概率论第一章

1、 概率论与数理统计是研究什么的？概率论与数理统计是研究什么的？ 第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 第三章第三章 多维随机变量及其概率分布多维随机变量及其概率分布 第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 第五章第五章 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理 第六章第六章 数理统计的基本概念数理统计的基本概念 第七章第七章 参数估计参数估计 第八章第八章 假设检验假设检验 主要内容主要内容 第一章 概率论的基本概念 1.1 随机事件及其运算 1.2 概率的定义及其性质 1.3 古典概型与几何概型 1.4 条件概率 1.

2、5 独立性 1.1 随机事件及其运算随机事件及其运算 1.1.1 随机现象 自然界的现象按照发生的可能性（或者必然 性）分为两类： 一类是确定性现象，特点是条件完全决定结果 一类是随机现象，特点是条件不能完全决定结 果 在一定条件下，可能出现这样的结果，也可 能出现那样的结果，我们预先无法断言，这类现 象成为随机现象。 1.1.2 随机试验随机试验 E1: 抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况； E2: 掷一颗骰子，观察出现的点数； E3: 记录110报警台一天接到的报警次数； E4: 在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命； E5: 记录某物理量的测量误差； E6: 0 1，在区间 上任

3、取一点，记录它的坐标。 例例1-1： 上述试验具有如下特点：上述试验具有如下特点： 1.试验的可重复性试验的可重复性在相同条件下可重复进行在相同条件下可重复进行； 2.一次试验结果的随机性一次试验结果的随机性一次试验的可能结果不一次试验的可能结果不 止一个，且试验之前无法确定具体是哪种结果出现；止一个，且试验之前无法确定具体是哪种结果出现； 3.全部试验结果的可知性全部试验结果的可知性所有可能的结果是预先所有可能的结果是预先 可知可知 的，且每次试验有且仅有一个结果出现。的，且每次试验有且仅有一个结果出现。 在概率论中，将具有上述三个特点的试验成为在概率论中，将具有上述三个特点的试验成为随机试

4、随机试 验验，简称，简称试验试验。随机试验常用。随机试验常用E表示。表示。 v样本空间样本空间: 试验的试验的所有可能结果所有可能结果所组成的所组成的集合集合称为称为 试验试验E的样本空间的样本空间, 记为记为. v样本点样本点: 试验的试验的每一个可能出现的结果每一个可能出现的结果（样本（样本 空间中的元素）空间中的元素）称为称为试验试验E的的一个一个样本点样本点, 记为记为. 1.1.3 随机事件与样本空间随机事件与样本空间 1 H,T； k E 分别写出例分别写出例1-1各试验各试验 所对应的样本空间所对应的样本空间 2 1 2 3 4 5 6， ， ， ， ，； 3 01 2 3， ，

5、 ， ， ； 4 |0；t t 5 |，；t t 6 |01 ， .t t 例例1-2： 例如在试验E2中，令A表示“出现奇数点”，A就是一个随 机事件。A还可以用样本点的集合形式表示，即A=1，3， 5.它是样本空间的一个子集。 事件发生事件发生：例如，在试验E2中，无论掷得1点、3点还是5点， 都称这一次试验中事件A发生了。 基本事件基本事件：随机事件仅包含一个样本点，单点子集。 如如，在试验E1中H表示“正面朝上”，就是个基本事件基本事件。 v随机事件：随机事件：样本空间的任意一个子集子集称为随机事随机事 件件, 简称“事件”， 记作A、B、C等。 复合事件复合事件：包含两个或两个以上样

6、本点的事件。 两个特殊的事件两个特殊的事件 必然事件：；不可能事件：. 既然事件是一个集合，因此有关事件间的关系、 运算及运算规则也就按集合间的关系、运算及运算规 则来处理。 1. 包含关系与相等包含关系与相等： “事件事件 A A发生必有事件发生必有事件B B发生发生 ” ” 记为记为A B。 AB A B且且B A. 1.1.4 事件间的关系与运算事件间的关系与运算 A B A B 2. 和（并）事件：和（并）事件： “事件事件A与事件与事件B至少有一个至少有一个 发生发生”，记作，记作A B或或A+B。 推广推广：n个事件个事件A1, A2, An至少有一个发生，至少有一个发生， 记作记

