从麦克斯韦方程组出发,导出电磁波在导体与介质中的基本VIP

1、 1 平面电磁波平面电磁波 电磁波在空间传播有各种各样的形式，最简单、电磁波在空间传播有各种各样的形式，最简单、 最基本的波型是平面电磁波。最基本的波型是平面电磁波。 1 1自由空间电磁场的自由空间电磁场的 基本方程基本方程 0 0 B E t D H t D B 0 1 2 2 2 2 t B c B 2 2真空中的波动方程真空中的波动方程 0 1 2 2 2 2 t E c E 00 1 c 3 3介质的色散介质的色散 若电磁波仅有一种频率成分若电磁波仅有一种频率成分 ED HB 若电磁波具有各种频率成分，则：若电磁波具有各种频率成分，则： txEtxD, txHtxB, 实际上具有各种成

2、分的电磁波可以写为：实际上具有各种成分的电磁波可以写为： , it Ex tEed 对均匀介质对均匀介质，由于介质的相对电容率和由于介质的相对电容率和 相对磁导率是频率的函数，因此在介质中，不同频率的相对磁导率是频率的函数，因此在介质中，不同频率的 电磁波有不同的相速度，这种现象称为电磁波有不同的相速度，这种现象称为。 ( ) 4 4时谐波（又称定态波）及其方程时谐波（又称定态波）及其方程 时谐波是指以单一频率时谐波是指以单一频率 做正弦（或余弦）振荡的做正弦（或余弦）振荡的 电磁波（又称为单色波或者定态电磁波）。电磁波（又称为单色波或者定态电磁波）。 这种波的空间分布与时间这种波的空间分布与

3、时间t t无关，时间部分可以表无关，时间部分可以表 示为示为 ，因此有以下关系成立：，因此有以下关系成立：tite ti sincos , i t E x tE x e ti exBtxB , ti exDtxD , ti exHtxH , 0 0 B E EB BE i i 代人介质中的麦克斯韦方程组代人介质中的麦克斯韦方程组 相应的亥姆霍兹方程为相应的亥姆霍兹方程为 0 0 22 22 BkB EkE k 概括概括地，在一定频率下，麦克斯韦方程组地，在一定频率下，麦克斯韦方程组 0 0 22 E EB EE i k 和和 0 0 22 B BE BB i k ikx ikx eBxB eE

4、xE 0 0 )( )( )( 0 )( 0 ),( ),( tkxi tkxi eBtxB eEtxE 上述一维（上述一维（x x轴方向传播）常微分方程的一个解轴方向传播）常微分方程的一个解 是是 其场强的表达式为其场强的表达式为 由由条件条件 0 0 B E 得得 0 0 Be Ee x x ik ik 即要求即要求 0, 0 xx BE 上述代表一种可能的模式，横电磁模（）上述代表一种可能的模式，横电磁模（）。 )cos(),( )cos(),( 0 0 tkxBtxB tkxEtxE 对于实际存在的场强应理解为只取其的实部，即对于实际存在的场强应理解为只取其的实部，即 式中式中 )co

5、s(tkx 称为称为。 t k x 上面所得到的解表示一个沿上面所得到的解表示一个沿x x轴方向传播的平面波轴方向传播的平面波。 在时刻在时刻t =t =0 0，相位因子，相位因子coskxcoskx，x=x=0 0的平面处于波的平面处于波 峰；峰； 在时刻在时刻t t，相位因子变为，相位因子变为coscos( (kxkx- -t t) )，其波峰移，其波峰移 到到kxkx-t=t=0 0处，即移到处，即移到 00 1 c 1 k v 在在真空中，电磁波的传播速度为真空中，电磁波的传播速度为 由由相位因子可得平面电磁波的相速度为相位因子可得平面电磁波的相速度为 电磁波电磁波状态（状态（相位）传

