341相似三角形的判定

1、相似三角形的判定与性质相似三角形的判定与性质 本课内容本节内容 3.4 3.4.1 相似三角形的判定相似三角形的判定 如图，在如图，在ABC中，中，D 为为AB上任意上任意 一点一点. 过点过点D作作BC的平行线的平行线DE，交，交 AC于点于点E. . （1）ADE与与ABC的三个的三个 角分别相等吗角分别相等吗？ （2）分别度量）分别度量ADE 与与 ABC 的边长，它们的边长是否对应成比例的边长，它们的边长是否对应成比例 ？ （3）ADE 与与ABC之间有什么关系？平行之间有什么关系？平行 移动移动DE的位置，你的结论还成立吗？的位置，你的结论还成立吗？ 动脑筋动脑筋 F 我发现只要我发

2、现只要 DEBC，那么，那么 ADE 与与ABC 是相似的是相似的 结论结论 平行于三角形一边的直线与其他两边平行于三角形一边的直线与其他两边 相交，截得的三角形与原三角形相似相交，截得的三角形与原三角形相似. . 由此得到如下结论：由此得到如下结论： 举举 例例 例例1 如图，在如图，在ABC 中，已知点中，已知点D， E分别是分别是AB，AC边的中点边的中点. . 求证：求证：ADE ABC. . ADE ABC. 证明证明 点点D，E分别是分别是AB，AC 边的中点边的中点， DEBC. 例例2 2 如图，点如图，点D为为ABC的边的边AB的中点，过的中点，过 点点D作作DEBC，交边，

3、交边AC于点于点E. .延长延长DE 至点至点F ，使，使DE= EF 求证：求证：CFEABC 练习练习 如图，在如图，在RtABC中，中，C = 90正正 方形方形EFCD的三个顶点的三个顶点E、F、D分别分别 在边在边AB，BC，AC 上上. . 已知已知AC= 7.5， BC= 5，求正方形的边长，求正方形的边长 1. 设正方形设正方形EFCD的边长为的边长为x,则有则有 7 5 7 55 .xx . 答：正方形答：正方形EFCD的边长为的边长为3. 3x.解得解得 如图，已知点如图，已知点O在四边形在四边形ABCD 的对的对 角线角线AC上，上，OEBC，OFCD. . 试试 判断四

4、边形判断四边形AEOF与四边形与四边形ABCD是是 否相似，并说明理由否相似，并说明理由. . 2. 动脑筋动脑筋 我发现这两个三角形是相似的我发现这两个三角形是相似的. . 任意画任意画ABC 和和ABC ，使，使A= A B= B . （1） C = C 吗吗？ （2） 分别度量这两个三角形的边长，它们分别度量这两个三角形的边长，它们 是否对应成比例是否对应成比例？ （3） 把你的结果与同学交流，你们的结论把你的结果与同学交流，你们的结论 相同吗相同吗？由此你有什么发现由此你有什么发现？ 下面我们来证明：下面我们来证明： DE 结论结论 由此得到相似三角形的判定定理由此得到相似三角形的判定

5、定理1： 两角分别相等的两个三角形相似两角分别相等的两个三角形相似. . 举举 例例 例例3 3 如图，在如图，在ABC 中中, ,C=90从从 点点D分别作边分别作边AB，BC的垂线，垂足分别的垂线，垂足分别 为点为点E，F，DF与与AB交于点交于点H求证：求证： DEHBCA 举举 例例 证明证明 C=90， DFBC， BHF =A， DHE =A. 又又 DEH= 90=C， DFAC. DEH BCA（两角分别相等的两个两角分别相等的两个 三角形相似三角形相似.) ) 举举 例例 例例4 4 如图，在如图，在RtABC 与与RtDEF 中，中，C=90， F = 90若若A =D，A

