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1、相似三角形专题复习一知识框架图比例的性质黄金分割平行线分线段成比例定理比例线段三角形重心的性质相似三角形的概念相似三角形相似三角形的性质相似三角形的应用相似三角形的判定证明角相等二知识梳理（一）线段的比1两条线段的比：在同一长度单位下，两条线段的长度的比叫做这两条线段的比2成比例线段：对于四条线段a 、 b 、 c、 d ，如果 a : baca 、c : d （或），那么b 、 c 、 d 成比例线段，简称比例线段 .bd3比例的性质：基本性质： acadbc.bd合比性质： acabcd .bdbd等比性质： ack ，acack .bdbdbd 黄金分割如果点 P 把线段 AB 分割成

2、AP 和 PB（ APPB）两段，其中 AP 是 AB 和 PB 的比例中项，那么称这种分割为黄金分割 .PBAP51APAB2.（ 短长5 - 1；长 =51512全；短 =长）长全22（二）平行线分线段成比例定理及其推论：定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条线段平行于三角形的第三边A三角形的重心定理 : 三角形的重心到一个顶点的距离 , 等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍 .G 是 ABC 的重心， AGBGCGF

3、GEGDGE2GF（三）相似三角形的判定方法：BDC1.概念：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形2.预备定理：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例3.判定定理：两角对应相等，两三角形相似；两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似；三边对应成比例，两三角形相似；4如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角对应成比例，那么这两个直角三角形相似基本图形的形成、变化及发展过程：平行型.斜交型 .垂直型（四）相似三角形的性质：1相似三角形的对应边成比例，对应角相等；2相似三角形的对应线段(高、中线、角平分线)等于

4、相似比；3相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方三典型例题例题1填空1上海与南京的实际距离约350 千米，在比例尺为1：5000000 的地图上， 上海与南京的图上距离约厘米 72判断下列图形：所有的矩形都相似；所有的直角三角形都相似；有一个角是100 的所有等腰三角形都相似；有一个角是50的所有等腰三角形都相似；所有等腰直角三角形都相似； 所有菱形都相似两个等边三角形一定相似；有一个角相等的等腰三角形都相似，有一个角为 60的两个等腰三角形相似；其中一定相似的有： 3设 2y 3x 0（ y0），则 x y 5y34已知线段a=2cm ， b=8cm ，那么线段a 和 b 的比

5、例中项为cm 45已知，线段 AB=10cm,C 是 AB 的黄金分割点 ,且 AC BC，则 AC=cm 5 5 56在 ABC 中，点 G 为重心，若BC 边上的高为6，则点 G 到 BC 边的距离为 27如图，已知 D 为 ABC 的边 AB 上的一点， 且 ACD = B，S ACD S DBC=1 3那么ACAB的值为 _ 12AADADDGBCBECBC（第 7题）（第 8题）（第 10 题）8如图， 在菱形 ABCD 中， ABC =60，AE AB，交 BD 于点 G，交 BC 的延长线于点E，那么 AG=1GE29在 ABC 中， D、 E 分别是边 AB、 AC 上的两点，

6、且 DE BC，AD BD=2 1，四边形BCED 的面积为 25，那么 ABC 的面积为 _ 4510. 如图， Rt ABC 中，ACB 90 ， AC6， BC8， D 是 AB边的中点，P 是BC 边上一动点（点P 不与 B 、 C 重合），若以 D 、 C 、 P 为顶点的三角形与ABC 相似，则线段 PC. 3或15.4例题 2已知：如图，在梯形 ABCD 中， AD BC，点 E 是边 BC 上的一点，且 DAE 求证：（1） BDE BCD ；（2） DEBCBDAE 分析：要证明BDE BCD ，由于 DBE= CBD，即AE CD ， BDE =AD 1= 1，因此只要再寻

7、找一个角对应相等证明：（ 1） AD BC， AE CD ，四边形 ADCE 是平行四边形，得 2= 3， 3= C 1= 1， BDE BCD.（ 2） BDE BCD，DEBD，AEBC DE BCBDAEB2=C1BECAD23EC【小结】证明三角形相似的基本思路：有平行截线用预备定理另一对等角有一对等角，找夹边成比例夹角相等有两边对应成比例，找第三边也成比例有一对直角一对锐角相等直角三角形，找斜边、直角边对应成比例顶角相等等腰三角形一对底角相等底和腰对应成比例例题 3 （学科基本要求P101 页例 4）如图，已知 ABC 中， AB=AC，CD 是边 AB 上的高，且CD=2， AD=1，四边形方形 CEF 和 BDC 相似吗？试证明你的结论A分析：从题目中可知 CEF 和 BDC 是直角三角形，要证明两个直角三角形相似，首先考虑找出一对锐角相等，而此题中无法得出一对相等的锐角，那么就去找两条直角D边对应成比例或斜边和一条直角边对应成比例答： CEF 和 BDC 相似证明：四边形 BDEF 是正方形，B CEF = BDC=9 0 , CEF 和 BDC 是直角三角