6、播的速度，称为相位）传播的速度，称为。 在介质中，电磁波的传播速度为在介质中，电磁波的传播速度为 rr c v 介质中对电磁波的折射率可以写成介质中对电磁波的折射率可以写成 rr n 在如图所示的坐标系下，平面电磁波的表示式为在如图所示的坐标系下，平面电磁波的表示式为 z y x P S k r r )( 0 )( 0 ),( ),( ti ti eBtrB eEtrE rk rk k k表示沿电磁波传表示沿电磁波传 播方向的一个矢量，其播方向的一个矢量，其 值为值为 k 在图中，取垂直于矢量在图中，取垂直于矢量k k的任一平面的任一平面S S，设，设P P为此为此 平面上的任一点，位矢为平面

7、上的任一点，位矢为r r，则有，则有 z y x P S k r r r k rk rr为为r r在矢量在矢量k k上的投上的投 影。影。 由于在平面由于在平面S S上任上任 意点的位矢在意点的位矢在k k上的上的 投影都等于投影都等于rr，因此，因此 整个平面是等相面整个平面是等相面。 )( 0 )( 0 ),( ),( ti ti eBtrB eEtrE rk rk 波函数波函数 表示沿表示沿k k 方向传播的平面波。方向传播的平面波。k k称为称为，其数值，其数值 k 称为称为。 k r 2 由于沿电磁波传播方向相距沿电磁波传播方向相距为为 nk 2 的两点，其相位差为的两点，其相位差为

8、22。所以，波矢可以写成。所以，波矢可以写成 n n表示平面的法线。表示平面的法线。 0 0 B E 电磁波解必须满足条件电磁波解必须满足条件 对方程解取散度，可得对方程解取散度，可得 0BkEk 横波特性横波特性(TEM波）波） 证明：证明： 0)()( 000 xk ixk ixk i eEk iEeeEE 0Ek 0Bk 同理同理 在平面电磁波中，电场波动和磁场波动都垂直在平面电磁波中，电场波动和磁场波动都垂直 于于k k的方向，电磁波为横波。的方向，电磁波为横波。 在平面电磁波中，由于在平面电磁波中，由于E E和和B B都可以在垂直于都可以在垂直于k k的的 任意方向上振荡，因此，通常

9、将任意方向上振荡，因此，通常将E E( (或或B B) )的取向称为的取向称为 电磁波的电磁波的。 一般情况下，选择与一般情况下，选择与k k垂直的任意两个互相正交垂直的任意两个互相正交 的方向，作为电场的方向，作为电场( (或磁场或磁场) )的两个独立偏振方向。的两个独立偏振方向。 因此，因此，对每一波矢量对每一波矢量k k，存在两个独立的偏振波，存在两个独立的偏振波。 EB i 电磁波的电场和磁场满足关系电磁波的电场和磁场满足关系 平面电磁波电场的旋度为平面电磁波电场的旋度为 EkEi 证明：证明： E k Ee i eE i E i B xk ixk i 00 在平面电磁波中，电场与磁场

10、相互垂直，在平面电磁波中，电场与磁场相互垂直，E EB B 沿着波矢沿着波矢k k方向方向。 1 B E 在在平面电磁波中，电场波动与磁场波动同相，其平面电磁波中，电场波动与磁场波动同相，其 振幅比为振幅比为 在在真空中，平面电磁波的电场与磁场的振幅比为真空中，平面电磁波的电场与磁场的振幅比为 c B E 00 1 在介质在介质中，平面电磁波的电场与磁场的振幅比为中，平面电磁波的电场与磁场的振幅比为 n c B E 1 平面电磁波沿传播方向各点上的电场和磁场瞬时平面电磁波沿传播方向各点上的电场和磁场瞬时 值如图值如图所示。所示。 随着时间的推移，整个波形向随着时间的推移，整个波形向x x轴方向

11、以速度轴方向以速度c / c / n n 移动移动。 22 1 BE 即即平面电磁波中电场能量和磁场能量相等平面电磁波中电场能量和磁场能量相等，所以有所以有 22 22 1 1 2 1 BE BEw )cos( 0 tEErk 由于能量密度由于能量密度是场强的二次式，不能把场强的复是场强的二次式，不能把场强的复 数表数表示直接代入。计算瞬时值时，应代入实数示直接代入。计算瞬时值时，应代入实数 所以得所以得 )(2cos1 2 1 2 0 tEwrk 平面电磁波的能量密度是随时间迅速变化的量平面电磁波的能量密度是随时间迅速变化的量实实 际上我们只需要用到它们的时间平均值。际上我们只需要用到它们的

