弹性力学_一点应力状态01

1、1-1 1-1 弹性力学中的几个基本概念弹性力学中的几个基本概念 1-2 1-2 弹性力学中的基本假定弹性力学中的基本假定 研究内容研究内容:弹性体在外力或温度作用下的应力、弹性体在外力或温度作用下的应力、 变形、位移等分布规律。变形、位移等分布规律。 任务任务:解决弹性体的强度、刚度、稳定性问题。解决弹性体的强度、刚度、稳定性问题。 研究方法研究方法仅由静力平衡、几何方程、物理方仅由静力平衡、几何方程、物理方 程三方面分析，程三方面分析，放弃了材力中的大部分假定放弃了材力中的大部分假定。 1-1 1-1 弹性力学中的几个基本概念弹性力学中的几个基本概念 基本概念：基本概念： 外力、应力、形变

2、、位移。外力、应力、形变、位移。 1. 外力外力 体力、面力体力、面力（材力：集中力、分布力。）（材力：集中力、分布力。） (1) 体力体力 V Q 弹性体内弹性体内单位体积单位体积上所受的外力上所受的外力 V V Q F lim 0 体力分布集度体力分布集度 （矢量）（矢量） x y z Oij k X Y Z kjiFZYX X、Y、Z为体力矢量在坐标轴上的投影为体力矢量在坐标轴上的投影 单位：单位： N/m3kN/m3 说明：说明： (1) F 是坐标的连续分布函数是坐标的连续分布函数； (2) F 的加载方式是任意的的加载方式是任意的 (如：重力，磁场力、惯性力等如：重力，磁场力、惯性

3、力等) (3) X、Y、Z 的正负号由坐标方向确定。的正负号由坐标方向确定。 (2) 面力面力 作用于物体表面上的外力作用于物体表面上的外力 S Q S S Q F lim 0 面力分布集度（矢量）面力分布集度（矢量） x y z Oij k X Y Z kjiFZYX X YZ 面力矢量在坐标轴上投影面力矢量在坐标轴上投影 单位：单位： 1N/m2 =1Pa (帕) 1MN/m2 = 106Pa = 1MPa (兆帕) 说明：说明： (1) F 是坐标的连续分布函数是坐标的连续分布函数； (2) F 的加载方式是任意的的加载方式是任意的; (3) 的正负号由坐标方向确定。的正负号由坐标方向确

4、定。X YZ 2. 应力应力 (1) 一点应力的概念一点应力的概念 A Q 内力内力 (1) 物体内部分子或原子间的相互物体内部分子或原子间的相互 作用力作用力; (2) 由于外力作用引起的相互作用力由于外力作用引起的相互作用力. (不考虑不考虑) P A A Q s lim 0 (1) P点的内力面分布集度点的内力面分布集度 (2) 应力矢量应力矢量. -P点的应力点的应力 的极限方向的极限方向Q 由外力引起的在由外力引起的在 P点的某一面上内力分布集度点的某一面上内力分布集度 应力分量应力分量 n (法线法线) 应力的法向分量应力的法向分量 正应力正应力 应力的切向分量应力的切向分量 剪应

5、力剪应力 单位单位:与面力相同与面力相同MPa (兆帕) 应力关于坐标连续分布的应力关于坐标连续分布的 ),(zyx ),(zyx (2) 一点的应力状态一点的应力状态 通过一点通过一点P 的各个面上应力状况的集合的各个面上应力状况的集合 称为一点的应力状态称为一点的应力状态 x面的应力：面的应力： xzxyx , y面的应力：面的应力： yzyxy , z面的应力：面的应力： zyzxz , 用矩阵表示：用矩阵表示： zzyzx yzyyx xzxyx 其中，只有其中，只有6个量独立。个量独立。 xy yxxy zyyz 剪应力互等定理剪应力互等定理 应力符号的意义：应力符号的意义： xzz

