全国中考数学题分类总汇编规律探索

1、规律探索一.选择题1. ( 2013 泰安，20, 3 分)观察下列等式：3 = 3，3 = 9, 3 = 27, 3 = 81, 3 = 243, 3 =729, 37=2187解答下列问题：3+ 32 + 33+ 34+ 32013的末位数字是()A . 0B. 1C. 3D . 7考点：尾数特征.分析：根据数字规律得出 3 + 32 + 33+ 34+ 32013的末位数字相当于：3 + 7 + 9+ 1 + 3 进而得出末尾数字.解答：解：/ 31= 3, 32= 9, 33= 27, 34= 81, 35= 243, 36= 729, 37= 2187末尾数，每4个一循环，/ 201

2、3 4= 503 T, 3 + 32+ 33 + 34+ 32013的末位数字相当于：3+ 7 + 9+ 1+ 3的末尾数为3, 点评：此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出数字变化规律是解题关键.2. (2013四川绵阳，12, 3分)把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：(1), ( 3,5, 7), (9, 11, 13, 15, 17) , ( 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31),，现用等式 Am= (i, j) 表示正奇数M是第i组第j个数(从左往右数)，如A 7= (2, 3)，则A 2013= ( C )A . (45, 77) B . (45, 39

3、) C . ( 32, 46) D . (32, 23)解析第1组的第一个数为1,第2组的第一个数为3，第3组的第一个数为9，第4组 的第一个数为19，第5组的第一个数为33将每组的第一个数组成数列：1, 3, 9, 19,33 分别计作a1,a 2,a 3,a 4,a 5 an, an表示第n组的第一个数，13/ /9/、1933 、/*目邻数取蓋得2/6 八71014相邻数再取差得4V4Ya1 =1a2 = a 1 +2 a3 = a 2+2+4X 1a4 = a 3+2+4X 2a5 = a 4+2+4 x 3 an = a n-i +2+4 x (n-2)将上面各等式左右分别相加得：a

4、 n =1+2(n-1)+4(n-2+1)(n-2)/2=2n2-4n+3 (上面各等式左右分别相加时，抵消了相同部分 ai + a 2 + a 3 + a 4 + a5 + + a n-i)，当 n=45 时，a n = 3873 2013 ,2013 不在第 45 组当 n=32 时，a n = 1923 2013 ,(2013-1923)- 2+仁46,A20i3=(32,46).如果是非选择题：则2n2-4n+3 2013, 2n2-4n-2010 0，假如2013是某组的第一个数，则2n2-4n-2010=0，解得 n=1+1006 ,31 1006 32,32n B （0,4）,对

5、厶OAB连续作旋转变换，依次得到 亠、 2、 3、 4，则厶2013的直角顶点的坐标为.考点：规律型：点的坐标.专题：规律型.分析：根据勾股定理列式求出AB的长，再根据第四个三角形与第一个三角形的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用2013除以3,根据商为671可知第2013个三角形的直角顶点为循环组的最后一个三角形的顶点，求出即可.解答：解：点 A （- 3，0 ）、B （0，4 ）， AB= | = ；=5，由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：4+5+3=12，/ 2013 3=671， 2013的直角顶点是第

6、 671个循环组的最后一个三角形的直角顶点，671 X2=8052， 2013的直角顶点的坐标为（8052，0）.故答案为：（8052, 0）.点评：本题是对点的坐标变化规律的考查了，难度不大，仔细观察图形，得到每三个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键，也是求解的难点.3. （ 2013广东珠海，10, 4分）如图，正方形 ABCD的边长为1,顺次连接正方形 ABCD 四边的中点得到第一个正方形 AiBiCiDi,由顺次连接正方形 AiBiCiDi四边的中点得到第A6B6C6D6周长是考点：中点四边形.专题：规律型.分析：根据题意，利用中位线定理可证明顺次连接正方形ABCD四边中点得正方形

7、 AiBiCiDi的面积为正方形ABCD面积的一半，根据面积关系可得周长关系，以此类推可得正方形 A6B6C6D6的周长.正方形ABCD面积的一半，即，则周长是原来的解答：解：顺次连接正方形 ABCD四边的中点得正方形 A iBiCiDi,则得正方形A iBiCiDi的面积为2，顺次连接正方形 AiBiCiDi中点得正方形 A2B2C2D2,则正方形 A2B2C2D2的面积为正方形A1B1C1D1面积的一半，即，则周长是原来的;A2B2C2D2面积的一半，即，则周长是原来的顺次连接正方形A2B2C2D2得正方形A3B3C3D3,则正方形A3B3C3D3的面积为正方形I ;顺次连接正方形 A3B