12、时间平均值。 平面电磁波的平均能量密度为平面电磁波的平均能量密度为 2 0 2 0 0 2 0 2 1 2 1 )(2cos1 2 11 BE dttE T w T rk EnB 所以得所以得能流密度能流密度 nEnES)( 2 E 或写成或写成 nSvw )cos( 0 tEErk 能流密度也能流密度也是场强的二次式，因而也不能把场强是场强的二次式，因而也不能把场强 的复数表的复数表示直接代入，而应代入实数表达式示直接代入，而应代入实数表达式 所以得能流密度的瞬时值所以得能流密度的瞬时值 nrkS)(2cos1 2 1 2 0 tEv 将能流密度的时间平均值定义为平面波的强度。将能流密度的时

13、间平均值定义为平面波的强度。 平面电磁波的平均能流密度为平面电磁波的平均能流密度为 n nrkS 2 1 )(2cos1 2 11 2 0 0 2 0 E dttEv T T 2 2 电磁波在介质界面上的反射和折射电磁波在介质界面上的反射和折射 电磁波入射到介质界面上，会发生反射、折射电磁波入射到介质界面上，会发生反射、折射 现象。反射、折射既然发生在界面上，就属于边值现象。反射、折射既然发生在界面上，就属于边值 问题。从电磁场理论可以导出反射和折射定律，也问题。从电磁场理论可以导出反射和折射定律，也 从一个侧面证明麦氏方程的正确性。从一个侧面证明麦氏方程的正确性。 0)( )( )( 0)(

14、 12 12 12 12 BBn DDn HHn EEn 0, 0 对于绝缘介质 0)( 0)( 12 12 HHn EEn )( 0 )( 0 )( 0 txki txki txki eEE eEE eEE （2）波矢量分量间的关系）波矢量分量间的关系 yyy xxx kkk kkk 且且 和和 在一个平面内在一个平面内,k k k 证明证明0)( 12 EEn EEE 1 EE 2 EnEEn )( xk ixk ixk i eEneEeEn 000 )( 在界面上在界面上 z= 0, xz= 0, x，z z 任意任意 )( 0 )( 0 )( 0 ykxkiykxkiykxki yxy

15、xyx eEneEneEn E E E k k k n z y x 因为任意，要使上式成立，只有因为任意，要使上式成立，只有 yx， , xx k k xx kk 同理可以证明同理可以证明 yyy kkk 两边除以两边除以exp () xy i k xk y 0 )()( 0 )()( 0 EneEneEn ykkxkkiykkxkki yyxxyyxx 两边对两边对x求偏导求偏导 0 )()( )(Enekki ykkxkki xx yyxx 0 )()( )(Enekki ykkxkki xx yyxx )()( 00 )()( ykkxkki xxxx yyxx eEnkkEnkk （4

16、）入射、反射、折射波矢与）入射、反射、折射波矢与z z轴夹角之间的关系轴夹角之间的关系 因此反射、折射波矢也在因此反射、折射波矢也在 平面平面zx （3 3）入射波、反射波、折射波在同一平面）入射波、反射波、折射波在同一平面 入射波在入射波在 平面且平面且zx0 y k0 yy kk 12 sinsinnn sinsinkk sinsinkk kk sinkkx sinkkx sinkkx 2 v k 1 v kk 1 2 21 1 2 11 22 2 1 sin sin n n n v v 0 振幅和位相的关系振幅和位相的关系 1 垂直入射面（垂直入射面（ 平面）平面）E zx EE )0(