7、作 或或 i n i A 1 n i i A 1 3. 积（交）事件积（交）事件 : 事件事件A与事件与事件B同时发生，记同时发生，记 作作 A B 或或AB。 推广推广：n个事件个事件A1, A2, An同时发生，记作同时发生，记作 A1A2An或或 或或 i n i A 1 i n i A 1 4. 差事件差事件： AB称为称为A与与B的差事件的差事件, 表示事件表示事件 A发生而事件发生而事件B不发生不发生 5. 互不相容事件（也称互斥的事件）：互不相容事件（也称互斥的事件）： 即事件即事件 A与事件与事件B不能同时发生不能同时发生。AB 。 A B AB= 推广推广：n个事件个事件A1

8、, A2, An任意两个都互不相任意两个都互不相 容，则称容，则称n个事件个事件两两互不相容两两互不相容。 若若n个事件个事件A1, A2, An 两两互不相容，且两两互不相容，且 则称则称n个事件个事件A1, A2, An 构成一个构成一个。 i n i A 1 6. 对立（逆）对立（逆）事件事件 A B , 且且AB ，称称为为A A的的对对立立事事件件 A A记记作作B B 思考思考：事件事件A和事件和事件B互不相容与事件互不相容与事件A和事件和事件B互互 为对立事件的区别为对立事件的区别. 对立事件一定是互不相容事件对立事件一定是互不相容事件，互不相互不相 容事件不一定是对立事件容事件

9、不一定是对立事件 交换律：交换律：ABBA，ABBA。 ., , k k k k k k k k AAAA BAABBABA 可推广 结合律结合律：(AB)C=A(BC)， (AB)CA(BC)。 分配律分配律：(AB)C(AC)(BC)， (AB)C(AC)(BC)。 对偶对偶(De Morgan)律律： 7.事件的运算性质 1123123123； BA A AA A AA A A 0123； BA A A 2123123123； BA A AA A AA A A 例例1-3： 某射手向一目标射击3次,Ai表示“第i次射击命中目标”, i=1,2,3.Bj表示“三次射击恰命中目标j次”,j=

10、0,1,2,3.试用 A1,A2,A3的运算表示Bj,j=0,1,2,3. 3123. BA A A 解解 例例1-1-4 4：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A A、B B、C C 分别表示甲、乙、丙命中目标，试用分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A A、B B、C C的运算关系表示的运算关系表示 下列事件：下列事件： : : : : : : 6 5 4 3 2 1 “三人均未命中目标” “三人均命中目标” ”“最多有一人命中目标 “恰有两人命中目标” “恰有一人命中目标” ”“至少有一人命中目标 A A A A A A CBA CBACBACBA

11、 CBABCACAB BACACB ABC CBA 本节课主要讲授：本节课主要讲授： 1.随机现象；随机现象； 2.随机试验和样本空间；随机试验和样本空间； 3.随机事件的概念；随机事件的概念； 4.随机事件的关系和运算（随机事件的关系和运算（重点重点）。）。 小小 结结 ).(A ., )(, ).( ,. , , Af Afn Af A n n An Ann n n A A 的概率就是事件 其实这个值的稳定值我们称这个常数为频率数越来越稳定于某一个常 会频率的大量增加着试验重复次数通过实践人们发现，随 成 并记发生的称为事件比值发生的称为事件的次数 发生事件次试验中在这次试验进行了在相同的

12、条件下 频率频率频数频数 定义1：定义1： 1.2 概率的定义及其性质概率的定义及其性质 1.2.1 概率的统计定义概率的统计定义 n A n)(Afn 频率的性质：频率的性质： 11 1 01 201 3 . . （ ）（ ）； （ ） （ ）， （）； （ ）若与互不相容，有 （）（ ）（） 同理可有： （）（） n nn nnn nn nknk kk fA ff AB fABfAfB fAfA 一口袋中有6个乒乓球，其中4个白的，2个红的有 放回地进行重复抽球，观察抽出红色球的次数。 nA n ( ) n fA 11 1 01 201 3 . . （ ）（ ）； （ ） （ ）， （）；

13、 （ ）若 与互不相容，有 （）（ ） （ ） 同理可有：（） mm kk kk P A PP AB P ABP AP B PAP A 频率是概率的近似值，概率频率是概率的近似值，概率P(A)也应有类似特征：也应有类似特征： 定义定义2：在相同的条件下进行n次重复试验，当n趋于无 穷大时，事件A发生的频率 稳定于某个确定的常 数p，称此常数p为事件A发生的概率，记作 （ ） n f A ( )=P Ap 概率的统计定义不仅提供了一种定义概率的方法，更重要概率的统计定义不仅提供了一种定义概率的方法，更重要 的是给了一种估算概率的方法在实际问题中，事件发生的概率往的是给了一种估算概率的方法在实际问