6、x 第第1个下标个下标 x 表示表示所在面的垂线线方向；所在面的垂线线方向； 第第2个下标个下标 y 表示表示的方向的方向. 应力应力正负号正负号的规定：的规定： 正应力正应力 拉为正，压为负。拉为正，压为负。 剪应力剪应力 坐标坐标正面正面上，与坐标正向一致时为正；上，与坐标正向一致时为正； 坐标坐标负面负面上，与坐标正向相反时为正。上，与坐标正向相反时为正。 x y z O xy x xz yx y yz z zy zx yx y yz z zy zx 与材力中剪应力与材力中剪应力正负号正负号规定的区别：规定的区别： x y xy x yx y xy yx x y 规定使得单元体顺时针的剪

7、应力规定使得单元体顺时针的剪应力 为正，反之为负。为正，反之为负。 yxxy 在用在用应力莫尔圆应力莫尔圆时必须此规定求解问题时必须此规定求解问题 x y z O xy x xz yx y yz z zy zx yx y yz z zy zx 3. 形变形变 形变形变 物体的形状改变物体的形状改变 x y z O （1）线段长度的改变）线段长度的改变 （2）两线段间夹角的改变。）两线段间夹角的改变。 PB C A z x y 用线（正）应变用线（正）应变度量度量 用剪应变用剪应变度量度量 （剪应变（剪应变两垂直线段夹角两垂直线段夹角（直角）（直角）的改变量）的改变量） 三个方向的线应变：三个方

8、向的线应变： 三个平面内的剪应变：三个平面内的剪应变： zyx , zxyzxy , (1) 一点形变的度量一点形变的度量 应变的正负：应变的正负： 线应变：线应变： 伸长伸长时为时为正正，缩短缩短时为时为负负； 剪应变：剪应变： 以直角以直角变小时为正变小时为正，变大时为负变大时为负； (2) 一点应变状态一点应变状态 代表一点代表一点 P 的的邻域内邻域内线段与线段间夹角的改变线段与线段间夹角的改变 x y z O PB C A z x y zzyzx yzyyx xzxyx 其中其中 xzzx yxxy zyyz 应变无量纲；应变无量纲； 4. 位移位移 注：注： 一点的位移一点的位移

9、矢量矢量S 应变分量均为位置坐标的函数，即应变分量均为位置坐标的函数，即 ;),(zyx xx ),(zyx xyxy x y z O S w u vP P 位移分量：位移分量： u x方向的位移方向的位移 分量；分量； v y方向的位移方向的位移 分量；分量； w z方向的位移方向的位移 分量。分量。 量纲：量纲：m 或 mm 弹性力学问题：弹性力学问题： 已知已知外力、物体的形状和大小（边界）、材料特性（外力、物体的形状和大小（边界）、材料特性（E、 ）、约束条件）、约束条件等，求解等，求解应力、应变、位移应力、应变、位移分量分量。 需建立三个方面的关系：需建立三个方面的关系： （1）静力

10、学关系：）静力学关系： 应力应力与与体力、面力体力、面力间的关系间的关系(平衡平衡)； （2）几何学关系：）几何学关系： 形变形变与与位移位移间的关系；间的关系； （3）物理学关系：）物理学关系： 形变形变与与应力应力间的关系。间的关系。 1-2 1-2 弹性力学中的基本假定弹性力学中的基本假定 1. 连续性假定连续性假定 整个物体的体积都被组成物体的介质充满，不留下任何空隙。整个物体的体积都被组成物体的介质充满，不留下任何空隙。 作用：作用： 使得使得、u 等量表示成坐标的连续函数。等量表示成坐标的连续函数。 ),(zyx ),(zyxuu ),(zyx xx 保证保证 s s Q s li

11、m 0 中极限的存在。中极限的存在。 2. 线弹性假定线弹性假定 假定物体完全服从虎克（假定物体完全服从虎克（Hooke）定律，）定律，应力与应变间应力与应变间 成线性比例关系成线性比例关系（正负号变化也相同）。（正负号变化也相同）。 比例常数比例常数 弹性常数（弹性常数（E、） 脆性材料脆性材料 一直到破坏前，都可近似为线弹性的；一直到破坏前，都可近似为线弹性的； 塑性材料塑性材料 比例阶段，可视为线弹性的。比例阶段，可视为线弹性的。 3. 均匀性假定均匀性假定 作用：作用： 可使求解方程线性化可使求解方程线性化 假定整个物体是由同一种材料组成假定整个物体是由同一种材料组成 的，各部分材料性

