31直线的倾斜角与斜率

1、第三章 直线与方程 v3.1 直线的倾斜角与斜率 v3.2 直线的方程 v3.3 直线的交点坐标与距离公式 y x o (1)(2) 它们的区别就在于位置的不同它们的区别就在于位置的不同 一一.直线的确定直线的确定 导入：大家知道，在平面直角坐系上有很多不同的直线，导入：大家知道，在平面直角坐系上有很多不同的直线， 例如：例如： 过原点过原点O的直线有无数多条，如图（的直线有无数多条，如图（1）所示）所示 与与x轴的正方向所成的角为轴的正方向所成的角为30度的直线也有无度的直线也有无 数多条数多条 那么它们的区别在哪个地方呢？那么它们的区别在哪个地方呢？ y x o 30 30 30 30 问

2、题问题1：如何确定一条直线在直角坐标：如何确定一条直线在直角坐标 系的位置呢？系的位置呢？ 从刚才的例子我们看到：只知道一点从刚才的例子我们看到：只知道一点 或者知道直线的方向，直线是不确定或者知道直线的方向，直线是不确定 的。的。 两点或一点和方向两点或一点和方向 问题问题2：如何表示直线方向（或者倾斜：如何表示直线方向（或者倾斜 程度呢）？程度呢）？ 用角用角 y x o 直线的倾斜角直线的倾斜角 x y o L 直线直线L L与与x x轴轴 相交，我们取相交，我们取x x 轴为基准，轴为基准，x x轴轴 正向正向与与直线直线L L向向 上上的方向之间所的方向之间所 成的角成的角叫做叫做直

3、直 线线L L的倾斜角。的倾斜角。 练习： x y o x y o x y o x y o （A）（B）（C）（D） 下列图中标出的直线的倾斜角对不对？如果不对，违下列图中标出的直线的倾斜角对不对？如果不对，违 背了定义中的哪一条？背了定义中的哪一条？ p o y x l y p o x l p o y x l p o y x l 规定：当直线和规定：当直线和x轴平行或重合时，轴平行或重合时， 它的倾斜角为它的倾斜角为0 是钝角 是直角是锐角 1 1、直线的倾斜角范围、直线的倾斜角范围 由此我们得到直线倾斜角由此我们得到直线倾斜角的范围为：的范围为： )180,0 oo x y o l l1

4、1 l l2 2 l l3 3 看看这三条直线，它们倾斜角看看这三条直线，它们倾斜角 的大小关系是什么？的大小关系是什么？ 想一想想一想 想一想想一想 你认为下列说法对吗？你认为下列说法对吗？ 1、所有的直线都有唯一确定的倾斜、所有的直线都有唯一确定的倾斜 角与它对应。角与它对应。 2、每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。、每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。 日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？ 前进量前进量 升升 高高 量量 前进量前进量 升高量升高量 坡度（比）坡度（比） 定义定义：倾斜角不是倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切的直线，它的倾斜角

5、的正切 叫做这条直线的斜率。斜率通常用叫做这条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：表示，即： 00 tan ,0180k 2、直线的斜率、直线的斜率 倾斜角是倾斜角是90 的直线没有斜率。的直线没有斜率。 描述直线倾斜程度的量描述直线倾斜程度的量直线的斜率直线的斜率 则斜率为：的倾斜角为例如：直线,45l145tan k 则斜率为：的倾斜角为直线,120l3120tan k p o y x l y p o x l p o y x l p o y x l 0 90 = 90 90 180 = 0 k=0k 0k不存在不存在k0 直线的倾斜角与斜率的关系直线的倾斜角与斜率的关系 应用：应用： O x

6、 y 1 2 1 l2 l 例例1：如图，直线如图，直线 的倾斜角的倾斜角 =300，直线，直线 l2l1，求，求l1，l2 的斜率。的斜率。 1 1 l 例2 直线 l1、 l、 l的斜率分别是k1、 k、 k，试比较斜率的大小 l1 l l 例例3 3、 填空填空 （1 1） 若若 则则k=_ k=_ 若若 3,_k 则 0 60 （2 2） 若若 ，则，则 若若 )60,30( 00 _k _), 3 3 , 3(则k （3 3）若）若 则则 的取值范围的取值范围 _ 若若 则则K K的取值范围的取值范围_ _ 00 (60 ,150 ), ) 1 , 1(k 3 0 120 3 (,3

7、 ) 3 00 (120 ,150 ) 000 0,45 )(135 ,180 ) 3 (,)( 3,) 3 小结小结 1 1、倾斜角的定义及其范围、倾斜角的定义及其范围 2 2、斜率的定义及斜率与倾斜角的相互转化、斜率的定义及斜率与倾斜角的相互转化 00 0180 0 0 90 tan90 k 不存在 判断：判断： 1 1、平行于、平行于X X轴的直线的倾斜角为轴的直线的倾斜角为0 0或或 2 2、直线的斜率为、直线的斜率为tan tan , ,则它的倾斜角为则它的倾斜角为 3 3、直线的倾斜角越大，则它的斜率也越大、直线的倾斜角越大，则它的斜率也越大 想一想想一想 我们知道，两点也可以唯一