14、题中，事件发生的概率往 往是未知的，由于频率具有稳定性，我们就用大量试验中得到的频往是未知的，由于频率具有稳定性，我们就用大量试验中得到的频 率值作为概率的近似值率值作为概率的近似值 但上述定义存在着明显的不足，首先，人们无法把一个试但上述定义存在着明显的不足，首先，人们无法把一个试 验无限次的重复下去，因此要精确获得频率的稳定值是困难的其验无限次的重复下去，因此要精确获得频率的稳定值是困难的其 次，定义中对频率与概率关系的描述是定性的、非数学化的，从而次，定义中对频率与概率关系的描述是定性的、非数学化的，从而 容易造成误解容易造成误解 定义定义2 2中的叙述易使人想到概率是频率的极限，概率是

15、否为中的叙述易使人想到概率是频率的极限，概率是否为 频率的极限，以什么方式趋于概率呢？频率的极限，以什么方式趋于概率呢？ 1.2.2 概率的公理化定义概率的公理化定义 定义定义3：若对随机试验：若对随机试验E所对应的样本空间所对应的样本空间 中的每一事件中的每一事件 A，均赋予一实数，均赋予一实数P(A)，集合函数，集合函数P(A)满足条件：满足条件： (1) 非负性公理：非负性公理：P(A) 0； (2) 规范性公理：规范性公理：P( )1 ，P( )0 ； (3) 可列可加性公理可列可加性公理：设设A1，A2，, 是一列两两互不相容是一列两两互不相容 的事件，即的事件，即AiAj ，(i

16、j), i , j1, 2, , 有有 P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. 则称则称P(A)为事件为事件A的的。 性质性质 1 v概率的性质概率的性质 0( )1,( )0.P AP 性质性质 2（有限可加性有限可加性） 设设A1，A2，, An是一列两两是一列两两互不相容互不相容的事件，即的事件，即AiAj ，(i j), i , j1, 2, , n， 有有 P( A1 A2 An ) P(A1) P(A2)+.P(An) 性质性质 3 （互补性互补性） ( )=1( )P AP A 性质性质4 P(A-B)=P(A)-P(AB). 性质性质 5（加法公式）（加法公式）对于任

17、意事件对于任意事件A,B，有，有 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB). 推广：推广： 2） 设设A1，A2，An 是是 n 个随机事件，个随机事件， 则则 n nji n nkji j n i i n i i kjii AAAPAApAPAP 1111 )()()()( 1 12 ( 1)(). n n P A AA 1)()( )( )( )() ()()() P ABCP AP BP CP AB P ACP BCP ABC 性质性质 6 （可分性可分性） 对任意两事件A、B,有 P(A)P(AB)P(AB ) , P(B)P(AB)P(AB ) 例例1-5 设A,B为两个随机事件

18、, P(A)=0.5, P(AB)=0.8, P(AB)=0.3, 求求P(B). 解解 由P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB),得 P(B)=P(AB)-P(A)+P(AB)=0.8-0.5+0.3=0.6. 解解 由性质6可知， 例例1-6 设A,B两个随机事件, P(A)=0.8, P(AB)=0.5, 求P(AB). P(AB)=P(A)-P(AB)=0.8-0.5=0.3 例例1-7 设设A与与B互不相容互不相容, P(A)=0.5, P(B)=0.3, 求求P(AB). AB 解解 P(AB)=P( )=1-P(AB)=1-P(A)+P(B) =1-(0.5+0.3)=0.2

19、 例 1-8某地一年内发生k起交通事故的概率为 ! k k e ， 其中 0是常数，求当地一年内至少发生一起交通事故的概率 本节课主要讲授：本节课主要讲授： 1.概率的统计定义；概率的统计定义； 2.概率的公理化定义；概率的公理化定义； 3.概率的性质（概率的性质（重点重点）。）。 小小 结结 1.3 古典概型与几何概型古典概型与几何概型 1.3.1 古典概型古典概型 2.2.等可能性等可能性：每个基本事件发生的可能性相同. 理论上理论上,具有下面两个特点的随机试验的概率模型具有下面两个特点的随机试验的概率模型, 称为称为古典概型（或等可能概型）古典概型（或等可能概型）： 1.1.有限性：有限