8、3C3D3中点得正方形A4B4C4D4,则正方形A4B4C4D4的面积为正方形A3B3C3D3面积的一半=则周长是原来的;以此类推：第六个正方形A6B6C6D6周长是原来的，正方形ABCD的边长为1 ,周长为4,二第六个正方形 A 6B6C6D6周长是.故答案为：.点评：本题考查了利用了三角形的中位线的性质，相似图形的面积比等于相似比的平方的性质.进 而得到周长关系.4. （ 2013贵州安顺，18, 4分）直线上有2013个点，我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点，经过3次这样的操作后，直线上共有 个点.考点：规律型：图形的变化类.分析：根据题意分析，找出规律解题即可.解答：解：第一次

9、：2013+ （2013 - 1） =2 2013 - 1,第二次：2X2013 - 1+2X2013 - 2=4 2013- 3,第三次：4X2013 - 3+4X2013 - 4=8 2013 - 7.经过3次这样的操作后，直线上共有8X013 - 7=16097个点.故答案为：16097.点评：此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出点的变化规律是解题关键.5. （2013湖北孝感，17, 3分）如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.例考点：规律型：图形的变化类.3,根据此规律依次进行计专题：规律型.分析：计算不难发现，相邻两个图形的小石子数的差值依次增加算即可得解.解答

10、:解：T 5-仁4,12 - 5=7,22 - 12=10,相邻两个图形的小石子数的差值依次增加3,第4个五边形数是 22+13=35 ,第5个五边形数是 35+16=51 .故答案为：51.点评：本题是对图形变化规律的考查，仔细观察图形求出相邻两个图形的小石子数的差值依次增加3是解题的关键.6 . (2013湖南娄底，18, 4分)如图，是用火柴棒拼成的图形，则第n个图形需2n +1根考点：规律型：图形的变化类.分析:按照图中火柴的个数填表即可当三角形的个数为:1、2、3、4时，火柴棒的个数分别为：3、5、7、9,由此可以看出当三角形的个数为n时，三角形个数增加 n - 1个,解答:那么此时

11、火柴棒的个数应该为：3+2 ( n -解：根据图形可得出:当三角形的个数为1时,火柴棒的根数为当三角形的个数为2时,火柴棒的根数为当三角形的个数为3时,火柴棒的根数为当三角形的个数为4时,火柴棒的根数为1 )进而得出答案.由此可以看出：当三角形的个数为n时，火柴棒的根数为 3+2 (n- 1) =2n+1 .故答案为：2n+1 .点评：此题主要考查了图形变化类，本题解题关键根据第一问的结果总结规律是得到规律:三角形的个数每增加一个，火柴棒的个数增加2根，然后由此规律解答.2 2 2 27. (2013 贵州省黔东南州，16, 4 分)观察规律：1=1 ； 1+3=2 ; 1+3+5=3 ; 1

12、+3+5+7=4 ;, 则 1+3+5+2013 的值是 1014049.考点：规律型：数字的变化类.分析：根据已知数字变化规律，得出连续奇数之和为数字个数的平方，进而得出答案.解答：解：.1=12； 1+3=22; 1+3+5=32; 1+3+5+7=42;，1+3+5+ -+2013= ( ) 2=10072=1014049.故答案为：1014049.点评：此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出数字的变与不变是解题关键.8. (2013河 北 省，20, 3 分)如图 12, 一段抛物线：y = x(x 3) ( 0x2013 - 1,第二次：2X2013 - 1+2X2013 - 2=

13、4 2013- 3,第三次：4X2013 - 3+4X2013 - 4=8X2013 - 7.经过3次这样的操作后，直线上共有 8X013 - 7=16097个点.【方法指导】此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出点的变化规律是解题关键.10. （2013山东滨州，18, 4分）观察下列各式的计算过程：5X 5=0X 1 X 100+25,15X 15=1 X 2X 100+25 ,25X 25=2X 3X 100+25 ,35X 35=3X 4X 100+25 ,请猜测，第 n个算式（n为正整数）应表示为 .2【答案】：10（ n 1）5100 n（n 1）25.【解析】根据数字变化规律得