17、 | E E E E k k k n z x H H H 0)( 0)( HHHn EEEn ttt ttt HHH EEE HHH EEE coscoscos )sin( sincos2 coscos cos2 )sin( )sin( coscos coscos 21 1 21 21 E E E E coscoscos 211 EEE EEE sin sin 1 2 1 B E HB EH 021 2 平行入射面（平行入射面（ ） E 0 EEE ， 入射面，假定入射面，假定 与与 方向相同方向相同 H HH ， H coscoscosEEE HHH 由边值关系得：由边值关系得： )cos(

18、)sin( sincos2 coscos cos2 )( )( coscos coscos 12 1 12 12 E E tg tg E E 3 在任意方向，可以分解为在任意方向，可以分解为E EEE 相位关系分析相位关系分析 ，从光疏煤质到光密煤质，从光疏煤质到光密煤质 21 反相位。与（大角度入射）若 同相位；与（小角度入射）若 同相位；与与假定相同， 相位相反与， EE EE EEE EEEE , 2 , 2 0 00 但是但是 与与 总是同相位。总是同相位。 E / E 1 2 sin sin 0)sin( 0)sin( 0 0 )sin( )sin( 31 31 1 2 E E 当当

19、入射角大于折射角时，根据菲涅耳公式，有入射角大于折射角时，根据菲涅耳公式，有 这说明，反射波与这说明，反射波与入射波反相，相当于在反射波的入射波反相，相当于在反射波的 相位上附加了相位上附加了。此时，反射波与入射波可表示为此时，反射波与入射波可表示为 )( 022 )( 011 2 1 txki txki x x eEE eEE 0 )( )( 31 31 /1 /2 tg tg E E 当入射角与折射角之和大于当入射角与折射角之和大于/2/2时，根据菲涅耳时，根据菲涅耳 公式，有公式，有 反射波与反射波与入射波反相，存在半波损失。入射波反相，存在半波损失。 当电磁波从疏介质正入射（或掠入射）

20、到密介质当电磁波从疏介质正入射（或掠入射）到密介质 时，无论电场在哪个方向都将出现半波损失。时，无论电场在哪个方向都将出现半波损失。 0 )( )( 31 31 /1 /2 tg tg E E 当入射角与折射角之和等于当入射角与折射角之和等于/2/2时，根据菲涅耳时，根据菲涅耳 公式，有公式，有 无论无论入射波是什么状态，反射波中电场没有平行入射波是什么状态，反射波中电场没有平行 于入射面的分量。于入射面的分量。此时，反射波成为完全偏振的此时，反射波成为完全偏振的 电磁波。这一现象，称为布儒斯特定律。电磁波。这一现象，称为布儒斯特定律。 当当电磁波由密介质射向疏介质时，入射角将小于电磁波由密介

21、质射向疏介质时，入射角将小于 折射角。折射角。 当当入射角波增大到某一个临界角度时，折射角可入射角波增大到某一个临界角度时，折射角可 增大至增大至/2/2，相对于折射波从界面掠过。，相对于折射波从界面掠过。 当入射角将大于临界角时，疏介质中将不再有当入射角将大于临界角时，疏介质中将不再有 折射波，电磁波全部被反射回密介质中。这种现折射波，电磁波全部被反射回密介质中。这种现 象，称为全反射或全内反射。象，称为全反射或全内反射。 211 sinn 发生发生全反射的临界角为全反射的临界角为 当入射角将大于临界角时，有当入射角将大于临界角时，有 1 sin sin 1 3 n 折射波的电磁场为折射波的

22、电磁场为 1sincos 3 2 3 i )( 033 )( 033 1 2 3 2 1 1 2 3 2 1 txkizkki txkizkki x x x x eeBB eeEE 当入射角将大于临界角时，折射波是一个振幅当入射角将大于临界角时，折射波是一个振幅 呈现指数衰减的电磁波。呈现指数衰减的电磁波。 当当 2 3 2 1 1 kk z x 时，振幅衰减为分界面处的时，振幅衰减为分界面处的1/e1/e，此值常称为透，此值常称为透 入深度。入深度。 透入深度可以写成透入深度可以写成 2 211 2 1 2 3 2 1 sin 1 2 1 nkk d x 折射波在全反射时沿折射波在全反射时沿