20、性：基本事件的总数是有限的, 换句话说样本空 间仅含有有限个样本点; 设事件A中所含样本点个数为r , 样本空间中样本 点总数为n,则有 ( ) ( ). rA P A n rA P A n 中样本点数 中样本点总数 也即 所包含的基本事件数 基本事件总数 古典概型的概率计算公式古典概型的概率计算公式: 例例1-9 从从1,2,9这这9个数字中任意取一个数个数字中任意取一个数,取后放回取后放回,而而 后再取一数后再取一数,试求取出的两个数字不同的概率试求取出的两个数字不同的概率. 解解 基本事件总数基本事件总数n=92,因为第一次取数有因为第一次取数有9中可能取法中可能取法,这这 时可重复排列

21、问题时可重复排列问题. 设设A表示表示“取出的两个数字不同取出的两个数字不同”. A包含的基本事件包含的基本事件 数数 9*8因为第一次取数有因为第一次取数有9中可能取法中可能取法,为保证两个数不同为保证两个数不同,第二第二 次取数应从另外的次取数应从另外的8个数中选取个数中选取,有有8中可能取法中可能取法,r=9*8, 故故 P(A)=rn= 9*892=89 22 53 2 8 13 . 28 CCr P A nC 例例1-10 袋中有袋中有5个白球个白球3个黑球个黑球,从中任取两个从中任取两个,试求取到的试求取到的 两个球颜色相同的概率。两个球颜色相同的概率。 解解 从从8个球中任意取两

22、个个球中任意取两个,共有共有 种取法种取法,即基本事件总即基本事件总 数数 . 记记A表示表示“取到的两个球颜色相同取到的两个球颜色相同”,A包含两种可包含两种可 能能: 全是全是白球白球或全是或全是黑球黑球. 全是白球有全是白球有 种取法种取法,全是黑球有全是黑球有 种取法种取法,由加法原理由加法原理 知知, A的取法共的取法共 中中, 即即A包含的基本事件数包含的基本事件数 r = 2 8 C 2 8 nC 2 5 C 2 3 C 22 53 CC 22 53 CC 故故 解：解：(1) 例例1-11 将将r个人随机地分配到个人随机地分配到n(r n)个房间里，设个房间里，设 A=“某指定

23、的某指定的r个房间中各有一人个房间中各有一人”， B=“恰有恰有r个房间中各有一人个房间中各有一人”， C=“某指定房间恰有某指定房间恰有k(k r)人人”， 求求A、B、C的概率的概率. r n r AP ! )( (2) r r n n rC BP ! )( (3) r krk r n nC CP ) 1( )( 例 1-12（摸球模型） 袋中有ab个大小形状相同的球， 其中 a个白球，b个黑球 现依次从中任取一球， (1)作放回抽样， 求第()kab次取出的球是白球的概率(2)作不放回抽样， 求第()kab次取出的球是白球的概率 说明：不管是放回抽样还是不放回抽样，也不管取球的 先后顺序

24、如何，每次取到白球的概率都是一样的 我们 日常生活中的抓阄，就是不放回抽样，可见不管第几个 去抽，每人抽中白球的机会相等，同抽签次序无关 把有限个样本点推广到无限个样本点的场把有限个样本点推广到无限个样本点的场 合合,人们引入了人们引入了几何概型几何概型. 由此形成了确定概率由此形成了确定概率 的另一方法的另一方法 几何方法几何方法. 概率的古典定义具有可计算性的优点概率的古典定义具有可计算性的优点, ,但它也有明显的局但它也有明显的局 限性限性. .要求样本要求样本点有限点有限,如果样本空间中的样本点有无限个如果样本空间中的样本点有无限个, 概率的古典定义就不适用了概率的古典定义就不适用了.

25、 . 1.3.2 几何概型几何概型 . ,)(0, , , 验是一几何概型的 则称这一随机试即有限的几何度量的 且具有非零穷多个所含的样本点个数为无本空间 样能的每个样本点出现是等可若对于一随机试验 m 当随机试验的样本空间是某个区域当随机试验的样本空间是某个区域,并且任意一并且任意一 点落在度量点落在度量 (长度长度, 面积面积, 体积体积) 相同的子区域是相同的子区域是 等可能的等可能的,则事件则事件 A 的概率可定义为的概率可定义为 )( )( )( m Am AP 说明说明：当古典概型的试验结果为连续无穷多个时：当古典概型的试验结果为连续无穷多个时, 就归结为就归结为几何概率几何概率.

