专题椭圆中地定点定值问题

1、椭圆中的定点定值问题x21.已知椭圆c： pa(1)求椭圆的标准方程；(2 )已知动直线I过点F，且与椭圆 Cuuu uuu 7QA QB恒成立？若存在，求出点1641 ( a b 0)的右焦点为F (1, 0)，且(1,上)在椭圆C上。b2交于A、B两点，试问 x轴上是否存在定点Q ,Q的坐标；若不存在，请说明理由。使得解：(1 )由题意知C=1 由椭圆定义得2a1)2 2)2，即 a2 2-3分2 b 2 11 , 椭圆2xC方程为一21.(2)假设在x轴上存在点Q (m , 0),使得uuuQAuuuQB恒成立。16当直线I的斜率不存在时,A( 1逹),B( 1 ,2所以m 5 ,下面证

2、明4m 5时,4uuuQAuurQB当直线I的斜率为0时,A ( .2 , 0) B恒成立。16(2 , 0 )则(25 , 0)4符合题意。当直线I的斜率不为0时，设直线I的方程为x=ty+1 , AX2, y2 ,由 x=ty+1Q x12及21 , X2y21 得(t222) y 2ty 10 有0 y1y2tt221t22 ；(t2ty15，yJ(X241t221 -t4ty215”2)42tt22(ty114t(y1 y2)116综上所述：在x轴上存在点12t22 t217162(t22)1616，5uuuuuu7,0)使得QAQB恒成立。4161) y2Q1 1 24畑 4)y1y

3、2 = (t2.如图，中心在坐标原点， E的离心率均为2 .2(I)求椭圆T,与椭圆T2的标准方程；(n)过点M引两条斜率分别为 k,k的直线分别交T1焦点分别在x轴和y轴上的椭圆T1 , T2都过点M (0, . 2),且椭圆与当k 4k时，2X4解：(I)(n)2X4直线2y2问直线2y2PQ是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.2MP的方程为ykx1 ，消去y得(2 k2 , 联立椭圆方程得：1)x24 2kx 0，则Xp，则点P的坐标为2k 1kx ,22 ： 2 k 222k L 2),同理可得点Q的坐标为:P:2k2 18Vk2 .2又k 4k，则点Q为:8k

4、2则直线PQ的方程为：y 2k 22k21即当x 0时，3 已知，椭圆2k21(x 2；刍),化简得y2k 2k 1.2，故直线PQ过定点(0, .2 .yC过点AQ:.2k22、2、k 22，8.2k2,22.2k2.28k2 12k2 12 28k 1 2k 1針 1)，即A。，两个焦点为(-1 , 0), (1 , 0).丄2k(1) 求椭圆C的方程；(2) E, F是椭圆C上的两个动点，如果直线 AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线 斜率为定值，并求出这个定值.g解：(1 )由题意，c=1 ,可设椭圆方程为 z-l 二1 ,解得b2=3 , b1+1/ 4b2T (2)设直线AE

5、方程为：了二k J . 一土,所以椭圆方程为2代入：EF的2=_34(舍去)I (外4讣)肿+4k (3-2k) h+4 (|-k) 2-12=0 , 设E (XE, yE) , F (XF, yF),因为点A Cl,冷)在椭圆上，所以由韦达定理得：丄-3+k23+4 k 2所以丸24 (|-k)- 12LJ!E在上式中以-K代K，可得,_:纠 -.又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,U 24 C-+k) -12勺二2M (X0, y0),贝V X0=y0=k (X0+2 )=所以直线EF的斜率KYp _ 吃 _k ( Kp+ ig) :，即直线EF的斜率为定值，其值为4 已知椭圆E:2a

6、(I)求椭圆E的标准方程；(n)过左焦点F任作一直线(i) 求| . ?| I的取值范围；(ii) 若直线I不垂直于坐标轴, 证明：点N在一条定直线上. 解: ( I)由题意可得 b=杯:：,1 (a b 0)b2经过点(0,血，离心率为:点O为坐标原点.3I，交椭圆E 于 P、Q两点.记弦 PQ的中点为e=又a2- b2=c2,解得a= 一】，c=2，即有椭圆方程为(n) (i) F (- 2 , 0),当直线的斜率不存在时，设(X2, y2),直线方程为x= - 2 ,可得P (- 2 ,y1), Q (X2, y2),I? 1=4 7 1 n=；当直线的斜率存在，设I:y=k (x+2

