典型极坐标参数方程练习题带答案

1、极坐标参数方程练习题1在直角坐标系xOy中，直线Ci： x= 2，圆C2： (x-1)2 + (y 2)2= 1,以坐标原点为极 点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1) 求 Ci, C的极坐标方程；n(2) 若直线C3的极坐标方程为 归4(p R),设C2与C3的交点为M , ”，求厶C2MN的面 积.解：(1)因为x= pcos 0 ， y= pin 0，所以Ci的极坐标方程为pcos B= 2，C2 的极坐标方程为 p2 2 pcos 0 4 psin 0 + 4 = 0.n(2)将 0= 4代入 p2 2 p cos 0 4 pin 0 + 4= 0，得 p2 3 2 p + 4=

2、0，解得 pi =2 2，p 2= 2故 p p= 2,即 |MN| = 2.1由于C2的半径为1,所以 C2MN的面积为4. (2014辽宁，23, 10分，中)将圆x2 + y2= 1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标 变为原来的2倍，得曲线C.(1) 写出C的参数方程；(2) 设直线I: 2x + y 2 = 0与C的交点为P1,巨，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极 轴建立极坐标系，求过线段 P1P2的中点且与I垂直的直线的极坐标方程.x= X1,解：(1)设(X1, y1)为圆上的点，经变换为C上点(x, y),依题意，得cy= 2y1,由 X1 + y2= 1 得 x2+ 2y2= 1

3、. 即曲线c的方程为x2+y4 = 1.x= cos t ,故C的参数方程为(t为参数).y=2sin t由y2x2+4 = 1,4 解得2x+ y 2 = 0x= 1, y= 0x= 0,y= 2.不妨设P1(1, 0), P2(0, 2),则线段P1P2的中点坐标为 2 1，所求直线斜率为k =?,1 1于是所求直线方程为y 1 = 2 x2 化为极坐标方程，并整理得2 p cos 9 4 psin 9 = 3,即 p=3.4sin 9 2cos 9（2015吉林长春二模，23, 10分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为n极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为pcos 9=

4、1, M，N分别为曲线C与x 轴，y轴的交点. 写出曲线C的直角坐标方程，并求 M，N的极坐标； 设M，N的中点为P，求直线OP的极坐标方程.【解析】将2pcos29 = sin 9两边同乘以p,得2（ pcos9 ）2=pin9，化为直角坐标方程为2x2= y，C2： pcos 9 = 1化为直角坐标方程为x= 1，x= 1，联立可解得y= 2，所以曲线C与C2交点的直角坐标为（1，2）.n pos 9 -3-=1,np cos 9 - cosy +psin 9n siny = 1.x= pcos 9 ,11,又二 Zx+y= psin 9 ,2即曲线C的直角坐标方程为x+，3y 2= 0.

5、令 y= 0,则 x= 2;令 x= 0,则 y = 23. M(2, 0), N 0,穿. M的极坐标为(2, 0), N的极坐标为3,专.M , N连线的中点P的直角坐标为1,身,n 直线0P的极坐标方程为 归(p R).注：极坐标下点的坐标表示不唯一.【点拨】解答题(1)的关键是掌握直角坐标化为极坐标的方法；题(2)先转化为直角坐 标问题求解，再转化为极坐标.x= 4+ 5cost,(2013课标I, 23, 10分)已知曲线C的参数方程为(t为参数)，以坐y= 5+ 5si n t标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p= 2sin 9 .(1)把C1的参

6、数方程化为极坐标方程；求C1与C2交点的极坐标(p0 ow 9 V 2n ).x=4+ 5cos t,【解析】将消去参数t，化为普通方程为(x-4)2 + (y 5)2 = 25,y= 5+ 5s in t即 C1： x2 + y2 8x 10y+ 16= 0.x= pcos 9 ，小 c将代入 x2 + y2 8x 10y+ 16= 0，得y= psin 9p 2 8 pcos 9 10 psin 9 + 16 = 0.所以C1的极坐标方程为p2 8 pcos 9 10 psin 9 + 16= 0. C2的普通方程为x2 + y2 2y= 0.联立C1，C2的方程x2 + y2 8x 10