26、 . ) )(,)( 几几何何概概率率规规定定的的概概率率称称为为 量量来来合合理理这这样样借借助助于于几几何何上上的的度度的的子子区区域域的的度度量量 是是构构成成事事件件是是样样本本空空间间的的度度量量其其中中AAmm 例例1-13（约会问题）甲乙两人约定在下午（约会问题）甲乙两人约定在下午6 6点到点到7 7点点 之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人2020分分 钟，过时即可离去，求两人能会面的概率钟，过时即可离去，求两人能会面的概率 解：以解：以x x和和y y分别表示甲乙两人到分别表示甲乙两人到 达约会地点的时间（以分钟为达约会地点的时间（

27、以分钟为 单位），在平面上建立单位），在平面上建立xOyxOy直直 角坐标系，见图角坐标系，见图1-11-1因为甲乙因为甲乙 都是在都是在0 0到到6060分钟内等可能到达，分钟内等可能到达， 所以由等可能性知这是一个几何概型问题所以由等可能性知这是一个几何概型问题 会面问题会面问题 样本空间 = (x，y)：0 x，y 60 事件A =“甲乙将会面” = (x，y) ：| x y | 20 因此 例 1-14 如果在一个 5 万平方公里的海域里有表面积达 40 平方公里的大陆架贮藏着石油，假如在海域里随意选取一点钻 探，问钻到石油的概率是多少? 解 在该题中由于选点是随机的，可以认为该海域中

28、各点被选中 的可能性是一样的，因而所求概率自然认为贮油海域的面积与 整个海域面积之比，即 50000 40 p 本节课的重点：本节课的重点： 小小 结结 （1）古典概型事件概率的计算； （2）几何概型事件概率的计算. 1.4.1 条件概率与乘法公式条件概率与乘法公式 例例1-15 一家庭有两个孩子，考虑： (1)求两个都是男孩的概率； (2)已知其中一个是男孩，求另一个也是男孩的概率； (3)已知老大是男孩，求老二也是男孩的概率 1.4 条件概率条件概率 定义定义1 ：已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率称为 A条件下B的条件概率,记作P(B|A). 解：用g表示女孩，b表示男孩，则样本空

29、间为(b,b)，(b,g)， (g,b)，(g,g)，其中括号中第一个位置表示老大，第二个位 置表示老二。 （2）事件B1=“其中一个是男孩”，B2=“另一个 也是男孩”，显然此时的样本空间为 B1=(b,b), (b,g), (g,b)。则事件B1发生的条件下，B2发生的条 件概率为P(B2|B1)=1/3. （1）事件A=“两个都是男孩”，显然 P(A)=1/4. （3）事件C1=“老大是男孩”，C2=“老二也是男 孩”，显然此时的样本空间为 C1=(b,b), (b,g)。 则事件C1发生的条件下，C2发生的条件概率为 P(C2|C1)=1/2. 例如： 某班有30名学生，其中20名男生

30、，10名女生，身高1.70 米以上的有15名，其中12名男生，3名女生。 （1）任选一名学生，问该学生的身高在1.70米以上的概 率是多少？ （2）任选一名学生，选出来后发现是个男生，问该同学 的身高在1.70米以上的概率是多少？ 定义定义2 设A,B是两个事件,且P(B)0,称 () | () P AB PA B P B 为在事件B发生条件下事件A发生的概率. 显然，P(A)0时， () | () P AB P B A P A 计算条件概率有两个基本的方法：计算条件概率有两个基本的方法： n 用定义计算，即在原样本空间中计算P(AB)与P(B)之比； n 在古典概型中利用古典概型的计算方法直

31、接计算，即在 新样本空间B中直接计算A发生的概率. 例例1-11-16 6 在全部产品中有在全部产品中有4%4%是废品是废品, ,有有72%72%为一等品为一等品. .现从现从 中任取一件为合格品中任取一件为合格品, ,求它是一等品的概率求它是一等品的概率. . 解解 设A表示“任取一件为合格品”,B表示“任取一件为一等 品”, 显然B A, P(A)=96%, P(AB)=P(B)=72%, 则所求概率为 .75. 0 96 72 )( )( )( % % BP ABP ABP 解解 设A表示“第一次取球取出的是白球”,B表示“第二 次取 球取出的是黑球”,所求概率为P(B|A). 由于第一

