7微分法在几何上的应用PPT学习教案

1、会计学1 7微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用 。设空间曲线的方程。设空间曲线的方程 )1( )( )( )( tz ty tx (1)式中的三个函数均可导式中的三个函数均可导. 且且 导数不同时为零导数不同时为零 ;),( 0000 ttzyxM 对应于对应于设设 . ),( 0 000 * ttt zzyyxxM 对应于对应于 o z y x M * .M 的的方方程程割割线线 * MM z zz y yy x xx 000 o z y x M * .M 第1页/共21页 考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置切线的过程切线的过程 上式分母同除以上式分母同除以, t , 000

2、 z zz y yy x xx t t t ,0, * 时时即即当当tMM 曲线在曲线在M处的切线方程处的切线方程 . )()()( 0 0 0 0 0 0 t zz t yy t xx 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. )(),(),( 000 tttT 法平面：过法平面：过 M0 点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面. 0)()()( 000000 zztyytxxt 第2页/共21页 例例1 1 求曲线求曲线: t u uduex 0 cos，tysin2 tcos , t ez 3 1 在在0 t处的切线和法平面方程处的切线和法平面方程

3、. 解解当当0 t时，时，, 2, 1, 0 zyx ,costex t ,sincos2tty ,3 3t ez , 1)0( x , 2)0( y , 3)0( z 切线方程切线方程 , 3 2 2 1 1 0 zyx 法平面方程法平面方程, 0)2(3)1(2 zyx . 0832 zyx即即 第3页/共21页 。空间曲线方程。空间曲线方程 , )( )( xz xy 取取 x 为参数为参数 ,),( 000 处处在在zyxM 切线方程为切线方程为 , )()(1 0 0 0 00 x zz x yyxx 法平面方程为法平面方程为 . 0)()()( 00000 zzxyyxxx 第4页

4、/共21页 例例 2 2 求 曲 线求 曲 线 xmzmxy 22 ,2 ， 在 点， 在 点 ),( 000 zyx 处的切线及法平面方程处的切线及法平面方程. 第5页/共21页 , 2 1 , 1 00 zy m T 所求切线方程为所求切线方程为 , 2 1 1 0 0 0 00 z zz y m yyxx 法平面方程为法平面方程为 0)( 2 1 )()( 0 0 0 0 0 zz z yy y m xx 第6页/共21页 二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线 。设曲面方程为。设曲面方程为 0),( zyxF 在曲面上任取一条在曲面上任取一条 通过点通过点M的曲线的曲线 , )(

5、 )( )( : tz ty tx n T M 曲线在曲线在M处的切向量处的切向量),(),(),( 000 tttT 令令 ),(),(),( 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx 第7页/共21页 由由于于曲曲线线是是曲曲面面上上通通过过M的的任任意意一一条条 曲曲线线，它它们们在在M的的切切线线都都与与同同一一向向量量n 垂垂直直，故故 曲曲面面上上通通过过M的的一一切切曲曲线线在在点点M的的切切线线都都在在同同一一 平平面面上上，这这个个平平面面称称为为曲曲面面在在点点M的的切切平平面面. 则则 ,Tn 切平面方程为切平面方程为 0)(,( )(,()(,( 0000

6、 00000000 zzzyxF yyzyxFxxzyxF z yx 通通过过点点),( 000 zyxM而而垂垂直直于于切切平平面面的的直直线线 称称为为曲曲面面在在该该点点的的法法线线. 法线方程为法线方程为 ),(),(),( 000 0 000 0 000 0 zyxF zz zyxF yy zyxF xx zyx 第8页/共21页 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量. 曲面在曲面在M处的法向量即处的法向量即 ),(),(),( 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx 。空间曲面方程形为。空间曲面方程形为),(yxfz 令令

7、 ,),(),(zyxfzyxF 曲面在曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为 ,)(,()(,( 0000000 zzyyyxfxxyxf yx 曲面在曲面在M处的法线方程为处的法线方程为 . 1),(),( 0 00 0 00 0 zz yxf yy yxf xx yx 第9页/共21页 全微分的几何意义全微分的几何意义 因为曲面在因为曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为 )(,()(,( 0000000 yyyxfxxyxfzz yx 切平面切平面 上点的上点的 竖坐标竖坐标 的增量的增量 的全微分的全微分在点在点函数函数),(),( 00 yxyxfz ),(yxfz 在在),(

8、 00 yx的的全全微微分分，表表示示 曲曲面面),(yxfz 在在点点),( 000 zyx处处的的 切切平平面面上上的的点点的的竖竖坐坐标标的的增增量量. 若若 、 、 表示曲面的法向量的方向角，表示曲面的法向量的方向角， 并假定法向量的方向是向上的，即使得它与并假定法向量的方向是向上的，即使得它与z轴轴 的正向所成的角的正向所成的角 是锐角， 则法向量的是锐角， 则法向量的方向余弦方向余弦 为为 第10页/共21页 , 1 cos 22 yx x ff f , 1 cos 22 yx y ff f . 1 1 cos 22 yx ff ),( 00 yxff xx ),( 00 yxff

