八年级数学整式的乘法全章复习华东师大版知识精讲

1、初二数学初二数学整式的乘法全章复习整式的乘法全章复习华东师大版华东师大版 【同步教育信息同步教育信息】 一. 本周教学内容： 整式的乘法全章复习 教学目标 1. 了解正整数幂的运算性质并会计算。 2. 了解单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的法则，会进行简单整 式的计算。 3. 了解两个乘法公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算。 4. 了解因式分解的意义，会用提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法进行因式 分解。 5. 有一定的知识灵活应用的技能。 二. 重点、难点： 教学重点：知识的灵活应用 教学难点：所学知识的逆用 知识梳理 （一）正整数幂的运算性质： （1）同底数

2、幂的乘法 （m、n 为正整数）；aaa mnm n （2）幂的乘方 （m、n 为正整数）；()aa mnmn （3）积的乘方 （n 为正整数）。()aba b nnn 例 1. （1）计算：()()aa 2223 解：解：原式 aaa 4610 () （2）计算：() () 3 4 2 2224 a bab 解：解：原式 9 16 169 4248810 a ba ba b （3）已知：_aaaam m739 ，则 解：解：aa m73 9 712m m 5 （4）已知：，则_xa b 339 8 x 解：解： xab 333 2 () xab 2 3 （5）计算：() () ()xyyxyx

3、 43 解：解：原式()()yxxy 88 或 （6）计算：0254805 20022003100300 . 解：解：原式( )( ) 1 4 48 1 2 20022003100300 ( )( ) 1 4 442 1 2 413 20022002300300 （7）试求是几位整数。N 25 128 分析：分析：N 25225 128848 ()252102 8484 16108 则 N 是十位整数。 （8）已知：，求的值。164221010 23621212 ， xy () 2xy 解：解：22222120 21 2 86621 x xx 10106227 212y yxy （二）整式的乘

4、法 本节的三个运算性质是： （1）单项式与单项式相乘法则 单项式与单项式相乘，只要将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单 项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。 （2）单项式与多项式相乘法则 单项式与多项式相乘，只要将单项式分别乘以多项式的各项，再将所得的积相加。 （3）多项式与多项式相乘法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再 把所得的积相加。 在法则应用中，要时时注意三“数”及整理： （1）项数紧扣法则依次相乘，在没有同类项的情况下，积的项数最多可能是两个 多项式的项数之积，别丢项、漏乘。 （2）次数每一个单项式与单项式乘

5、法运算结果的正确与否，是多项式与多项式相 乘能否正确的保证，故在单项式的计算中要注意字母次数的准确性。 （3）系数积的各项系数及符号，是运算中最容易出错的地方，要正确运用去括号 法则。 （4）整理最后的结果要求有同类项的要合并，有时还要求对结果按某个指定的字 母进行升（降）幂排列。 例 2. 计算： （1）4 1 4 2332 a bxyabyx()() 解：解：原式 4 1 4 2332 a babxyxy()() a bxy 345 () （2）222 322 x yxyx y()() 解：解：原式 44 4242 x yx y 0 （3）2 1 2 5 2222 aabba a bab(

6、)() 解：解：原式 a ba ba ba b 322322 255 63 322 a ba b （4）先化简，再求值： 311 3 1 2 22 x xxxxxx()()() ，其中 解：解：原式33333 32322 xxxxxxx() 33333 52 32322 2 xxxxxxx xx 当，x 1 2 时 原式 5 1 2 2 1 2 2 ()() 5 4 1 1 4 （5）如果的乘积中不含与项。()()xpxxxq 22 83x 2 x 3 分析：分析：乘积中不含项是指项系数为 0。xx 23 、xx 23 及 解：解：()()xpxxxq 22 83 xxqxpxpxpqxxxq