12、的，各部分材料性 质相同。质相同。 作用：作用： 弹性常数（弹性常数（E、）不随位置坐标而变化；不随位置坐标而变化； 取微元体分析的结果可应用于整个物体。取微元体分析的结果可应用于整个物体。 4. 各向同性假定各向同性假定 假定物体内一点的假定物体内一点的弹性性质弹性性质在所有在所有各个方向都相同各个方向都相同。 作用：作用： 弹性常数（弹性常数（E、）不随坐标方向而变化；不随坐标方向而变化； 金属金属 上述假定符合较好；上述假定符合较好； 木材、岩石木材、岩石 上述假定不符合，称为上述假定不符合，称为各向异性材料各向异性材料； 符合上述符合上述4个假定个假定的物体，称为的物体，称为理想弹性体

13、理想弹性体。 5. 小变形假定小变形假定 假定位移和形变是微小的，即物体受力后物体内各点假定位移和形变是微小的，即物体受力后物体内各点 位移远远小物体的原来的尺寸。位移远远小物体的原来的尺寸。 1, 1 作用：作用： 建立方程时，可略去高阶微量；建立方程时，可略去高阶微量； 可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。 使求解的方程使求解的方程线性化线性化。 1-3 1-3 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题 1. 平面应力问题平面应力问题 (1) 几何特征几何特征 x yy z t b a 一个方向的尺寸比另两个一个方向的尺寸比另两个 方向的尺寸小得

14、多。方向的尺寸小得多。 btat , 平板平板 如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等 (2) 受力特征受力特征 外力外力（体力、面力）和（体力、面力）和约束约束，仅，仅平行于板面作用平行于板面作用， 沿沿 z 方向不变化。方向不变化。 x yy z t b a (3) 应力特征应力特征 如图选取坐标系，以板的中面如图选取坐标系，以板的中面 为为xy 平面，垂直于中面的任一直线平面，垂直于中面的任一直线 为为 z 轴。轴。由于板面上不受力，有 由于板面上不受力，有 0 2 t zz 0 2 t zzx 0 2 t z zy 因板很薄，且外力因板很薄，且

15、外力 沿沿 z 轴方向不变。轴方向不变。 0 z 0 zx 可认为可认为整个薄板的整个薄板的 各点各点都有：都有： 由剪应力互等定理，有由剪应力互等定理，有 0 zy 0 yzzy 0 xzzx 结论：结论： 平面应力问题只有三个应力分量：平面应力问题只有三个应力分量： ),(yx xyyxxy ),(yx xx ),(yx yy x y xy x yx y xy yx x y 应变分量、位移分量也仅为应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与的函数，与 z 无关。无关。 2. 平面应变问题平面应变问题 (1) 几何特征几何特征 水坝水坝滚柱滚柱 厚壁圆筒厚壁圆筒 一个方向的尺寸比另一个方向

16、的尺寸比另 两个方向的尺寸两个方向的尺寸大得多大得多， 且且沿长度方向几何形状和沿长度方向几何形状和 尺寸不变化尺寸不变化。 近似认为无限长近似认为无限长 (2) 外力特征外力特征 外力外力（体力、面力）（体力、面力）平行于横截面平行于横截面作作 用，且用，且沿长度沿长度 z 方向不变化方向不变化。 约束约束 沿长度沿长度 z 方向不变化方向不变化。 (3) 变形特征变形特征 如图建立坐标系：以任一横截面为如图建立坐标系：以任一横截面为 xy 面，任一纵线为面，任一纵线为 z 轴。轴。 设设 z方向为无限长，则方向为无限长，则, u , x , x 沿沿 z 方向都不变化，方向都不变化， 仅为

17、仅为 x，y 的函数。的函数。任一横截面均可视为对称面任一横截面均可视为对称面 水坝水坝 因为任一横截面均可视为对称面，则有因为任一横截面均可视为对称面，则有 0w 所有各点的位移矢量都平行于所有各点的位移矢量都平行于 x y 平面。平面。 平面位移问题平面位移问题 0 z 0 yzzy 0 xzzx ),(yx yy ),(yx xx ),(yx xyyxxy 平面应变问题平面应变问题 注：注： (1)平面应变问题中平面应变问题中 0 z 但是，但是，0 z )( yxz (2)平面应变问题中应力分量：平面应变问题中应力分量： )0(, zyzxxyzyx 仅为仅为 x y 的函数。的函数。