6、B = 5，BC = 4， DE = 3，求，求 EF的长的长 EF = 2.4. ABC DEF. . ABBC DEEF 又又 AB = 5，BC = 4，DE = 3， C = 90，F= 90， A=D ，解解 练习练习 如图，点如图，点E为平行四边形为平行四边形ABCD的边的边BC延延 长线上一点，连接长线上一点，连接AE，交，交CD于点于点F. .请指请指 出图中有几对相似三角形，并说明理由出图中有几对相似三角形，并说明理由. . 1. 答：有三对相似三角形答：有三对相似三角形. .即即 CEFBEA. ADFEBA, ADFECF, 理由是每组三角形中有两个角分别相等理由是每组三

7、角形中有两个角分别相等. . RtABC Rt ACD. ABCD . BCED 2 2 4 1 CD BC AB. ED 解解 ACB+A =90， ACB+ECD =90， 2. 如图，如图，ABBD，EDBD，点，点C是线段是线段 BD的中点，且的中点，且ACCE. . 已知已知ED= 1， BD= 4，求，求AB的长的长 A = ECD. 动脑筋动脑筋 任意画任意画ABC 和和 ABC ABC，使，使 A=A， （1）分别度量）分别度量B和和B B ，C和和CC的大的大 小，它们分别相等吗小，它们分别相等吗？ （2）分别量出）分别量出BC和和 BC BC的长，它们的比等的长，它们的比等

8、 于于k吗吗？ （3）改变）改变A或或k的大小，的大小， 你的结论相同吗你的结论相同吗？由此你有由此你有 什么发现什么发现? ? A AB BA AC C A A B B A A C C k 下面我们来证明：下面我们来证明： D E 结论结论 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. . 结论结论 由此得到相似三角形的判定定理由此得到相似三角形的判定定理2： 两边成比例，不是夹角相等两个三形会相似吗？两边成比例，不是夹角相等两个三形会相似吗？ 例例5 5如图，在如图，在ABC与与DEF中，已中，已 知知C=F=70，AC=3.5cm ， BC=2.5cm，DF

9、 =2.1cm， EF=1.5cm. 求证：求证：ABC DEF. 例例6 6 如图，在如图，在ABC中，中，CD是边是边AB 上的上的 高，且高，且 ADCD CDBD . 求证：求证：ACB = 90. 练习练习 如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，B =ACD， AB = 6， BC = 4，AC = 5，CD= 7.5， 求求AD的长的长 1. 如图，点如图，点B，C分别在分别在ADE 的边的边AD，AE 上，上， 且且AC = 6，AB = 5，EC = 4，DB=7. 求证：求证：ABCAED 2. 动脑筋动脑筋 任意画两个三角形任意画两个三角形ABC 和和 ABC 使使A

10、BC的边长是的边长是 ABC 的边长的边长 的的k倍倍. 分别度量分别度量A和和 A ，B 和和 B ，C和和 C 的大小，它们分的大小，它们分 别相等吗别相等吗？ 由此你得出什么结论？由此你得出什么结论？ 结论结论 三边成比例的两个三角形相似三边成比例的两个三角形相似. . 由此得到相似三角形的判定定理由此得到相似三角形的判定定理3： 判断下图中的两个三角形是否相似，判断下图中的两个三角形是否相似， 并说明理由并说明理由. 举例举例 例例8 8 练习练习 如图，已知点如图，已知点D，E，F分别是分别是ABC 三边的中点，三边的中点， 求证：求证：EDFACB. . 1. 判断图中的两个三角形是否相似，判断图中的两个三角形是否相似， 并说明理由并说明理由. . 2. 中考中考 试题试题 例例1 如图所示，已知如图所示，已知ACPABC，AC=4，AP=2， 则则AB的长为的长为 . . 8 解解 因为因为ACPABC， 所以所以 ， 所以所以 = APAC ACAB 22 4 =8. 2 AC AB AP B A C P 中考中考 试题试题 例例2 已知已知ABC的三边长分别为的三边长分别为6cm，7.5cm，9cm， DEF的一边长为的一边长为4cm，当，当DEF的另两边长是下的另两边长是下 列哪一组时，这两个三角形相似（列哪一组时，这两个三角形相似（ ）. . A.