23、 轴传播轴传播x 折射波电场强度沿折射波电场强度沿 轴正向并作指数衰减轴正向并作指数衰减z 折射波只存在于界面附近一个层内，厚度折射波只存在于界面附近一个层内，厚度 与波长同量级（与波长同量级（ ） 1 2 21 2 1 2 21 2 1 sin2sin 1 nnk 根据根据导电介质的亥姆霍兹方程可知，只要用导电介质的亥姆霍兹方程可知，只要用 复电容率代替绝缘介质公式中的电容率，就可以把复电容率代替绝缘介质公式中的电容率，就可以把 电磁波在绝缘介质表面的行为，改变为在导电介质电磁波在绝缘介质表面的行为，改变为在导电介质 表面上的行为表面上的行为。 设均匀导体内部有自由电荷设均匀导体内部有自由电

24、荷( (x,tx,t) )，它们满足，它们满足 Ej E 由此得到由此得到 j 在导体内某处在导体内某处00，则有电流从该处流出，使该，则有电流从该处流出，使该 处的处的减小。减小。 j t 微分方程的解为微分方程的解为 t etx 0 ),( 电荷守恒定律得电荷守恒定律得 电荷密度随时间指数衰减电荷密度随时间指数衰减，衰减常数为衰减常数为 电磁波的频率电磁波的频率满足满足 1 0 1 作为良导体的条件的判据作为良导体的条件的判据。 关系式关系式 表明：表明：在良导体内部，电荷以指数形式很快衰减。在良导体内部，电荷以指数形式很快衰减。 即即在良导体内部不能累积电荷，导体上的电荷只在良导体内部不

25、能累积电荷，导体上的电荷只 能分布在它的表面。能分布在它的表面。 导体中的麦克斯韦方程组导体中的麦克斯韦方程组 0 0 B E EB E B E t t 0 0 B E EB BE i i 将波函数代人导体中的麦克斯韦方程组将波函数代人导体中的麦克斯韦方程组 式中 i 称为导体的称为导体的。 设入射电磁波为单色平面波，则导体中传播的电设入射电磁波为单色平面波，则导体中传播的电 磁波可以表示为磁波可以表示为 式中波矢式中波矢 )( 0 )( 0 ),( ),( ti ti et et rk rk BrB ErE 也是一个复数。也是一个复数。 k 将波矢写成将波矢写成 ki 于是，得到于是，得到导

26、体中传播的单色平面电磁波表达式导体中传播的单色平面电磁波表达式 )( 0 )( 0 ),( ),( ti ti eet eet rr rr BrB ErE 在导电介质在导电介质内部，电磁波的振幅是以指数形式衰内部，电磁波的振幅是以指数形式衰 减，其衰减的快慢由波矢的虚部减，其衰减的快慢由波矢的虚部描述。因此，通描述。因此，通 常将常将称为称为。 由于沿着由于沿着方向每前进方向每前进1 /1 /距离，电磁波振幅距离，电磁波振幅 衰减为原来的衰减为原来的1/1/e e。为此定义为此定义 1 为为，又称为，又称为或或。 在在导电介质内部，与导电介质内部，与垂直的面是波阵面，垂直的面是波阵面，的方的方

27、 向就是电磁波相位传播的方向。向就是电磁波相位传播的方向。 由于沿着由于沿着方向每前进方向每前进2/2/，对应电磁波的相，对应电磁波的相 角改变角改变22。即有即有 2 相速度为相速度为 p v 在波矢表达式中，实部在波矢表达式中，实部是描述电磁波传播特性的是描述电磁波传播特性的 物理量。因此，通常将物理量。因此，通常将称为电磁波的称为电磁波的。 根据根据波矢的定义，波矢的定义，有有 i i ik 2 2 222 )( 2 比较比较上式两边的实部和虚部，可得上式两边的实部和虚部，可得 2 1 222 在在一般情况下，一般情况下，和和的方向不一定相同。的方向不一定相同。只有在只有在 电磁波垂直入