7、)，设 P (xi,代入椭圆方程x2+3y 2=6 ,可得(1+3k 2) x2+12k12kz12k2-6-,X1X2=l+3k2l+3k32x+12k 2 - 6=0 ,X1+x 2 =I? 1 =x iX2+y iy2=x iX2+k 2 (xi+2 ) (X2+2 )(1+k 2) X1X2+2k 2 (X1+x 2) +4k 2=(1+k 2)?12k2 - 6l+3k2+2k 2?()+4k 2y=-7 (曲)k25 .椭圆C : +a(1)若椭圆C过点(- 求椭圆C的方程； 若过椭圆C的下顶点,由 X1+X，可得X0=kOM-6以l+3k2，直线OM的斜率为=竺=y0-丄，直线O

8、M :y=-丄 x,3k,即有k取何值,(ab 0).N的横坐标均为-3 ,则点ND点作两条互相垂直的直线分别与椭圆C相交于点经过一定点；(2)若椭圆C过点(1 , 2),求椭圆C的中心到右准线的距离的最小值.解：(1 ：椭圆 C: At +J=1 ( a b 0)过点(-3, 0 )和(22 J b22u.厂丄ab口 f 13 2 ，解得 a=3 , b=1 ,2 +_ ab/ 2椭圆C的方程牛+/二1 .9证明：由题意得 PD、MD的斜率存在且不为 0 ,在一条定直线 x= - 3 上.P, M，求证：直线 PM2810k2 - 6=103l+3k23由 k2 ,*OHOC的取值范围是-6

9、,3k2+1:，综上可得,詈设直线PD的斜率为k，贝U PD: y=kx - 1 ,(ii)证明:由直线I的斜率一定存在，且不为0 ,可设 PQ : y=k (x+2 ), FN : y= - (x+2 )，设池 _ 9- k2_9k?+lk+_g k2-l=直线 PM9k2+i kJg即y=2直线PM经过定点T ( 0 ,10k552 2所以4x 9y2 2即亠亠9 94 42236 362 4x1X2 9y2 .所以 4x2 2x y229 94 4229y 36 361，所以P点是椭圆1上的点,解：(2)椭圆C的中心到右准线的距离 d=狙2(/由：a，得 b=,24呂？a2-l$2 -

10、4孑令 t=a 2 - 5, t 0，则 上一t+设该椭圆的左、右焦点为M , N ,2 2 , M 3 5,0 , N则由椭圆的定义PM3 5,0 .PN18 得 182 9 9 2 ,当且仅当t=21 + t寸:-.7时，等号成立，椭圆右准线的距离的最小值为2 26 .已知椭圆x y*a b距离为 ，离心率5uuu urnuju足 OP OAOB ,(1)求椭圆标准方程；(2 )当 1且直线AB与OP斜率均存在时，求|kABkAB ,1 a b 0的右焦点到直线話一，代B是椭圆上的两动点，3(其中为常数).(3)若G是线段AB的中点，且koAkOBkOGlkOP的最小值；问是否存在常数和平

11、面内两定点M ,N，使得动点P满足PM PN 18，若存在，求出的值和定点M , N ;若不存在，请说明理由.解：(1)由题设可知：右焦点到直线 b2422椭圆标准方程为Xy1.9jjjujjAX1,y1 ,B X2, y2则由opOA(2 )设Y1 Y22 2% y2%y22 2X1 X2X1X22a的距离为:cjjjOB得Pa2仝,b23-kAB kPX1XX1X2,y1 y2 .由 kABI0,(3) Q kAB设 P x, y ,koGy1y2y1y22y12y224 kOA oB4ujuX2 ujjX1X2 ujjX1X299则由OPOAOB ,得x,yM,%X2,y2得，kABlk

