二次根式讲义.doc

1、页眉内容二次根式复习讲义知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如 的式子叫二次根式，其中 a 叫被开方数，只有当 a 是一个非负数时， 才有意义【典型例题】【例 1】下列各式1），其中是二次根式的是_（填序号）举一反三：1、下列各式中，一定是二次根式的是（）A、 a10C 、 a 12B 、D 、a 12、在a 、a2b 、x 1 、 1x2、3 中是二次根式的个数有 _个.【例 2】若式子1有意义，则 x 的取值范围是x3举一反三：1、使代数式x3 有意义的 x 的取值范围是（）x4A 、 x3B、 x 3C、 x4D 、 x 3 且 x42、如果代数式m1P（m， n）的位

2、置在（）有意义，那么，直角坐标系中点mnA、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限【例 3】若 y=x5 +5x +2009，则 x+y=a（ a 0），x50x5， y=2009，则 x+y=2014解题思路：式 子5x,0举一反三：1、若 x 11x(x y) 2，则 x y 的值为（）A 1B1C2D32、若 x、 y 都是实数，且 y= 2x332x4 ，求 xy 的值【例 4】已知 a 是 5 整数部分， b 是5的小数部分，求 a1的值。b2举一反三：页眉内容1、若3 的整数部分是a，小数部分是b，则3ab。知识点二：二次根式的性质【知识要点】1. 非负性： a(a 0) 是

3、一个非负数注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到2.( a)2a( a ) 0注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a(a ) 2 (a0)3. a2|a| a(a 0) a(a 0)注意：（ 1）字母不一定是正数（ 2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替（ 3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外4. 公式a2aa(a0)与 ( a) 2a( a0)的区别与联系| |a(a0)（ 1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数（2）(a) 2 表示一个

4、数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数（ 3） a 2 和 ( a) 2 的运算结果都是非负的【典型例题】题型一：二次根式的双重非负性【例 5】若 a 22b 3 c 40，则 a b c举一反三：1、若 m 3 (n1)20 ，则 mn 的值为。二次根式的性质 2（公式 (a ) 2a(a 0)的运用）【例 6】 化简： a1( a3) 2的结果为（）A、 4 2a B 、0C 、2a 4 D 、 4举一反三：1、在实数范围内分解因式：x49_, x222x2_页眉内容二次根式的性质3 （公式a 2aa(a0)的应用）a(a0)【例 7】已知 x2,则化简24 x4 的结果是（）xA、 x

5、 2B 、 x 2C、 x 2D、 2 x举一反三：1、根式(3)2的值是 ()A -3B3 或-3C3D 92、若 a 3 0，则化简a26a94a 的结果是（）(A) 1(B)1(C)2a 7(D)7 2a【例 8】如果表示 a，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简a b+(a b)2的结果等于（）baoA 2bB 2bC 2a D2a举一反三： 实数 a 在数轴上的位置如图所示：化简：a 1(a2)2_ 【例 9】化简 1xx28x16的结果是2x-5 ，则 x 的取值范围是（）（ A） x 为任意实数1（ C） x1（D） x 1（ B） x 4举一反三： 若代数式(2a)

6、 2( a4) 2 的值是常数 2 ，则 a 的取值范围是（）（ A） a 4（ B） a 2（ C） 2 a 4（ D） a 2 或 a 4【例 10】化简二次根式 aa2的结果是（）a2（ A）a2(B)a2(C)a2(D)a2举一反三：1、把二次根式 a1 化简，正确的结果是（）aA.aB.aC.aD.a知识点三：最简二次根式和同类二次根式【知识要点】1、最简二次根式：最简二次根式的定义：被开方数是整数，因式是整式； 被开方数中不含能开得尽方的数或因式2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。

7、【典型例题】下列根式中，不是最简二次根式的是（）页眉内容A 7B 3C1D 22【例 11】举一反三：1、下列根式不是最简二次根式的是()A.a21B.2x1C.2bD. 0.1y42、在根式 1)a2b2 ;2)x ;3)x2xy;4)27abc ，最简二次根式是（）5A1) 2)B3) 4)C1) 3)D1) 4)3、把下列各式化为最简二次根式：(1)12(2)45a2 b【例 12】下列根式中能与3 是合并的是 ()A.8B.27C.25D.12举一反三：1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（）A、 3和 18B 、和1C 、22D 、 a 1和 a 133a b和ab2、在二次根式：

8、 12 ；23； 2； 27 中，能与 3 合并的二次根式3是。知识点四：二次根式计算分母有理化【知识要点】1分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。2有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘， 如果它们的积不含有二次根式， 就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：单项二次根式： 利用aaa 来确定，如：a与a，ab与ab，ab 与ab等分别互为有理化因式。两项二次根式：利用平方差公式来确定。如ab与ab，ab与ab，axby与axby 分别互为有理化因式。页眉内容3分母有理化的方法与步骤：先将分子、分母化成最简二次根式；将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中

9、不含根式；最后结果必须化成最简二次根式或有理式。【典型例题】【例 13】 把下列各式分母有理化（ 1）1（2） 43（3）1 1（4）1 34837212550【例 14】把下列各式分母有理化：（ 1）2（2）53（ 3）3321532233举一反三：1、已知 x23 ， y23 ，求下列各式的值： （ 1） xy （ 2） x23xyy22323xy知识点五：二次根式计算二次根式的乘除【知识要点】1积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。ab =a b （ a 0， b 0）2二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。a b a

10、b （ a 0， b 0）3商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根a = a （ a 0， b0）b b4二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。a = a （ a 0， b0）b b注意 ：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式【典型例题】【例 15】化简(1) 9 16(3)5215(3)16232364b2( a 0,b 0)9x(x 0, y 0)【例 16】化简：(1)(2)(3)649a264 y2知识点六：二次根

11、式计算二次根式的加减【知识要点】页眉内容需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数【典型例题】【例 17】计算（ 1）3217520.5311220543245 ；2；（ 2） 102753457【例 18】（ 3） 127a3a2 33aaa108a （ 4） a14bab13a34a2b【例 19】 1、 2 ab 5 (3a3 b) 3 b2、 1x2 y （ -4y2） 1x2 yb2a3x63、(722)3764、(265)10(265)1123）【例 20】求的值知识点七：根式比较大小【知识要点】1、根式变形法当 a0,b0 时，如果ab ，则 ab ；如果 ab ，则 ab 。2、平方法当 a0, b0 时，如果a2b2 ，则 ab ；如果 a2b2 ，则 ab