9、 yy 其中其中 例例 3 3 求旋转抛物面求旋转抛物面1 22 yxz在点在点)4 , 1 , 2( 处的切平面及法线方程处的切平面及法线方程. 解解 , 1),( 22 yxyxf )4, 1 ,2()4, 1 ,2( 1,2,2 yxn ,1, 2, 4 第11页/共21页 切平面方程为切平面方程为, 0)4()1(2)2(4 zyx , 0624 zyx 法线方程为法线方程为. 1 4 2 1 4 2 zyx 例例 4 4 求曲面求曲面32 xyez z 在点在点)0 , 2 , 1(处的处的 切平面及法线方程切平面及法线方程. 解解令令, 32),( xyezzyxF z , 42

10、)0,2, 1()0,2, 1( yFx , 22 )0,2, 1( )0,2, 1( xFy , 01 )0,2, 1( )0,2, 1( z z eF 第12页/共21页 切平面方程切平面方程, 0)0(0)2(2)1(4 zyx , 042 yx 法线方程法线方程 . 0 0 1 2 2 1 zyx 例例 5 5 求曲面求曲面2132 222 zyx平行于平面平行于平面 064 zyx的各切平面方程的各切平面方程. 解解 设设 为曲面上的切点为曲面上的切点,),( 000 zyx 切平面方程为切平面方程为 0)(6)(4)(2 000000 zzzyyyxxx 依题意，切平面方程平行于已

11、知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得 , 6 6 4 4 1 2 000 zyx .2 000 zyx 第13页/共21页 因为因为 是曲面上的切点，是曲面上的切点， ),( 000 zyx 满足方程满足方程, 1 0 x 所求切点为所求切点为),2 , 2 , 1(),2, 2, 1( 切平面方程切平面方程(1)0)2(12)2(8)1(2 zyx 2164 zyx 切平面方程切平面方程(2) 0)2(12)2(8)1(2 zyx 2164 zyx 例例6 在椭球面在椭球面 上求一点，上求一点， 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 使它的法线与坐标轴正向成等角使它的

12、法线与坐标轴正向成等角 解解 令令 1),( 2 2 2 2 2 2 c z b y a x zyxF 则则 第14页/共21页 222 2 , 2 , 2 c z F b y F a x F zyx 2 0 2 0 2 0 2 , 2 , 2 c z b y a x 注意到法线与坐标轴正向的夹角注意到法线与坐标轴正向的夹角 , 相等相等 故故 coscoscos 2 0 2 0 2 0 c z b y a x 1 2 2 0 2 2 0 2 2 0 c z b y a x 解得解得 222 1 cba ),( 222 2 222 2 222 2 cba c cba b cba a 所求的点为

13、所求的点为 ),( 000 zyxP 的法线的方向向量为的法线的方向向量为 故椭球面上任一点故椭球面上任一点 第15页/共21页 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 （求法向量的方向余弦时注意（求法向量的方向余弦时注意符号符号） 思考题思考题 如如果果平平面面01633 zyx 与与椭椭球球面面 163 222 zyx相相切切，求求 . 三、小结三、小结 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 （当空间曲线方程为一般式时，求切向（当空间曲线方程为一般式时，求切向 量注意采用量注意采用推导法推导法） 第16页/共21页 思考题解答思考题解答 设切点设切点 ),( 000 zyx,2,2,

14、6 000 zyxn 依题意知切向量为依题意知切向量为3, 3 3 22 3 6 000 zyx , 00 xy ,3 00 xz 切点满足曲面和平面方程切点满足曲面和平面方程 , 01693 01693 2 0 2 0 22 0 00 2 0 xxx xxx . 2 第17页/共21页 练练 习习 题题 一、一、 填空题填空题: : 1 1、 曲线曲线 2 , 1 , 1 tz t t y t t x 再对应于再对应于1 t的点的点 处切线方程为处切线方程为_； 法平面方程为法平面方程为_._. 2 2、 曲面曲面3 xyze z 在点在点)0 , 1 , 2(处的切平面方程为处的切平面方程为 _； 法线方程为法线方程为_._. 二、二、 求出曲线求出曲线 32 ,tztytx 上的点上的点, ,使在该点的切使在该点的切 线平行于平面线平行于平面42 zyx. . 三、三、 求球面求球面6 222 zyx与抛物面与抛物面 22 yxz 的交线的交线 在在)2 , 1 , 1(处的切线方程处的切线方程 . . 第18页/共21页 四、求椭球面四、求椭球面12 222 zyx上平行于平面上平行于平面 02 zyx的切平面方程的切平面方程. . 五、试证曲面五、试证曲面)0( aazyx上任何点处的上任何点处的 切平面在各坐标轴上的截