7、 432322 338248 xpxqpxpq xq 432 338248()()() 因为结果不含项，xx 23 ， 则解得： p qp p q 30 380 3 1 （三）乘法公式： 本节的两个乘法公式是： （1）平方差公式 。()()ab abab 22 即：两数的和与它们的差的积，等于这两数的平方差。 （2）完全平方公式 ，()abaabb 222 2 。()abaabb 222 2 即：两数和（差）的平方，等于它们的平方和加上（减去）它们乘积的 2 倍。 本节的一个概念是： 完全平方式 形如“”或“”的多项式。aabb 22 2aabb 22 2 在运用两个乘法公式中要注意以下几点：

8、 （1）公式适用的条件。平方差公式中以和与差的形式出现的两个因式必须都写成二项 式，其中一项完全相同，另一项互为相反“数”；而完全平方公式中的二项式是和（或差） 的平方而非平方和（或差）。 （2）公式中字母的含义。公式中字母 a 和 b 可以是具体的数，也可以是整式。 （3）两个公式可以连续使用，也可以逆向应用。 （4）利用完全平方公式做多项式的乘法，最容易漏写 2ab 项，实际运算中要特别注意。 （5）完全平方公式常与平方差公式联合使用，此时要严格分清公式的各自特点，以防 混淆。 （6）区别“”与“”、“”与“”。()ab 2 ab 22 ()ab 2 ab 22 例 3. 计算： （1）(

9、)()()mmm242 2 解：解：原式()()()mmm224 2 ()()mm m 22 4 44 16 （2）() ()xyxy22 22 解：解：原式()()xy xy22 2 ()xy xx yy 222 4224 4 816 （3）()()abc abc 解：解：原式()()abcabc abc abbcc abbcc 22 222 222 2 2 () () （4）()()()()32 3232322 22448816 解：解：原式()()()()()32 32 3232322 22448816 ()()()()323232322 2222448816 3223 16161616

10、 （5）200220012003 2 解：解：原式200220021 20021 2 ()() 200220021 1 22 () （6）已知，求，的值。ab 5ab 10ab 22 ()ab 2 解：解：()ab 22 5 aabb abab 22 22 225 252 2520 45 ()abaabb 222 2 abab 22 2 452065 （7）一个正方形的边长增加 5cm，它的面积就增加 35cm2，求这个正方形原来的边长。 解：解：设这个正方形原来的边长为 x， 由题意，得： ()xx535 22 xxx x x 22 102535 1010 1 答：答：这个正方形原来的边长为

11、 1cm。 （四）因式分解： （1）因式分解的意义：把一个多项式化为几个整式的乘积形式。 （2）因式分解的基本方法： 提公因式法 ，mambmcm abc() 其中 m 为公因式。 公式法 平方差公式 ；abab ab 22 ()() 完全平方公式 ，aabbab 222 2() ，aabbab 222 2() 其中 a、b 可为数，也可为代数式。 在提公因式时，要注意下列情况的处理： （1）当多项式的首项系数为负的，提公因式时要将负号提出，使括号内第一项的系数 是正的，且要注意括号内其他各项的变号。 （2）当公因式是多项式时，引入“整体”概念，只要把这个多项式看成一个“整体” 或一个字母，按

12、照提字母公因式的方法提出即可。 （3）有时需对多项式的项进行适当的变形之后才能提公因式，这时要特别注意各项的 符号变化。 在运用公式法分解因式时，要掌握各个公式的特征，先将多项式写成公式的标准形式， 再套用公式。当公式中的 a、b 是整式时，要把这个整式看成一个“整体”，再运用公式分 解。 两种方法的综合运用是本节的难点之二。一般情况下，具体操作时，应先考虑是否可 提公因式，然后再运用公式法，要求因式分解在有理数范围内一定要分解到不能继续分解 为止，分解之后一定要将同类项合并，即“一提二套三化简”。 十字相乘法：xab xabxaxb 2 ()()() 或xpxqxaxb 2 ()() 其中p