14、出个位是5的数字数字乘积等于十位数乘以十位数字加1再乘以100再加25,进而得出答案.【方法指导】此题主要考查了数字变化规律，根据已知数字得出数字之间的变与不变是解题关键.11. （2013浙江湖州,15,4分）将连续的正整数按以下规律排列，则位于第7行、第7列的数X是 列第二列第三列第四列第五列第六列第七列第行13101521遽第2行25g142027第3行4313IP26I-第4行112IS25第5行111734第6行16231第7行u- -2【答案】85【解析】第一行的第一列与第二列差个2,第二列与第三列差个 3，第三列与第四列差个 4，第六列与第七列差个 7,第二行的第一列与第二列差个

15、3，第二列与第三列差个 4,第三列与第四列差个 5,第五列与第六列差个 7,第三行的第一列与第二列差个4，第二列与第三列差个5，第三列与第四列差个 6,第四列与第五列差个 7,第七行的第一列与第二列 差个8,是30,第二列与第三列差个 9,是39,第三列与第四列差个 10,是49,第四列与 第五列差个11,是60,第五列与第六列差个 12,是72,第六列与第七列差个 13,是85 ； 故答案为：85.【方法指导】此题考查了数字的变化猜想归纳， 这是一道找规律的题目， 要求学生通过观察， 分析、归纳发现其中的规律， 并应用发现的规律解决问题， 解决本题的关键是得到每行中前 一列与后一列的关系.1

16、2. （2013江西南昌，14, 3分）观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得 到第n个图形中所有的个数为 （用含n的代数式表示）.【解析】找出点数的变化规律，先用具体的数字等式表示，再用含字母的式子表示.1 1+3-42 1+3+5=93 1+35+7-164 1+3+5+7+9-25n 1+3+5+7+.+ （2 丹+1=（H-rl）*【方法指导】由图形的变化转化为数学式子的变化，加数为连续奇数，结果为加数个数的平方13、（2013深圳，16, 3分）如下图，每一幅图中均含有若干个正方形，第幅图中含有1个正方形；第幅图中含有 5个正方形；按这样的规律下去，则第（6）幅图中含有个

17、正方形；【答案】91【解析】第幅图中含有1个正方形，第幅图中含有5个正方形；第幅图中含有 14个正方形，1 12 ; 5 12 22 ； 14 12 22 32，则第幅图中含有：2 2 2 2 2 21 2345691个正方形【方法指导】 首先，分类讨论正方形的类型及个数，做到不重不漏，是发现规律的关键。其次，探究数据之间的联系及规律，要将数据作恰当的分解。本题还可以借二次函数模型来解决。14. （2013四川宜宾，14, 3分）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆， 第3个图形有16个小圆， 第4个图形有24个小圆，依次规律，第6个图形有 个

18、小圆.OO44oooa0aooao a oo ooo第1个屈形第丄个凰阳第3个凰形第4个酬【答案】46 .【解析】观察上图可发现所有图形中外侧都有四个小圆，这是不变的而中间小圆的个数第一个图形可表示为1 2，第二个图形可表示为2 3，第三个图形可表示为3 4，第四个图形可表示为4 5,所有第n个图形中小圆的个数可表示为4+n（n+1）故第6个图形中小圆的个数为46.【方法指导】本题考察了根据图形寻找规律的知识，解找规律的题目时首先寻找各部分的共同点然后找各部分的不同点，若题目给出的条件没有找到规律可仿照题目条件继续往下写几个，一般3-5个式子或图形即可找到规律.15. （2013四川雅安，13

19、, 3分）已知一组数2, 4, 8, 16, 32,，按此规律，则第 n个 数是.【答案】2n【解析】先观察所给的数，得出第几个数正好是次方.2的几次方，从而得出第n个数是2的n【方法指导】此题考查了数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决实际问题，解题的关键是确定第几个数就是2的几次方.16. (2013福建福州，22, 14分)我们知道，经过原点的抛物线的解析式可以是y= ax2 +bx( a 丰 0)(1) 对于这样的抛物线：当顶点坐标为(1, 1)时，a =；当顶点坐标为(m, m), m 0时，a与m之间的关系式是 ;(2) 继续探究，如果0,且过原点