12、O2kOpl3，当且仅当 kAB3-时取等号3 4x1x2+9y1 y2X1X2,y1y2即 xX1X2, yy12 2y2 因为点A、B在椭圆4x +9y =36上,文案大全2 27 .已知椭圆笃 1(aa b求椭圆方程；2点M (x, y)在圆x29y b的切线交椭圆于(1)(2)2X0)的右焦点为F2 (1 ,b上，m在第一象限，0)，点 H(1 b 0)左、右焦点 F1、a- b _分别交于A、B与C、D不同四点，直线 OA、OB、OC、足 k1+k 2=k 3+k 4，已知当 l1 与 x 轴重合时，|AB|=2 .二，|CD|=(1 )求椭圆E的方程;F2的动直线|1、|2相交于P

13、点，与椭圆EOD(2)是否存在定点 M , N，使得|PM|+|PN|为定值？若存在，求出 M、N点坐标，若不存在，说明 理由.92Ko +yo 二&解：(1 )当 li 与 x 轴重合时，ki +k 2=k 3+k 4=0 ,即 k3= - k4,.l2垂直于 x 轴，得 |AB|=2a=2. ；, |CD|=2 2解得a= 仮 b=$椭圆E的方程为 丄+疋_二1.32又点R在椭圆C上，所以(2)焦点Fi、F2坐标分别为(-1 , 0), (1 , 0 ),联立，解得”，2 27一，2412 1孔二2也yo-2V2-当直线li或12斜率不存在时，P点坐标为(-1 , 0 )或(1 , 0 )

14、,当直线11, 12斜率存在时，设斜率分别为 m1, m 2,设 A (X1, y1) , B (X2,2 232y=m1 (x+l)L.1弘r - &1 2243mly2),由，得.1 (2)因为直线 OP: y=k 1X, OQ : y=k 2X，与圆R相切,所以G巧)2+(v-y0I 1, 1 ：I- 7 , ：+ v , - y ：: 1，所以k1,k2是方程(X02- 8 )k2- 2x0yk+y02- 8=0 的两个不相等的实数根，同理kl4ac2a 2a，因为点R (X0, y)在椭圆C上，所以k + kg=叭-4叫1 , 同千田 V o + k A _ 4m2X+1Q,同理 k

15、 3+k 4 =d-2m2-22, 即(m 1m 2+2 ) ( m2- m 1) =0 ,所以，即 2k1k2+1=0 ./k1 +k 2=k 3+k 4,(3) OP2+OQ 2是定值，定值为法一：(i)当直线OP , OQ不落在坐标轴上时，设 P (X1, y1) , Q (X2 , y2),36，理由如下:由题意知 m 1 Mm2,.m 1m2+2=0，设 P (x, y)，则联立由当直线11或12斜率不存在时，P点坐标为(-1 , 0)或(1 , 0 )也满足，点P( x, y )点在椭圆 丄上，存在点M ,N其坐标分别为(0,- 1 )、( 0 , 1)，使得|PM|+|PN| 为

16、定值2杯Q.2 29如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆C :亠+寻=1 ,设R (xo, yo)是椭圆C上的任- 点，从原点O向圆R: (x - X。) 2+ (y - yo) 2=8作两条切线，分别交椭圆于点P, Q .(1) 若直线OP , OQ互相垂直，求圆 R的方程；(2) 若直线OP , OQ的斜率存在，并记为k1, k2,求证：2k1k2+1=0 ；(3) 试问OP2+OQ 2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.解：(1)由圆R的方程知，圆 R的半径的半径h-:.-,因为直线OP , OQ互相垂直，且和圆 R相切，y=klS22uL24 12所以汀+y解得2_ 2

17、4_l+2kf224kt2_i *1吃环2i 2_24 (1 十 k/)所以0 p2+oq，同理,2 2 2 2 2+71 +2 +y2，由-24 (1+ k| )24 (1+)l+2kh l+2k221224 (1+k)24 3 一莎7)(ii)当直线E落在坐标轴上时，显然有综上：OP2+OQ2=36 .36172 k!2l+2k12OP2+OQ 2=36 ,法二：(i)当直线 OP , OQ不落在坐标轴上时，设 P (xi, yi), Q (X2, y),因为2kik2+仁0 ,所以即1二0,即2k时，直线I的方程为6k竺时，直线I的方程为5y kx 2k，过定点(2,0)，与题意矛盾，舍