28、射导体表面时，等相面和等振幅面都电磁波垂直入射导体表面时，等相面和等振幅面都 平行于导体表面，此时它们的方向才一致。平行于导体表面，此时它们的方向才一致。 设入射电磁波沿设入射电磁波沿z z轴方向垂直射向导体表面，此轴方向垂直射向导体表面，此 时时和和都沿都沿z z轴方向，则导体中传播的电磁波可轴方向，则导体中传播的电磁波可 以写成以写成 )( 0 )( 0 ),( ),( ti ti eetzyx eetzyx zz zz BB EE 由关系式由关系式 2 222 可得波矢的实部和虚部可得波矢的实部和虚部 2/1 22 2 2/1 22 2 11 2 1 11 2 1 其相速度为其相速度为

29、2/1 22 2 11 2 11 p v 具有具有色散现象的介质，称为色散介质。色散现象的介质，称为色散介质。对电磁波对电磁波 而言，导体是色散介质。而言，导体是色散介质。 位移电流位移电流可以写成可以写成 E t D jD 传导电流为传导电流为 Ej f 二者之比为二者之比为 1 D f j j 近似得近似得 2 8 1 1 2 1 11 2 2 2/1 2 即即 1 说明：当介质的导电率很低，或入射电磁波的频说明：当介质的导电率很低，或入射电磁波的频 率很高时，电磁波的波长远小于穿透深度，此时电率很高时，电磁波的波长远小于穿透深度，此时电 磁波能够透入介质的深部。磁波能够透入介质的深部。

30、此时有此时有 1 D f j j 2 2 即即 2 说明说明：在良导体中，电磁波仅分布在导体的表面：在良导体中，电磁波仅分布在导体的表面 层。层。 高频高频电磁波，以及相应的高频电流仅分布在导体电磁波，以及相应的高频电流仅分布在导体 很薄的表面层中的现象很薄的表面层中的现象，称为，称为。趋肤效应趋肤效应 说明，利用金属可以屏蔽高频电磁波。说明，利用金属可以屏蔽高频电磁波。 设入射电磁波沿设入射电磁波沿z z轴方向垂直射向介质表面，其轴方向垂直射向介质表面，其 电场沿电场沿x x轴方向，如图所示。轴方向，如图所示。 k3 k2k1 x z E01E02 E03 电磁波的边值关系为电磁波的边值关系

31、为 0 111 1 )( 1 0 010302 0 030201 0 030201 030201 xxx yyy yyy xxx BBB BBB EEE EEE 得场强振幅之间的关系式得场强振幅之间的关系式 03 3 03 02 1 02 01 1 01 E k B E k B E k B k3 k2k1 x z E01E02 E03 由于电场只有由于电场只有x x分量，磁场只有分量，磁场只有y y分量，所以边值分量，所以边值 关系可以简化为关系可以简化为 k3 k2k1 x z E01E02 E03 xxx xxx E k EE k EEE 03 3 0201 0 1 030201 )( 可

32、得可得 301 1 01 03 301 301 01 02 2 kk k E E kk kk E E x x x x 反射波反射波与入射波的能流密度之比，定义为反射系与入射波的能流密度之比，定义为反射系 数。由上式可得反射系数公式数。由上式可得反射系数公式 2 0 01 2 0 01 2 01 02 1 1 k k E E R x x 与与 同数量级，并有同数量级，并有 1 1 0 k 此时此时反射系数近似为反射系数近似为1 1，即，即入射电磁波几乎全部被入射电磁波几乎全部被 反射回来反射回来。 在有界空间中，只有满足一定条件的电磁波才能在有界空间中，只有满足一定条件的电磁波才能 够存在。通常

33、，将能够在给定的有界空间中传播的够存在。通常，将能够在给定的有界空间中传播的 电磁波类型，称为电磁波的电磁波类型，称为电磁波的，简称为，简称为。例。例 如，各种如，各种(TE)(TE)、各种、各种(TM)(TM)等。等。 在导体在导体与真空或绝缘体分界面处，若取法线由导与真空或绝缘体分界面处，若取法线由导 体指向绝缘介质，由于理想导体内部没有磁场，所体指向绝缘介质，由于理想导体内部没有磁场，所 以，理想导体的边界条件可以写成以，理想导体的边界条件可以写成 当这一当这一组边界条件满足时，另一组关于电场和磁组边界条件满足时，另一组关于电场和磁 场的法向关系边界条件自然满足。场的法向关系边界条件自然