8、确定一条直线。我们知道，两点也可以唯一确定一条直线。 如果知道直线上的两点，怎么样如果知道直线上的两点，怎么样 来求直线的斜率来求直线的斜率(倾斜角倾斜角)呢？呢？ 所以我们的问题是：所以我们的问题是： 3、探究：由两点确定的直线的斜率 ),( 111 yxP ),( 222 yxP 2121 12 , , yyxx QPP 且 如图，当为锐角时， 能不能构造能不能构造 一个直角三一个直角三 角形去求？角形去求？ tank x y o 1 x2 x 1 y 2 y ),( 12 yxQ 中在QPPRt 12 QP QP QPPk 1 2 12 tantan 12 12 xx yy 0 锐角 x

9、 y o ),( 111 yxP ),( 222 yxP ),( 12 yxQ 如图，当为钝角是， 2121 , ,180 yyxx 且 tan )180tan(tan 中在 12QP PRt QP QP 1 2 tan 21 12 xx yy 12 12 21 12 tan xx yy xx yy k 0 1 x 2 x 1 y 2 y 钝角 1、当直线平行于、当直线平行于y轴，或与轴，或与y轴重合时，轴重合时， 上述公式还适用吗？为什么？上述公式还适用吗？为什么？ x y o ),( 111 yxP ),( 222 yxP 1 y 2 y 12 12 xx yy k 思考？ 不存在 不存在

10、 k )(90tan,90 答：斜率不存在，答：斜率不存在， 因为分母为因为分母为0。 2、已知直线上两点、已知直线上两点 、 ， 运用上述公式计算直线运用上述公式计算直线AB的斜率时，与的斜率时，与 A、B的顺序有关吗？的顺序有关吗？ ),( 21 aaA),( 21 bbB 11 22 ab ab k AB 11 22 ba ba kBA 答：与答：与A、B两点的顺序无关。两点的顺序无关。 3、直线的斜率公式： 综上所述，我们得到经过两点),( 111 yxP )( 21 xx ),( 222 yxP 的直线的斜率公式： )( 21 21 12 12 xx yy k xx yy k 或 2

11、 P 2 P 1 P 1 P 、如图，已知如图，已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2)，求，求 直线直线AB、BC、CA的斜率，并判断这的斜率，并判断这 些直线些直线 的倾斜角是什么角？的倾斜角是什么角？ y x o . . . . . . AB C 直线直线AB的斜率的斜率0 48 22 AB k 2 1 8 4 )8(0 22 BC k 1 4 4 04 )2(2 CA k 直线直线BC的斜率的斜率 直线直线CA的斜率的斜率 0 AB k 直线直线CA的倾斜角为锐角的倾斜角为锐角 直线直线BC的倾斜角为钝角。的倾斜角为钝角。 解： 0 CA k 直线直线AB的倾斜角为零度角。的倾

12、斜角为零度角。 0 BC k 例例1 四、小结： 1、直线的倾斜角定义及其范围：、直线的倾斜角定义及其范围： 1800 2、直线的斜率定义：、直线的斜率定义：aktan 3、斜率、斜率k与倾斜角与倾斜角 之间的关系：之间的关系： 0tan18090 )(tan90 0tan900 00tan0 aka kaa aka ka 不存在不存在 4、斜率公式：)( 21 21 12 12 xx yy k xx yy k 或 )90( a 例例2 判断正误：判断正误： 直线的斜率为直线的斜率为 ，则它的倾斜角为，则它的倾斜角为 （ ） tan 因为所有直线都有倾斜角，所以所有直线都有因为所有直线都有倾斜

13、角，所以所有直线都有 斜率。斜率。 （ ） 直线的倾斜角为直线的倾斜角为，则直线的斜率为，则直线的斜率为 （ ） tan 因为平行于因为平行于y轴的直线的斜率不存在，所以平轴的直线的斜率不存在，所以平 行于行于y轴的直线的倾斜角不存在轴的直线的倾斜角不存在 （ ） 直线的倾斜角越大直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大则直线的斜率越大 ( )( ) 例例3 3、求经过、求经过A(-2,0), B(-5,3)A(-2,0), B(-5,3)两点的直线的斜率两点的直线的斜率 变式变式1 1、在例、在例1 1基础上加上点基础上加上点C C（m m，4 4）也在直线上，）也在直线上， 求求m m。 变式变

14、式2 2、在例、在例1 1基础上加上点基础上加上点D D（8 8，6 6）, ,判断点判断点D D是否是否 在直线上。在直线上。 例例4 4、已知三点、已知三点A(2,3),B(A(2,3),B(a a, 4),C(8, , 4),C(8, a a) )三点共线三点共线, , 求求a a 的值的值. . 52,2, ( 8,3), Mx NP 例 ： 从射出一条光线 经过 轴反射 后过点求反射点的坐标 N(-8,3) M(2,2) P )0 , x(P解：设解：设 因为入射角等于反射角因为入射角等于反射角 PNMP KK x8 3 x2 2 2x 解得解得 )0 , 2( P 反射点反射点 (3, 5),(0, 9) . L L 例6: 直线 的倾斜角是连接两点 的直线的倾斜角的两倍，求直线 的斜率 则则的的