决一些现实生活中航 海海( (空空) )测量、设计问题测量、设计问题, ,体现知识的应用能力体现知识的应用能力 【典例典例2 2】(2013(2013江苏高考江苏高考) )如图如图, ,游客从某旅游

14、景区的景点游客从某旅游景区的景点 A A处下山至处下山至C C处有两种路径处有两种路径. .一种是从一种是从A A沿直线步行到沿直线步行到C,C,另一种是另一种是 先从先从A A沿索道乘缆车到沿索道乘缆车到B,B,然后从然后从B B沿直线步行到沿直线步行到C.C.现有甲、乙两现有甲、乙两 位游客从位游客从A A处下山处下山, ,甲沿甲沿ACAC匀速步行匀速步行, ,速度为速度为50m/min.50m/min.在甲出发在甲出发 2min2min后后, ,乙从乙从A A乘缆车到乘缆车到B,B,在在B B处停留处停留1min1min后后, ,再从再从B B匀速步行到匀速步行到C.C. 假设缆车匀速直

15、线运动的速度为假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min,130m/min,山路山路ACAC长为长为1260m,1260m,经经 测量测量,cosA= ,cosC= .,cosA= ,cosC= . 12 13 3 5 (1)(1)求索道求索道ABAB的长的长. . (2)(2)问问: :乙出发多少分钟后乙出发多少分钟后, ,乙在缆车上与甲的距离最短乙在缆车上与甲的距离最短? ? (3)(3)为使两位游客在为使两位游客在C C处互相等待的时间不超过处互相等待的时间不超过3 3分钟分钟, ,乙步行的乙步行的 速度应控制在什么范围内速度应控制在什么范围内? ? 【解析解析】(1)(1)在在ABC

16、ABC中，因为中，因为cos A= ,cos C= ,cos A= ,cos C= , 所以所以sin A= ,sin C= .sin A= ,sin C= . 从而从而sin B=sinsin B=sin-(A+C)-(A+C) =sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C 由正弦定理由正弦定理 =1 040(m).=1 040(m).所以索道所以索道ABAB的长为的长为1 040 m.1 040 m. 12 13 3 5 5 13 4 5 5312463 . 13513565 ABACAC1 2604 ABsi

17、n C 63 sin Csin Bsin B5 65 得 (2)(2)假设乙出发假设乙出发t t分钟后，甲、乙两游客距离为分钟后，甲、乙两游客距离为d,d,此时，甲行此时，甲行 走了走了(100+50t)m(100+50t)m，乙距离，乙距离A A处处130t m130t m，所以由余弦定理得，所以由余弦定理得 d d2 2=(100+50t)=(100+50t)2 2+(130t)+(130t)2 2-2-2130t130t(100+50t)(100+50t) =200(37t=200(37t2 2-70t+50),-70t+50),因因0t ,0t ,即即0t8,0t8, 故当故当t= (

18、min)t= (min)时，甲、乙两游客距离最短时，甲、乙两游客距离最短. . 12 13 1 040 130 35 37 (3)(3)由正弦定理由正弦定理 乙从乙从B B出发时，甲已走了出发时，甲已走了5050(2+8+1)=550(m)(2+8+1)=550(m)，还需走，还需走710 m710 m 才能到达才能到达C.C. 设乙步行的速度为设乙步行的速度为v m/minv m/min，由题意得，由题意得-3 3-3 3，解，解 得得 所以为使两位游客在所以为使两位游客在C C处互相等待的时间不超过处互相等待的时间不超过3 3分钟，乙步分钟，乙步 行的速度应控制在行的速度应控制在 ( (单

19、位：单位：m/min)m/min)范围内范围内. . BCACAC1 2605 ,BCsin A500 m . 63 sin Asin Bsin B13 65 得 500710 v50 1 250625 v, 4314 1 250 625 , 4314 【巩固练习巩固练习】：（怀化模拟：（怀化模拟) )在某海滨城市在某海滨城市 附近海面有一台风，据监测，当前附近海面有一台风，据监测，当前 台风中心位于城市台风中心位于城市O(O(如图如图) )的东偏南的东偏南 (cos = )(cos = )方向方向300 km300 km的海的海 面面P P处，并以处，并以20 km/h20 km/h的速度向

20、西偏的速度向西偏 北北4545方向移动，台风侵袭的范围方向移动，台风侵袭的范围 为圆形区域，当前半径为为圆形区域，当前半径为60 km60 km， 并以并以10 km/h10 km/h的速度不断增大，则的速度不断增大，则 几小时后，该城市开始受到台风的侵袭，并求出受到台风侵袭几小时后，该城市开始受到台风的侵袭，并求出受到台风侵袭 的时间的时间 . . 2 10 【解析解析】设在时刻设在时刻t(h)t(h)台风中心为台风中心为Q Q，此时台风侵袭的圆形区，此时台风侵袭的圆形区 域半径为域半径为10t+60(km)10t+60(km)，若在时刻，若在时刻t t城市城市O O受到台风的侵袭，则：受到

21、台风的侵袭，则： OQ10t+60.OQ10t+60.由条件知：由条件知：cosOPQ=cos(-45cosOPQ=cos(-45)=cos cos 45)=cos cos 45 +sin sin 45+sin sin 45= = 由余弦定理知：由余弦定理知： OQOQ2 2=(20t)=(20t)2 2+300+3002 2-2-220t20t300300 =20 =202 2t t2 2-9 600t+300-9 600t+3002 2, ,故故 20202 2t t2 2-9 600t+300-9 600t+3002 2(10t+60)(10t+60)2, 2,t t2 2-36t+2880,12t24, -36t+2880,12t24, 所以所以1212小时后该城市开始受到台风的侵袭，受到台风侵袭的小时后该