18、去;6:5y k(x )，过定点(,0),55因为P( xi，yi), Q ( X2, y2),在椭圆C上，所以2 2竺d24 12 12 2-F=1I西12，即ypl2 -y12-故直线l过定点，且定点的坐标为6,0).所以，整理得就+逬二24,所以 yf+y+1衣-*总=12, 所以 OP2+OQ 2=36 .(ii)当直线OP , OQ落在坐标轴上时，显然有 OP2+OQ 2=36 ,综上：OP2+OQ 2=36 .22J310 .已知椭圆C:二爲1(a b 0)，左焦点F( . 3,0)，且离心率e 3 .ab2(1) 求椭圆C的方程；(2) 若直线I : y kx m ( k 0)与

19、椭圆C交于不同的两点 M , N ( M , N不是左、右顶点)，2 211.已知椭圆召 1(aa b(I)求椭圆C的方程；(n)设动直线I与椭圆C有且仅有一个公共点，是否存在圆心在坐标原点，半径为定值的定圆 使得I与圆C相交于不在坐标轴上的两点 为定值，若存在，求出定圆的方程并求出解：(I)由题意，得，a2=ba 2込13b 0)的离心率为三，点A(1,q)在椭圆C 上, O为坐标原点.解得a=2 , b=1 , c 、3，所以椭圆且以MN为直径的圆经过椭圆c 3C的右顶点A .求证：直线l过定点，并求出定点的坐标.解：(1)由题意可知ce -a2 2a b3，解得a 2, b 12c所以椭

20、圆的方程为y(2 )由方程组x24kx my2 1得(12 24k )x 8kmx4 m2(8km)22 24(1 4k )(4m4)2整理得4k设 M,%),由已知，AM y2(k%2(1 k )%x2 即 (1 k2) 4mAN ,即 AMm)(kx2 m)2)(X1(km241 4k2(km2整理得5m 16mk12k2C,R ,巳，记直线OP , OE的斜率分别为k , k2 ,满足& k2 k k2的值，若不存在，请说明理由2 +c 2,又因为点 A(1,)在椭圆C上，所以一22 -1丄1 a 4b2C的方程为(n)结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为 证明如下：假设存在符合条件的

21、圆，并设此圆的方程为 当直线I的斜率存在时，设I的方程为y=kx+m .y kx2x 2匸y(8km)2y kx2 2x y2x 2彳7 y 1.x2+y 2=5 .x2+y 2=r2 (r 0).由方程组所以1由方程组m得(4k2+1) x2+8 kmx +4 m214=0，因为直线l与椭圆C有且仅有一个公共点,4(4 k21)(4m24)0，即 m2=4k2+1 .m2 得(k2+1 ) x2+2kmx+m 2 - r2=0 , r2(2 km)2 2 24(k1)(m r )0.设 P1 (X1, y1), P2(X2, y2),则 x1x22km2, X1X2k 10 ,41 4k21

22、4m28km1 4k2，AN 0 ,又椭圆的右顶点为 A(2,0),所以(k2x1x2 km(x-i x2)x2) m240 ,2)丰1 4kx-1x2m24x1x22)(X22)賞20 ,0,解得m2k或m6k均满足4k2m21设直线OP1, OP2的斜率分别为k1, k2%y2 附 m)(kx2 m)所以k*2X1X22r2mkk2 12m2X1X2km 2 km 2 mk2 12r1要使得k1k2为定值，则4 r2k2xiX2 km(%2 2r k ,22，将m r1，即 r2=5 ,rX1X2x2) M 2m 2=4k 2+1代入上式，得验证符合题意.k1k22 2(4 r )k 12

23、 24k (1 r )所以当圆的方程为 x2+y 2=5时，圆与I的交点P1,P2满足k1k2为定值 14又以原点O为圆心,当直线I的斜率不存在时，由题意知I的方程为x=此时，圆x2+y 2 =5与I的交点P1,P2也满足k1 k22 ,1且与直线2x2y椭圆C的长轴长为半径的圆为 X2 y2660相切，所以a22所以b2x2 .所以椭圆C的标准方程为一6y2综上，当圆的方程为 x2+y2=5时,圆与I的交点P1, P2满足斜率之积k1k2为定值-4c=2 ,2x12 .已知椭圆C：二a0)，经过点(1,，且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直(2 )由2y2k(x1 得(1 3k2)x2 12k