7、y+ 16= 0,x2 + y2 2y= 0,解得x= 1,y= 1x= 0, 或 y=2.所以C1与C2交点的极坐标分别为2, n， 2, n2 .【点拨】本题主要考查圆的参数方程、极坐标方程和标准方程以及圆与圆的位置关系，解题的关键是将参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程求解.（1）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆Ci,C2的极坐标方程, 并求出圆Ci，C2的交点坐标（用极坐标表示）；（2）求圆G与C2的公共弦的参数方程.x= pos 0,解：（1 ）由y= pin 0 ,知圆G的极坐标方程为2,圆C2的极坐标方程为 尸4cos 0 . x2 + y2二 Pp= 2,

8、冗i inn故圆C1与圆C2的交点坐标为2, 3 , 2,.注：极坐标系下点的表示不唯X= pos 0-（2）方法一：由得圆C1与C2交点的直角坐标分别为（1,百），（1,書） y= pin 0X=1, L L 故圆C1与C2的公共弦的参数方程为（一3 t 3）.y=tx 1 ,L厂或参数方程写成 3平3y y,x pcos 0 , 方法二：将x 1代入y pin 0 ,1得如01从而尸cos?.于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为x 1,y tan 05. （2015河北邯郸二模，23, 10分）已知圆C的极坐标方程为 尸2cos 0，直线I的1 套x 2 + 2 t，逼 n参数方程为（t为

9、参数），点A的极坐标为-7,，设直线l与圆C交于点P,1 1 2 4 y2+2tQ.(1)写出圆C的直角坐标方程；求|AP| |AQ的值.解：(1)因为圆C的极坐标方程为p= 2cos 9 , 所以2 pcos 9 ,将其转化成直角坐标方程为x2 + y2 = 2x,即(x 1)2+ y2= 1.由点a的极坐标专,n得直角坐标为a 2，1._ 1丄盟X 2 + 2 t，将直线I的参数方程(t为参数)代入圆C的直角坐标方程(x 1)2+ y2 1,1 1y2+2t0.得t2设t1, t2为方程t2 32 11 2 0的两个根，贝U t1t2 2，1所以 |AP| |AQ| | t1t2| .x

10、tcos a，2. (2015课标U，23，10分，中)在直角坐标系xOy中，曲线 0:(t为y tsin a，参数，t旳)，其中OWaVn .在以0为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2: p2sin 9， C3: p 2 3cos 9 .(1)求C2与C3交点的直角坐标；若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值.解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2+ y2 2y 0，曲线C3的直角坐标方程为x2 + y2 2 3x 0.x2 + y2 2y 0， x2 + y2 2 3x 0，=0, x= 2， 解得或y= 03所以C2与C3交点的直角坐标为(0, 0)

11、和 冷，2 .曲线G的极坐标方程为0= a p R, pH 0,其中0Wx n . 因此A的极坐标为(2sin a , a ), B的极坐标为(2 3C0S a , a ).所以 | AB| = |2sin a 2 3cos a |n=4 sin a .5 n当口=肓时，|AB|取得最大值，最大值为4.1 x= 3 + 2上,3. (2015陕西，23, 10 分,易)在直角坐标系xOy中，直线I的参数方程为(t为参数),以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，O C的极坐标方程为p= 2 3 sin 0 .(1) 写出O C的直角坐标方程；(2) P为直线I上一动点，当P到圆心C的距离最

12、小时，求P的直角坐标.解：由p= 2.3sin 0，得p 2 = 2 寸3 p sin 0 ,从而有x2 +2 . 3y,所以 x2 + (y 3)2= 3.(2)设 P3 +1,，又 C(0,3),故当t = 0时，|pq取得最小值，此时，P点的直角坐标为(3, 0).5. (2014课标U, 23, 10分，中)在直线坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正n半轴为极轴建立极坐标系，半圆 C的极坐标方程为p= 2cos 9，9 0,(1) 求C的参数方程；设点D在C上, C在D处的切线与直线I: y= 3x+ 2垂直，根据中你得到的参 数方程，确定D的坐标.解：C的普通方程为(x1)2 +

13、 y2= 1(0手w 1)x= 1 + cos t,可得C的参数方程为(t为参数，owtn ).y= sin t(2) 设D(1 + cos t, sin t)由(1)知C是以G(1, 0)为圆心，1为半径的上半圆因为 Cn 在点D处的切线与I垂直，所以直线GD与I的斜率相同，tan t =空，n n 3 1/3故D的直角坐标为1 + cos , sin3，即2，.x= 2cost,7. (2013课标U, 23, 10分，中)已知动点P, Q都在曲线C:(t为参数)y= 2s in t上，对应参数分别为t =口与t = 2 o(0a2 n ), M为PQ的中点.(1) 求 M的轨迹的参数方程