34、满足。 Bn En 1 0 理想导体理想导体的边界条件可以表述为：的边界条件可以表述为：在导体表面，在导体表面， 电场线与界面正交，磁感应线与界面相切电场线与界面正交，磁感应线与界面相切。 0 界面 n En *在实际求解过程中，方程在实际求解过程中，方程E E=0=0对边界电场的限制，对边界电场的限制， 可以用电场在界面法线方向的方向导数表示。即可以用电场在界面法线方向的方向导数表示。即 y z 3 2 1 , 0 , 0 , 0 Lz Ly Lx x L1 L2 L3 一个矩形谐振腔如图所示，一个矩形谐振腔如图所示， 设金属腔内壁的坐标为设金属腔内壁的坐标为 则有则有 )()()(),(z

35、ZyYxXzyxE 电场电场亥姆霍兹方程的解亥姆霍兹方程的解 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Zk dz Zd Yk dy Yd Xk dx Xd z y x 式中式中 )sincos( )sincos( )sincos(),( 33 22 11 zkDzkC ykDykC xkDxkCzyxE zz yy xx 于是于是得电场亥姆霍兹方程的通解得电场亥姆霍兹方程的通解 2222 Zyx kkk 0 0 x x x E 对于电场的对于电场的x x 分量，需满足边界条件分量，需满足边界条件 和和 0 0 0 0 z x y x E E 所以有所以有 zkykxkAE zyxx s

36、insincos 1 同理，可得电场的同理，可得电场的y y 分量和分量和z z 分量。因此，矩形分量。因此，矩形 谐振腔内电磁波的电场振荡解为谐振腔内电磁波的电场振荡解为 zkykxkAE zkykxkAE zkykxkAE zyxz zyxy zyxx cossinsin sincossin sinsincos 3 2 1 式中，式中，A A1 1、A A2 2和和A A3 3是三个任意常数，并满足是三个任意常数，并满足 0 321 zyx kAkAkA 即即A A1 1、A A2 2和和A A3 3三个常数中，只有两个是独立的。三个常数中，只有两个是独立的。 0 1 Lx x x E 此

37、外，对于电场的此外，对于电场的x x 分量，还需满足边界条件分量，还需满足边界条件 和和 0 0 lz x ly x E E 所以有所以有 1 L m kx 同理，可得同理，可得 32 , L p k L n k zy 在谐振腔中，只有波矢满足在谐振腔中，只有波矢满足 )2 , 1 , 0,( , 322 pnm L p k L n k L m k zyy 条件的电磁波，才可能存在。条件的电磁波，才可能存在。 在满足在满足 )2 , 1 , 0,( , 322 pnm L p k L n k L m k zyy 条件下，上述亥姆霍兹方程的解代表了谐振腔内的条件下，上述亥姆霍兹方程的解代表了谐振

38、腔内的 一种一种，或称为谐振腔内电磁场的一种，或称为谐振腔内电磁场的一种 。 和和 0 321 zyx kAkAkA 在谐振腔中，对于每一组在谐振腔中，对于每一组( (m m, ,n n, ,p p) )值，有两个独值，有两个独 立的偏振波模。立的偏振波模。 由于在由于在m m, ,n n, ,p p中，不能同时有两个等于零。因此，中，不能同时有两个等于零。因此， 对于立方体谐振腔，频率最低的波模相应的波长为对于立方体谐振腔，频率最低的波模相应的波长为 谐振腔谐振腔的本征频率由下式确定的本征频率由下式确定 2 2 2 2 2 1 L p L n L m mnp L 2 2 010101110