24、2x 12k22)角三角形.(1)求椭圆方程;设 A X1, y1 , BX2, y2，所以 X112k2(2)过椭圆右顶点的两条斜率乘积为定点？若过定点，请求出此定点，若不过，1的直线分别交椭圆于2请说明理由.M ,N两点，试问：直线MN是否过根据题意，假设UU12 UJU使得EA EAUUU uuu则 EA EB x m, y1x轴上存在定点EUUU UUJ uuuAB (EA AB)X2X21 3k(m , 0),uuuEA2，X1 X212k2621 3k2m,y2uurEA(X1UJUEB为定值.m)1解：(1 )根据题意2a2ab c12b2b2c22ab2y21 .k2 1 x1

25、x22k2要使上式为定值，即与当MN的斜率存在时，设MN :kx2y2(12k2)x24kmx2m2 2UUU2 uuu uuu此时，EA EA AB8(2kX1X2X-|X2m2 1)4 km1 2k22m2227(2k21)x1x2直线MN y14 .已知椭圆径的圆与直线UUU2使EAUUU EA解：(1)由e(1) 求椭圆(2) 已知点，kMA kNAy1y2X22kx1m为 .2kx2 mx2- 2所以在x轴上存在定点X1X24k2m2x2 mc 23my$2212m10 kk无关,c 23m12m1021 3k22 m 73 m 6，得 m 3使得UUJ2EAmu EAuuuAB为定

26、值，且定值为15 .已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为处的切线方程为2 X 2 a2爲 1(a b 0)，则椭圆在其上一点bA(x), y)1和椭圆2X 2G： y2xx2a晋1，试运用该性质解决以下问题：已知椭圆m2,2 km 0 m 0或 m(2kmkx过定点(0,0)，当MN斜率不存在时也符合，即直线MN恒过定点x2 y2V6C:二 2 1(a b 0)的离心率为，以原点O为圆心，椭圆ab32x . 2y 60相切.C标准方程；A, B为动直线y k(x 2)(k 0)与椭圆C的两个交点，问：在 x轴上是否存在点 E , uuuAB为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值，若不存在，说明

27、理由.6c. 6.6得，即c a 3a332)(X1 X2)2m2 0 2k (舍).(0,0).2C2：71,为常数).C的长半轴为半(1)如图(1)，点B为G在第一象限中的任意一点，过B作G的切线I ,1分别与x轴和y轴的正半轴交于C, D两点，求 OCD面积的最小 值；(2)如图(2),过椭圆C2上任意一点P作G 的两条切线PM和PN，切点分别为 M , N , 当点P在椭圆C2上运动时，是否存在定圆恒 与直线MN相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.解: (1 )设B(X2,y2)，则椭圆Ci在点入1入令 X 0, yD，令 y 0,Xcy2X2又点B在椭圆的第一象限上，所

28、以X2B处的切线方程为x21所以SOCDX22直径的圆为x2(y弓2罟，由390, y220,t2y2y；，2x2 y(y1X16，解得5701，由此可知所求点T如果存在，2X2Socd -12，当且仅当沖2V22所以当B(12)时，三角形OCD的面积的最小值为2y2X2只能是(0，1).事实上点T(0，1)就是所求的点，证明如下：当直线2 2 .x y 1直径的圆为即直线I与y轴重合时，以AB为过点T(0,1);当直线I的斜率存在，设直线方程为y kx，代入椭圆方3I的斜率不存在,22 (2)设P(m, n)，则椭圆C1在点M (x3, y3)处的切线为： 号x程并整理得(18k29)x21

29、2kx 160，设点 A、B 的坐标为 A(X1,yJ B(X2,y2),x-ix2则X-|X2又PM过点P(m, n)，所以 生m y3n 1，同理点N(X4,y4)也满足m2 2y4n1uv所以有TA12k18k2 91618k29UUV TB x-i x2，因为uvTA(X1, y1uiv1),TB(X2, y2 1),y2(y1y2)(k2所以xx都在2m yn 1上，即直线MN的方程为尹n2，故原点0到直线MN的距离为:yn 1 ,又P(m, n)在C2上，4161)x1x2k(x-i x2)39所以直线MN始终与圆X2丄相切.16k216 16k216 .已知直线y x 1被圆42