32、次取球取出的是白球,所以第二次取球时盒中 有5个黑球2个白球,由古典概型的概率计算方法得 5 (). 7 P B A 例例1-17 盒中有盒中有5个黑球个黑球3个白球个白球,连续不放回的从中取两连续不放回的从中取两 次球次球,每次取一个每次取一个,若已知第一次取出的是白球若已知第一次取出的是白球,求第二次取求第二次取 出的是黑球的概率出的是黑球的概率. 例例1-18 盒中有黄白两色的乒乓球盒中有黄白两色的乒乓球,黄色球黄色球7个个,其中其中3个是新个是新 球球;白色球白色球5个个,其中其中4个是新球个是新球.现从中任取一球是新球现从中任取一球是新球,求它求它 是白球的概率是白球的概率. 解解1

33、 设A表示“任取一球为新球”,B表示“任取一球为白 球”, 由古典概型的等可能性可知,所求概率为4 (). 7 P B A 解解2 设A表示“任取一球为新球”,B表示“任取一球为白 球”, 754 ( ),( ), (), 121212 P AP BP AB 由条件概率公式可得 4 ()4 12 (). 7 ( )7 12 P AB P B A P B 性质2 若A与B互不相容，则 (|)(|)(|).P ABCP A CP BC 性质3 (|)1(|).PABPAB 条件概率的性质条件概率的性质 0(|)1,(|)1,( |)0.P A BPBPB 性质1 12 , n A AA若事件 ，两

34、两互不相容，且P(B)0， 则 11 | ii ii PA BP A B 概率的乘法公式概率的乘法公式 l 当当 P(A)0 时，有时，有 P(AB)=P(A)P(B|A). l 当当 P(B)0 时，有时，有 P(AB)=P(B)P(A|B). 乘法公式还可以推广到n个事件的情况： l 设设 P(AB)0 时，则时，则P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB). l 设 P(A1A2An-1)0, 则 P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(An|A1A2An-1). 例例1-1-1919 在在1010个产品中个产品中, ,有有2 2件次品件次品, , 不放回的抽取不放回的抽

35、取2 2次产品次产品, , 每次取一个每次取一个, , 求取到的两件产品都是次品的概率求取到的两件产品都是次品的概率. . 解解 设A表示“第一次取产品取到次品”,B表示“第二次 取产 品取到次品”,则 故 211 ( ),(|), 1059 P AP B A 111 ()( ) (|). 5945 P ABP A P B A 例例1-1-20 20 袋中有a只白球，b只黑球，从中任意取一球，不放 回也不看，再取第二次，求第二次取到白球的概率。 解：设B第二次取到白球,则要求P（B） 令A第一次取到白球，则 第一次取到黑球 ABBAABBAAABBBAA且)(, )()()()( )()()(

36、)( ABPAPABPAP ABPBAPABBAPBP ba a ba a ba b ba a ba a 11 1 A 例例1-21 盒中有盒中有5个白球个白球2个黑球个黑球,连续不放回的在其中取连续不放回的在其中取3 次球次球,求第三次才取到黑球的概率求第三次才取到黑球的概率. 解解 设设Ai(i=1,2,3)表示表示“第第i次取到黑球次取到黑球”,于是所求概率为于是所求概率为 123121312 5424 ()() (|) (|). 76521 P A A AP A P AA P AA A 例例1-22 设设 P(A)=0.8, P(B)=0.4, P(B|A)=0.25, 求求 P(A|

37、B). ()() (|)0.80.250.2,P ABP A P B A ()0.21 (|). ( )0.42 P AB P A B P B 解解 1.4.2 全概率公式与贝叶斯全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式公式 全概率公式全概率公式 设随机试验对应的样本空间为,设A1,A2,An是样本空间 的一个完备事件组（或划分），且P(Ai)0, i=1,2,n，B是 任意一个事件,则 1 ( )() (|). n ii i P BP A P B A 注：全概率公式求的是注：全概率公式求的是无条件概率无条件概率 例例1-21-23 3 盒中有盒中有5 5个白球个白球3 3个黑球个黑球, , 连续