18、 可近似为平面应变问题的例子：可近似为平面应变问题的例子： 煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。 1-4 1-4 斜面上的应力斜面上的应力 主应力主应力 1. 斜面上的应力斜面上的应力 （1）斜面上应力在坐标方向的分量）斜面上应力在坐标方向的分量XN，YN x y O dx dy ds PA B s XN YN N yx x y xy 设设P点的应力分量已知：点的应力分量已知： yxxyyx , 斜面斜面AB上的应力矢量上的应力矢量: s 斜面外法线斜面外法线 N 的关于坐标轴的方向余弦：的关于坐标轴的方向余弦： myN),cos( lxN)

19、,cos( ldsdy mdsdx 由微元体平衡：由微元体平衡： , 0 x F 0111dsYdydx Nxyy 0111dsXdxdy Nyxx 整理得：整理得： xyyN lmY （2-3） 0111dsXmdslds Nyxx yxxN mlX , 0 y F 整理得：整理得： （2-4） 外法线外法线 x y O dx dy ds PA B s XN YN N yx x y xy （2）斜面上的正应力与剪应力）斜面上的正应力与剪应力 N N NNN mXlY NNN mYlX xyyN lmY yxxN mlX （2-3） （2-4） 将式（将式（2-3）（）（2-4）代入，并整理得

20、：）代入，并整理得： xyyxN lmml2 22 xyxyN mllm)()( 22 （2-5） （2-6） 说明：说明： （1）运用了剪应力互等定理：）运用了剪应力互等定理： yxxy （2） 的正负号规定：的正负号规定： N 将将 N 转动转动90而到达而到达 的方向是顺时针的，的方向是顺时针的， 则该则该 为正；反之为负。为正；反之为负。 N N 任意斜截面上应力计算公式任意斜截面上应力计算公式 （3）若）若AB面为物体的边界面为物体的边界S，则，则YYN XX N Ylm Xml sxysy sxysx )()( )()( （2-18） 平面问题的应力边界条件平面问题的应力边界条件

21、2. 一点的主应力与应力主向一点的主应力与应力主向 x y O dx dy ds PA B s XN YN N yx x y xy N N NNN mXlY NNN mYlX （1）主应力）主应力 若某一斜面上若某一斜面上 ，则该斜面上的正应，则该斜面上的正应 力力 称为该点一个称为该点一个主应力主应力 ； 0 N N 当当 时，有时，有0 N s N mY lX N N xyyN lmY yxxN mlX mlm xyy lml yxx 求解得：求解得： y yx l m yx x l m 0)()( 22 xyyxyx 2 2 2 1 22 xy yxyx （2-7） 平面应力状态主应力的

22、计算公式平面应力状态主应力的计算公式 主应力主应力 所在的平面所在的平面 称为称为主平面主平面； 主应力主应力 所在平面的法线方向所在平面的法线方向 称为称为应力主向应力主向； 由式（由式（2-7）易得：）易得： yx 21 I 平面应力状态平面应力状态应力第一不变量应力第一不变量 （2）应力主向）应力主向 y yx l m yx x l m 设设1 与与 x 轴的夹角为轴的夹角为1， 1与坐标轴正向的与坐标轴正向的 方向余弦为方向余弦为 l1、m1，则则 2 2 2 2 2 2 2 cos )90cos( cos sin tan l m )( 2y xy 或 设设2 与与 x 轴的夹角为轴的夹角为2， 2与坐标轴正向的方向余弦为与坐标轴正向的方向余弦为 l2、 m2，则则 1 1 1 1 1 1 1 cos )90cos( cos sin tan l m xy x 1 xy x 2 )( 1y xy 或 应力主向的计算公式：应力主向的计算公式： y xy xy x 2 2 1 1 tan tan （2-8） 由由 yx 21 得得 )( 12xy x xy 1 2 tan 1tantan 21 显然有显然有 表明：表明：1 与 与 2 互相垂直。互相垂直。 结论结论 任一点任一点P，一定存在两，一定存在两 互相互相