13、abqab， 分组分解法： 四项式，二二分组或三一分组，分组后能提公因式继续分解，或分组后用公式，最终 达到将四项式最后写成几个整式积的形式。 例 4. 分解因式： （1）x 4 16 解：解：原式()()xx 22 44 ()()()xxx 2 422 （2）()()xyxy 2 41 解：解：原式()()xyxy 2 44 ()xy2 2 （3）1449 23 a ba bab 解：解：原式abaa()14491 2 abaa()49141 2 aba()71 2 （4）xxx 32 6 解：解：原式x xx() 2 6 x xx()()23 （5）463 22 abab 解：解：原式()

14、()()223 2ababab ()()223abab （6）961 22 xyx 解：解：原式 961 22 xxy ()()3131xyxy 例 5. 简便计算： （1）252625000 200120001999 解：解：原式225265000 19992 () 2050005000 1999 （2）()()()()()1 1 2 1 1 3 1 1 4 1 1 9 1 1 10 22222 解：解：原式 ()()()()()()()()()()1 1 2 1 1 2 1 1 3 1 1 3 1 1 4 1 1 4 1 1 9 1 1 9 1 1 10 1 1 10 3 2 1 2 4

15、3 2 3 5 4 3 4 10 9 8 9 11 10 9 10 1 2 11 10 11 20 例 6. 已知，求的值。| ()230 2 xyxyx yxy 22 解：解：由题意得：|()2030 2 xyxy， 即：202xyxy， xyxy303， x yxyxy xy 22 236() 例 7. 求证：能被 7 整除。343103 200019991998 证明：证明：343103 200019991998 334310 19982 () 37 1998 则能被 7 整除。343103 200019991998 例 8. 求的最小值。abab 22 248 解：解：abab 22

16、248 aabb ab 22 22 21443 123()() ()()ab1020 22 ， 的最小值为 3abab 22 248 例 9. 若一个多项式的平方的结果为，求 m 值。412 22 aabm 解：解：412 22 aabm ()23 2 ab mbmb 22 93 【模拟试题模拟试题】 一. 选择题： 1. 计算所得结果是（ ） () () aa 3223 A. B. a10a10 C. D. a12a12 2. 下列各式正确的是（ ） A. B. ()aa 3327 () 39 333 xyx y C. D. () cc 2226 ()dd 248 3. 若，那么代数式 M

17、应是（ ）Mxyyx()39 42 A. B. ()3 2 xyyx 2 3 C. D. 3 2 xy3 2 xy 4. 下列各式是完全平方式的是（ ） A. B. xxyy 22 242510 22 mmnn C. D. aabb 22 xxyy 22 2 1 4 5. 计算的结果中不含关于字母 a 的一次项，那么 m 等于（ ）()()am a 1 2 A. 2B. 2C. D. 1 2 1 2 6. 下列因式分解错误的是（ ） A. 2812246 322 aaaa aa() B. xxxx 2 5623()() C. ()()()abcabc abc 22 D. 24221 22 aa

18、a() 7. 若，则 a 为（ ）()()xyxya 22 A. 0B. 2xy C. D. 2xy4xy 二. 填空题： 8. 比较大小：_1996199711996199619971997 22 9. 若是完全平方式，则 m_。916 22 xmxyy 10. _。()()()xxx 325 11. 若x_，y_。xyxy 22 126，则 12. 计算：_。( )( . )() 2 3 151 199819971999 13. 若_。xxxxx 232 1023，则 14. 若，x，y均为有理数，则_。xyxy 22 46130 x y 15. _。()()() mnnm 222222

19、16. _。已知：，则m m m m 1 3 1 2 2 17. 若 n 为正整数，且的值为_。xxx nnn23222 734，则()() 18. 若，则_。2336 332xxx x 19. 已知：_。xyxyxy 2211，()() 20. 若则()()abab 22 713， _，_。ab 22 ab 三. 计算： 1. ()()4 2335 xyy 2. 233 22 aba ba bab ()() 3. ( .)(.)042 1 2 1 3 025 72 4. ()()()510610710 357 5. 3 216536()()()()xxxx 6. ()()()xxx 1 2 1 4 1 2 2 7. ()()xyz xyz 8. 123122124 2 9. 先化简再求值： 其中()()()()()()aa