38、不放回地从中取两连续不放回地从中取两 次球次球, , 每次取一个每次取一个, , 求第二次取球取到白球的概率求第二次取球取到白球的概率. . 5345 ( ),( ),( | ),( | ), 8877 P AP AP B AP B A 解解 设A表示“第一次取球取到白球”,B 表示“第二次取球 取到白球”,则 由全概率公式得 . 8 5 7 5 8 3 7 4 8 5 )|()()|()()( ABPAPABPAPBP 例例1-21-24 4 在某工厂中有甲、乙、丙三台机器生产同一型在某工厂中有甲、乙、丙三台机器生产同一型 号的产品号的产品, ,它们的产量各占它们的产量各占30%, 35%,

39、 35%,30%, 35%, 35%,并且在各自的并且在各自的 产品中废品率分别为产品中废品率分别为5%, 4%, 3%. 5%, 4%, 3%. 求从该厂的这种产品中求从该厂的这种产品中 任取一件是废品的概率任取一件是废品的概率. . 解解 设A1表示“从该厂的这种产品中任取一件产品为甲所生产”, A2表 示 “从该厂的这种产品中任取一件产品为乙所生产”, A3表示“从该厂 的这 种产品中任取一件产品为丙所生产”,B表示“从该厂的这种产品中 任取 一件为次品”,则 P(A1)=30%， P(A2)=35%, P(A3)=35%, P(B|A1)=5%, P(B|A2)=4%, P(B|A3)

40、=3%. 由全概率公式得 3 1 ( )() ( |)30% 5% 35% 4% 35% 3%3.95%. ii i P BP A P B A 贝叶斯贝叶斯(Bayes)公式公式 设设A1,A2,An是样本空间的一个完备事件组（或划分）是样本空间的一个完备事件组（或划分）, B 是任一事件是任一事件, 且且P(B)0, 则则 1 () (|)() (|) (|),1,2,., . ( ) () (|) iiii i n kk k P A P B AP A P B A P ABin P B P A P B A 注：注：Bayes公式求的是公式求的是条件概率条件概率. 例例1-21-25 5 在例

41、1-23的假设下,若任取一件是废品,分别求它 是甲、乙、丙生产的概率. 解解 由贝叶斯公式， 11 1 () (|)30% 5%30 (|)37.97%; ()3.95%79 P A P B A P AB P B 22 2 () (|)35% 4%28 (|)35.44%; ()3.95%79 P A P B A P AB P B 33 3 () (|)35%3%21 (|)26.58%. ()3.95%79 P A P B A P AB P B 【在某工厂中有甲、乙、丙三台机器生产同一型号的产品在某工厂中有甲、乙、丙三台机器生产同一型号的产品, , 它们的产量各占它们的产量各占30%, 35

42、%, 35%,30%, 35%, 35%,并且在各自的产品中废品并且在各自的产品中废品 率分别为率分别为5%, 4%, 3%. 5%, 4%, 3%. 求从该厂的这种产品中任取一件是求从该厂的这种产品中任取一件是 废品的概率废品的概率. .】 设8支枪中有3支未经过试射校正，5支已经试射校 正。一射击手用校正过的枪射击时，中靶概率为 0.8。而用未校正过的枪射击时，中靶概率为0.3。 今假定从8支枪中任取一支进行射击 ，结果中靶， 求所用这支枪是已校正过的概率 练习：练习： 例例1-21-26 6 玻璃杯成箱出售，每箱玻璃杯成箱出售，每箱2020只，假设各箱含只，假设各箱含0 0，1 1，2

43、2只残次品只残次品 的概率分别是的概率分别是0.80.8，0.10.1和和0.10.1，某顾客欲购一箱玻璃杯，在，某顾客欲购一箱玻璃杯，在 购买时，售货员随机取出一箱，顾客开箱随机地查看四只，购买时，售货员随机取出一箱，顾客开箱随机地查看四只， 若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回，试求：若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回，试求： (1) (1) 顾客买下该箱的概率顾客买下该箱的概率 ； (2) (2) 在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率 解：设解：设B B =“=“顾客买下该箱玻璃杯顾客买下该箱玻璃杯”，A Ai i =“ =“抽到的一箱中

44、有抽到的一箱中有i i件残次件残次 品品”，i i = 0 = 0，1 1，2 2 (1) (1) 事件事件B B在下面三种情况下均会发生：抽到的一箱中没有残次品、有在下面三种情况下均会发生：抽到的一箱中没有残次品、有1 1 件残次品或有件残次品或有2 2件残次品。显然件残次品。显然A A0 0，A A1 1，A A2 2是完备事件组由题意知是完备事件组由题意知 由全概率公式由全概率公式 由贝叶斯公式由贝叶斯公式 玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各 箱含0，1，2只残次品的概率分别是0.8， 0.1和0.1，某顾客欲购一箱玻璃杯，在 购买时，售货员随机取出一箱，顾客开 箱随机地查看四只，若无残