30、.等，椭圆C的离心率e2(I)求椭圆C的方程；1(n)已知过点 M (0,)的动直线3uir 所以TA满足条件.3截得的弦长恰与椭圆2l交椭圆C于A,B两点,X2a试问:T ,使得无论I如何转动，以 AB为直径的圆恒过定点 T ?若存在，求出点 由。解: (I)由题设可求得 b 1,又e 2，则a2，所以椭圆22(n)若直线l与y轴重合，则以 AB为直径的圆为x2b 1(a b 0)的短轴长相在坐标平面上是否存在一个定点T的坐标，若不存在，请说明理2X 2C的方程是 y 1.22y 1，若直线I垂直于y轴，则以AB为32k218k29uirTB，即以AB为直径的圆恒定过点1617 .已知直线I

31、: y= x +直线I被圆0截得的弦长与椭圆的短轴长相等.T(0,1),综上可知，在坐标平面上存在一个定点T(0,1)2 I 2 并y沁*，圆 0: x2 + y2 = 4，椭圆 E： +b=1 (a b 0 )的离心率e =2(1 )求椭圆E的方程；(2)已知动直线1 (斜率存在)与椭圆 E交于P, Q两个不同点，且 OPQ的面积Szopq = 1，若N 为线段PQ的中点，问：在x轴上是否存在两个定点 A , B,使得直线NA与NB的斜率之积为定值？ 若存在，求出A , B的坐标，若不存在，说明理由.解：(1 )设椭圆半焦距为c,_JL圆心0到I的距离d=，则I被圆0截得的弦长为2，所以b

32、= 1 ,申丘由题意得e =2 ,vb = 1 ,.a2 = 4 , b2= 1 .a椭圆E的方程为4 +=1 .(2 )设 P (X1, y1), Q (X2, y2),直线 I1 的方程为：y = kx + m .消去 y 得(1 + 4k2) x2 + 8kmx + 4m 2 4 = 0 .|PQ| =X1 + X2= ,X1 X2 =4flk* * n71 + 4k,*il|xi X2| =l-4k!JLyl + ic，贝U S ZOPQk1k22y03(1 专)2 2X04 X04原点O到直线11的距离d =1=：|PQ| =y k2(x 2)知 N(4,2k2),.2|m|=1 +

33、 4k2，令 1 + 4k2= n,/2|m|n = 2m 2, 1 + 4k2= 2m 2 .N 为 PQ 中点， xn =/1 + 4k2= 2m 2,-xn =2kin,yN =34x2 4 MN 的中点 G(4,3ki k2),2 13k1 k2)2- (6k142 6ki k2 k2 ,；)0，(1,0) , (7,0)3 ,由 Ipa : yki(x 2)知 M(4,6K),由 Ipb4令y0,2 X28x 16 9ki2 6kik2k； 9ki22 x8x1612kik20 , x2 8x16 12 (即x28x70，解得x 7 或 x 1 ,/存在定点以MN为直径的圆的方程为(

34、y(x 4)2,yN =19 .如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知Fi、F2分别是椭圆假设x轴上存在两定点 A (s , 0 ), B (t, 0 ) (s为),则直线NA的斜率ki = 3焦占八 、八、：中占I 八、：直线NB的斜率k2 =/ki k2 =12JCs2 s r) x 厂宮14 吕I)x bsi，则s =I当且仅当 s+1 = 0 , st = 2 时，kik2= 4综上所述，存在两定点 A (H=, 0) , B (灯：x2 y218 在平角坐标系xOy中，椭圆C:二 21(a b 0)的离心率a b,0),使得直线NA4-2(1)(2)A, B分别是椭圆E的左、右顶点，