20、的抛物线顶点在直线y= kx(kz 0)上，请用含k的代数式表示b;(3) 现有一组过原点的抛物线，顶点A1, A2,，An在直线y= x上，横坐标依次为1 , 2, n (为正整数，且 n 12),分别过每个顶点作 x轴的垂线，垂足记为 B1, B2,，Bn,以线 段AnBn为边向右作正方形 AnBnCnDn,若这组抛物线中有一条经过 Dn,求所有满足条件的正 方形边长.2【思路分析】(1)利用顶点坐标公式(,j4ac )得出方程组求解即可；2a 4a(2)将该抛物线的顶点坐标(b2a4ac b24a)代入直线方程y = kx (kz 0),即可求得用含k的代数式表示b;(3)根据题意可设

21、An ( n, n),点Dn所在的抛物线顶点坐标为(t, t).由(1)( 2)可 得，点Dn所在的抛物线解析式为y=】x2+ 2x.所以由正方形的性质推知点Dn的坐标是t(2n, n),则把点Dn的坐标代入抛物线解析式即可求得4n= 3t.然后由n、t的取值范围来求点An的坐标，即该正方形的边长.1【答案】(1) 1; a=(或 am+ 1 = 0)；m(2)解：T az 0 y= ax2 + bx= a(x+ )22a 4a顶点坐标为（,-）2a 4a顶点在直线y= kx上 k（ - A）=匕2a 4a/ b 工 0 b = 2k（3）解：顶点 An在直线y= x上可设An的坐标为（n,

22、n）,点Dn所在的抛物线顶点坐标为（t, t）1由（1）（ 2）可得，点Dn所在的抛物线解析式为 y=- x2+ 2Xt四边形 AnBnCnDn是正方形点Dn的坐标为（2n, n） 1 （2n）2+ 2 x 2n=nt 4n = 3t/1、n是正整数，且 t 12 , nW 12 n = 3, 6 或 9满足条件的正方形边长为3, 6或9【方法指导】本题考查了二次函数的顶点坐标公式以及函数图像上点的坐标与其解析式的关系，另外还涉及到正方形的性质求二次函数顶点坐标时，可以运用公式也可运用配方法，函数图像上点的坐标适合其函数解析式，解答第（3）题时，要注意n的取值范围吆！17. （2013广东湛江

23、，16, 4分）如图，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上，从内到外，它们的边长依次为2, 4, 6, 8,，顶点依次用 A、A2、A3、A、表示，其中AA2与x轴、底边 AA与A4A5、A4A5与A7A8、均相距一个单位，则顶点 A3的坐 标是, A22的坐标是 .【答案】（0, J3 1）, （ 8, 8）.【解析】由于22 3 7余1，而A的坐标为（一1, 1）,A的坐标为（一2, 2）A的坐标为（一3, 3）A22的坐标为（一8, 8）【方法指导】解决数字规律或图形规律突破点之一，用表格上下把数的序号及图形的序号表示出来，再在后面写出它的结果，这样容易看出其中的规律；三解答题1

24、. （2013江苏南京，27, 10分）对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方 向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似。例如，如图 ， ABC ABC 且沿周界ABCA与ABCA环绕的方向相同, 因此 ABC与厶ABC互为顺相似；如图 ， ABC- ABC,且沿周界 ABCA与 ABCA环绕的方向相反，因此 ABC与厶ABC互为逆相似。（1）根据图I、图II和图III满足的条件，可得下列三对相似三角形： ADE与厶ABC; GHO与厶KFO ； NQP与厶NMQ。其中，互为顺相似的是 ;互为逆相似的是。（填写所有符合

25、要求的序号）（2）如图 ，在锐角 ABC中，A BOX第1 了题團）答案：0,420i3或0026 （注：以上两答案任选一个都对）Rt AOB中，因为OA=1所以OB=2 Rt AOB中，所以OA=4,即点A的坐标为(0,4),2同理OBi=8，所在Rt A2OB1中，OA2=16，即点A的坐标为(0,4 )依次类推，点A2013的坐标为(0,42013)或(0,24026).17.(2013 聊城，17，3分)如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上,向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1(0, 1), A2 (1 , 1), A3 ( 1, 0), A4