39、同轴线在传输高频信号时的缺点都集中于中芯线同轴线在传输高频信号时的缺点都集中于中芯线 上。为了克服上述缺点，波导诞生了。上。为了克服上述缺点，波导诞生了。 就是利用良就是利用良 导体制成的，一种中空管导体制成的，一种中空管 状的传输线。状的传输线。 0 a x y b z 由于由于波导内没有中芯线，因此克服了同轴线在传波导内没有中芯线，因此克服了同轴线在传 输高频电磁波时的缺点。输高频电磁波时的缺点。 u5 5 波导波导 设矩形波导管内壁由理想导体制成，内壁长为设矩形波导管内壁由理想导体制成，内壁长为a a， 宽为宽为b b，如图所示。，如图所示。 0 a x y b z 在波导内，时谐电磁波

40、满足亥姆霍兹方程在波导内，时谐电磁波满足亥姆霍兹方程 0)( 0)( 22 22 B E k k 在直角坐标系，方程可以在直角坐标系，方程可以 简化为分量形式简化为分量形式 0)( 22 uk 则得则得 )()()(),(zZyYxXzyxu 用用分离变量法求解，令分离变量法求解，令 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Zk dz Zd Yk dy Yd Xk dx Xd z y x 式中式中 )( 22 11 )sincos( )sincos(),( tzki yy xx z eykDykC xkDxkCtzyxu 由于波导允许电磁波沿由于波导允许电磁波沿z z轴传播，而在轴传播

41、，而在x x, ,y y方向则方向则 限制电磁波。因此，与限制电磁波。因此，与x x, ,y y有关的解应取驻波形式，有关的解应取驻波形式， 而与而与z z有关的解应取行波形式。有关的解应取行波形式。所以，亥姆霍兹方所以，亥姆霍兹方 程的解应具有如下形式程的解应具有如下形式 2222 Zyx kkk ui t u uik z u z 由于由于 则有则有 x E Eik x E z E E Eik y E z E y E E z xz zx y yz z y z x )( )( 和和 x B Bik x B z B B Bik y B z B y B B z xz zx y yz z y z x

42、 )( )( 对于对于时谐电磁波，有时谐电磁波，有 BiE EiB 由此得由此得 y z xz xyz z y z xz xyz z Bi x E Eik BiEik y E Ei x B Bik EiBik y B 从而解得从而解得 x E kk i y B kk k iB y E kk i x B kk k iB x B kk i y E kk k iE y B kk i x E kk k iE Z yx Z yx z y Z yx Z yx z x Z yx Z yx z y Z yx Z yx z x 2222 2222 2222 2222 0 0 z z B E 电磁场所有分量均为零

43、，因此波导中没有电磁波。电磁场所有分量均为零，因此波导中没有电磁波。 将满足将满足 0 0 z z B E 条件的波，称为横电磁波。即：条件的波，称为横电磁波。即：矩形波导中不存在矩形波导中不存在 横电磁波横电磁波(TEM)(TEM)。 满足满足条件条件 满足满足条件条件 0 0 z z E B 的电磁波，称为的电磁波，称为。 根据亥姆霍兹方程根据亥姆霍兹方程的通解，可知的通解，可知 )( 22 11 )sincos( )sincos( tzki yy xxz z eykDykC xkDxkCE 上式上式必须满足边界条件必须满足边界条件 可得可得 0,0 0,0 0 0 by z y z ax

44、 z x z EE EE m m、n n 取整数。于是得横磁波的电场与磁场取整数。于是得横磁波的电场与磁场 b n k a m k CC yx , 0 21 )( 22 )( 22 )( 22 )( 22 )( sincos cossin cossin sincos 0,sinsin tzki yx y tzki yx x tzki yx z y tzki yx z x z tzki z z z z z z ey b n x a m a m kk B ey b n x a m b n kk B ey b n x a m b n kk Ak E ey b n x a m a m kk Ak E Bey b n x a m AE 上上式中式中 对于某一个确定波型对于某一个确定波型(m,n(m,n) )，对应的最小频率为，对应的最小频率为 22 22 b n a m kz 这一频率，称为这一频率，称为TMTMmnmn 波的波的。 22 , 1 b n a m mnc 当