14、；将M到坐标原点的距离d表示为a的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点.解：(1)依题意有 P(2cos a , 2sin a ), Q(2cos 2a , 2sin 2a ),因此 M(cos a + cos 2a , sin a + sin 2a ).M的轨迹的参数方程为X= cos a + cos 2a , .c (a为参数，0a 2n ).y= sin a + sin 2a(2) M点到坐标原点的距离d = i；： x2 + y2 =育 2 + 2cos a (0 a2 n ).当a=n时，d= 0,故M的轨迹过坐标原点.x2 y2x= 2 +1,（2014课标I, 23, 10分）已知

15、曲线C: 7 +专二1直线I: （t为参数）y= 2 2t（1）写出曲线C的参数方程，直线I的普通方程；过曲线C上任意一点P作与I夹角为30的直线，交I于点A，求|PA的最大值与最小值.【思路导引】（1 ）由基本关系式可消参求出普通方程；（2）把|PA用参数9来表示，从而求其最值.x= 2cos 9，【解析】（1）曲线C的参数方程为门（9为参数）.y= 3sin 9直线I的普通方程为2x+ y 6 = 0.曲线C上任意一点P（2cos 9，3sin 9 ）到I的距离为d= 5|4cos 9 + 3sin 9 6|._d_sin 302.55|5sin( 9+ M 6|，其中a为锐角，且tan4

16、3.当sin（9+ a）= 1时，I PA取得最大值，最大值为22 55当 sin(9+1 时,|PA取得最小值，最小值为2、55（2013辽宁，23，10分）在直角坐标系xOy中，以0为极点，x轴正半轴为极轴建立极 坐标系.圆G，直线C2的极坐标方程分别为p= 4sin 9， p cos 9 亍=2 2.（1）求Ci与C2交点的极坐标；设P为C的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线 PQ的参数方程为 x=t3+ a，b 3 （t R为参数），求a，b的值.y=尹+1【解析】（1）圆G的直角坐标方程为x2+ （y 2）2=4, 直线C2的直角坐标方程为x+ y 4 = 0.x2+( y

17、 2) 2= 4,x+y4=0xi= 0, yi = 4,X2= 2,y2= 2.ntn所以Ci与C2交点的极坐标为4,，2 2,4 .注：极坐标系下点的表示不唯一.(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0, 2)，(1, 3).故直线PQ的直角坐标方 程为 x y+ 2= 0.由参数方程可得 y= b(x a) + 1 = |x ab + 1,所以b=2=1,-ab+1=2,解得 a= 1, b= 2.【点拨】 解答本题的关键是明确转化思想的运用，即把极坐标化为直角坐标，把参 数方程化为普通方程求解问题.x= 2COS a ,2011课标全国，23,10分)在直角坐标系xOy 中,

18、曲线C1的参数方程为y= 2+2sin a (a为参数),M是C上的动点，P点满足OP= 2OM , P点的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程;n ,在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线B=E与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求|AB|. 解:设 P(x, y), 则由条件知M 2, 2 .由于M点在C1上，所以2 = 2COS a ,2 = 2 + 2sin a ,x = 4COS a , 即y=4 + 4sin a .X = 4C0S a ,从而Q的参数方程为尸4+ 4sin a (a为参数)(2)Ci化为普通方程为x2 + (y2)2 = 4,故曲线Ci的极坐标方程为p= 4sin B ,同理可 得曲线C2的极坐标方程为 尸8sin 9 .n射线与Ci的交点A的极径为2 3,n射线0=3与C2的交点B的极径为8sin = 4 3.所以 | AB| = | p pi| = 2 3.n5. (2014辽宁锦州一模，23, 10分)已知圆的极坐标方程为p24 2 pcos( 9 4)+ 6 =0.(1) 将极坐标方程化为普通方程；(2) 若点P(x, y)在该圆上，求x+ y的最大值和最小值.解：(1)原方程变形为 p2 4pcos 9 4 psin 9 + 6 = 0,化直角坐标方程为 x2 + y2 4x