26、(2, 0),那么点 A4n+1 (n 为自然数)的坐标为(用n表示)J111J1 fr考点：规律型：点的坐标.专题：规律型.分析：根据图形分别求出n = 1、2、3时对应的点A4n+1的坐标，然后根据变化规律写出即可.解答：解：由图可知，n= 1时，4X1+ 1= 5，点As (2, 1),n = 2 时，4X2 + 1= 9,点 A9 (4, 1),n = 3 时，4X3 + 1= 13,点 A13 (6, 1),所以，点 A4n+1 (2n, 1).故答案为：(2n, 1).点评：本题考查了点的坐标的变化规律，仔细观察图形，分别求出n= 1、2、3时对应的点A4n+1的对应的坐标是解题的

27、关键.17. (2013 潍坊，17, 3分)当白色小正方形个数 n等于1, 2, 3时，由白色小正方形和和黑色小正方形组成的图形分别如图所示.则第n个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于 .(用n表示，n是正整数)廿D 却A=ta=211=3答案：n2 + 4n考点：本题是一道规律探索题，考查了学生分析探索规律的能力.点评：解决此类问题是应先观察图案的变化趋势，然后从第一个图形进行分析，运用从特殊到一般的探索方式，分析归纳找出黑白正方形个数增加的变化规律，最后含有n的代数式进行表示.1. （2013?衢州4分）如图，在菱形各边中点，可得四边形AiBiClDl;ABCD中，边长为10

28、, / A=60 顺次连结菱形 ABCD顺次连结四边形 A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去 .则四边形 A2B2C2D2的周长是【思路分析】根据菱形的性质以及三角形中位线的性质以及勾股定理求出四边形各边长得出 规律求出即可【解析】菱形ABCD中，边长为10, / A=60 顺次连结菱形 ABCD各边中点, AA1D1是等边三角形，四边形 A2B2C2D2是菱形， A1D1=5, C1D仁AC=5打订,A2B2=C2D2=C2B2=A2D2=5,四边形A2B2C2D2的周长是：5 4=20 ,

29、同理可得出：A3D3=5 C3D3=AC=,A5D5=5 X () 2, C5D5=AC= () 25 .:,四边形 A2013B2013C2013D2013 的周长是2 ( 5+53)5+EVs2icoelaos故答案为:20, 一 ；1005根据【方法指导】此题主要考查了菱形的性质以及矩形的性质和中点四边形的性质等知识, 已知得出边长变化规律是解题关键.4681.（ 2013山西，15，3分）一组按规律排列的式子：a2 a a a，一，一，一，则第n个式子是3 572n【答案】a （ n为正整数）2n-12468【解析】已知式子可写成:,a , a ,a，分母为奇数，可写成 2n-1,分子

30、中字母a1357的指数为偶数2n。2. （2013四川巴中，20, 3分）观察下面的单项式：a,- 2a2, 4a3,- 8a4,根据你发现的 规律，第8个式子是-128a8 .考点：规律型：数字的变化类.专题：规律型.分析：根据单项式可知n为双数时a的前面要加上负号，而a的系数为2（n-1）, a的指数为n. 解答：解：第八项为-27a8= 128a8点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的.3. （2013四川内江，24, 6分）如图，已知直线I: y=.；x,过点M （2, 0 ）作x轴的垂线 交直线I于点N

31、，过点N作直线I的垂线交x轴于点M1；过点M1作x轴的垂线交直线I于N1,过点N1作直线I的垂线交x轴于点M2,；按此作法继续下去，则点M10的坐标为(884736, 0)考点：一次函数综合题.分析：本题需先求出0A1和0A2的长，再根据题意得出 0An=4n，求出0A4的长等于4,即 可求出A4的坐标.解答：解：直线I的解析式是y= . Ux, / NOM=60 点M的坐标是(2, 0), NM / x轴，点N在直线y聒x上， NM=2 _ ；, ON=2OM=4 .又 NM 1 丄 I，即 / ONM 仁901 OM 1=2ON=4 OM=8 .2同理，OM2=4OM1=4OM ,23OM3=4OM 2=4 4 OM=4 OM ,10OM1O=4 OM=884736 .点 M10 的坐标是(884736, 0).故