35、D(1,0)为线段OF?的 ujuc ujir r且 AF2 5BF20.求椭圆E的方程；若M为椭圆E上的动点(异于点 A、B ),连接MFi并与NB的斜率之积为定值.e 1，且过点(0血，椭圆C延长交椭圆E于点N，连接MD 点P , Q，连接PQ ,设直线MN k2 .试问是否存在常数，使得求出的值；若不存在，说明理由.umuUULU r、ND并分别延长交椭圆 E于 、PQ的斜率存在且分别为 ki、 k20恒成立？若存在，kiujur2k2)2经过以2E二a(3ki k2)2 ,MN为直径的圆.2爲 1(a b 0)的左、右b2的长轴的两端点为 A , B，点P为椭圆上异于 A , B的动点

36、，定直线x 4与直线PA , PB分别交 于M , N两点.uuur5F2 B , a c 5( a c)，化简得 2a 3c,从而a 3, b . 5，左焦点Fi( 2,0)，故椭圆E的方程为47，设 M (xi, yi) , N(X2,y2), P(x3, y3),Q(X4, y4),2X 5解：(1) AF2 5BF20，/ AF2点D(1,0)为线段OF?的中点， c 2 ,2x921( 2)存在满足条件的常数5(1) 求椭圆C的方程；(2) 在X轴上是否存在定点经过以坐标；若不存在，说明理由.X-I1yiX-j1yyiIt 1 ；2 e解：(1)设PA , PB的斜率分别为MN为直径

37、的圆，若存在，求定点则直线MD的方程为x22, 2乞 a b2ab22ab2-yiy3yi(xi 1)ki, k2, P(Xo,y)，则 kiy。X0 2k24，椭圆C的方程为3同理，点x-i 5Q(5-9x2 5y 1，代入椭圆方程95x-|9Xi4yiXi，从而X35你-),三点M F,N共线，5x21,整理得，丄申y2yi5x19 4y1卩( ,-),x15 x1 5y2X24y2故点5 x1y。Xo 2 从而X2X2Yi 2( yiy2)，从而 k2y3 y4X3X4xi4yiXi 5 X252x2 X2yi5( yi5x-i 9 5x2 9Xi4(Xi X2)5x1 5也丄！血，故k

38、14(x1 X2)4T 0，从而存在满足条件的常数1 1当直线AB与x轴垂直时，22EA2 EB22X xoy中，椭圆C的标准方程为 一6直线l与x轴交于点E ,2(122X0 )6)2 ，Xo20 .如图，在平面直角坐标系2由12(6 X02)1EA2又设直线AB的方程为2、266 X)2丄为定值2 .EB2,解得 x036Xo所以若存在点E ,此时E( .3,0),根据对称性，只需考虑直线AB过点EG 3,0)，设 A(xi, yj， B(X2, y2)，x my . 3，与椭圆化简得(m23)y2 2 . 3my3 0，所以yi(1)若点E的坐标为,0 ，点A在第一象限且横坐标为3 ,连

39、结点2A与原点O的直线交椭圆1(X1、3)2 y121 12所以222EA2 EB2 (m2将上述关系代入，化简可得122y12y1C于另一点P，求 PAB的面积;1(2)是否存在点E ,使得 2EA2存在，请说明理由.2解：(1 )将x 3代入6坐标为(丄,。)，所以kAB2程，解得B(5丄 为定值？若存在，请指出点 E的坐标，并求出该定值；若不EB2y_2，直线PA的方程为y1，解得y1，因点A在第一象限，从而 AC，3,1)，由点E的，联立直线PA与椭圆C的方A,7，又PA过原点。，于是P(忌1，PA4，所以直线 PA的方程为x 、&0 ,所以点B到直线PA的距离h1)Y121京2 y

40、b22X21 .已知椭圆C :=a圆与直线x y . 20相切.(1)求椭圆C的方程；(2 )设 P(4,点E，求直线(3 )在(2)解：由题意知e1(ac联立方程组，3my22 ， y1 y2m 31(m2 1)y12 2(% 丫2) 2y22 2 2 2 2 ? (m 1)y2(m 1)% y?1.综上所述，存在点E (EB2-3,0)，使得亠为定EA2 EB2b 0)的离心率为舟，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的0) , M、N是椭圆PN的斜率的取值范围;的条件下，证明直线3，所以2C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PN交椭圆C于另ME与x轴相交于定点.-，即 a2 4b2,42 .2a b2a1(2)假设存在点E，使得 2EA21当直线AB与x轴重合时，有 2EA212为定值，设E(X