45、次品，则买 下该箱玻璃杯，否则退回，试求： (1) 顾客买下该箱的概率； (2) 在顾客买下的一箱中，确实没有残 次品的概率 2、全概率公式及其应用、全概率公式及其应用(求无条件概率求无条件概率) 小小 结结 3、贝叶斯公式及其应用、贝叶斯公式及其应用(求条件概率求条件概率) 1 () (|)() (|) (|),1,2,., . ( ) () (|) iiii i n kk k P A P B AP A P B A P ABin P B P A P B A 1 ( )() (|). n ii i P BP A P B A 1、条件概率及乘法公式；、条件概率及乘法公式； () | () P A

46、B P A B P B ()( )|P ABP B P A B 定义定义1 若P(AB)=P(A)P(B) ,则称A与B相互独立,简称A,B独立独立 . 性质性质2 若A与B相互独立, 则A与B, A与B, A与B都相互 独立. 1.5.1 两事件独立两事件独立 性质性质1 设P(A)0,则A与B相互独立的充分必要条件是 P(B)=P(B|A). 设P(B)0,则A与B相互独立的充分必要条件是 P(A)=P(A|B). 1.5 独立性 ()( )|P ABP BP A B 回忆：回忆： 以下四件事等价： (1)事件A、B相互独立；(2)事件A、B相互独立； (3)事件A、B相互独立；(4)事件

47、A、B相互独立。 由性质由性质2知知， 事件事件 A 与与 B 相互独立相互独立,是指事件是指事件 A 的的 发生与事件发生与事件 B 发生的概率无关发生的概率无关. v 独立与互斥的关系独立与互斥的关系 这是两个不同的概念这是两个不同的概念. 两事件相互独立两事件相互独立 )()()(BPAPABP 两事件互斥两事件互斥 AB , 2 1 )(, 2 1 )( BPAP若若 ).()()(BPAPABP 则则 例如例如 二者之间没二者之间没 有必然联系有必然联系 独立是事件独立是事件 间的概率属间的概率属 性性 互斥是事件间互斥是事件间 本身的关系本身的关系 1 1 A B AB 由此可见由

48、此可见两事件两事件相互独立相互独立但两事件但两事件不互斥不互斥. 两事件两事件相互独立相互独立两事件两事件互斥互斥. A B )( 2 1 )(, 2 1 )(如图如图若若 BPAP )()()(BPAPABP 故故 由此可见由此可见两事件两事件互斥互斥但但不独立不独立. , 0)( ABP则则 , 4 1 )()( BPAP 又如：又如： 两事件两事件相互独立相互独立. 两事件两事件互斥互斥 例例1-1-2727 两射手彼此独立地向同一目标射击两射手彼此独立地向同一目标射击, ,设甲射设甲射 中目标的概率为中目标的概率为0.9,0.9,乙射中目标的概率为乙射中目标的概率为0.8,0.8,求目

49、求目 标被击中的概率标被击中的概率. . 解解 设A表示“甲射中目标”, B表示“乙射中目标”, C表示 “目 标被击中”,则C=AB,A与B相互独立,P(A)=0.9,P(B)=0.8， 故P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) =0.9+0.8-0.9*0.8=0.98. 或利用对偶律对偶律亦可. 注注：A，B相互独立时,概率加法公式可以简化,即当A与B相 互独立时 P(AB)=1-P(A)P(B) 例例1-1-2828 袋中有袋中有5 5个白球个白球3 3个黑球个黑球, , 从中有放回地连续取两次从中有放回地连续取两次, , 每次每次 取取 一个球一个球, , 求两次取出的都是白球的概率求两次取出的都是白球的概率. . 5525 ()( ) ( ) 8864 P ABP A P B 解解 设A表示“第一次取球取到白球”,B表示“第二次取球取到白 球”,由 于是有放回抽取,A与B是相互独立的,所求概率为 例例1-1-2929 设设A A与与B B相互独立相互独立,A,A发生发生B B不发生的概率与不发生的概率与B B发生发生A A 不发生的概率相等不发生的概率相等, ,且且P(A)