51第二型曲线积分PPT学习教案

1、会计学1 51第二型曲线积分第二型曲线积分PPT课件课件 1. 引例: 变力沿平面曲线所作的功. 设一质点受如下变力作用 在 oxy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, A B L x y 求移 cosABFW “分割” “替代” “求和” “取极限” 常力沿直线所作的功 解决办法: 动过程中变力所作的功W. ABF A B F ),(, ),(),(yxQyxPyxF 机动 目录 上页 下页 返回 结束 jQiP 第1页/共38页 1k M k M A B x y 2) “替代” L 把L分成 n 个小弧段, 有向小弧段 kk MM 1),( kk yx 近似代替, ),( k

2、k 则有 kkkk yQxP),(),( kk 所做的功为 , k W F 沿 kk MM 1 kkkk MMFW 1 ),( k ),( kk F n k k WW 1 则 用有向线段 kk MM 1 kk MM 1 上任取一点 在 k y k x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共38页 1k M 4) “取极限” n k W 1 kkkkkk yQxP),(),( n k d W 1 0 lim kkkkkk y)Q(x)P,( (其中d 为 n 个小弧 段的 最大长度) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 k M A B x y L ),( kk F k y k x 第3页

3、/共38页 设 L 为Oxy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑 曲线, L分割成n个有向小弧段， 在 弧段 在 x 轴和 y 轴上的投影分别为 在 L 上有界。用分点 上任取一点 ),(, ),(yxQyxP 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),( 000 yxMA ByxMyxMyxM nnn ),(),(),(， 222111 把有向曲线 ii MM 1),(ni21 ii MM 1 第 i 个小 ， 1 iii xxx 1 iii yyy 和和 ii MM 1 ),)(,(ni ii 21 iii xP ),( iii yQ ),( n i 1 作和 记 为 n 个小弧段长度的 最

4、大值，如果无论L怎样分割 也无论点 在在),( ii ii MM 1 上怎样选取，极限 iii xP ),( iii yQ ),( n i 1 0 lim 第4页/共38页 总是存在,且为常数，则称此极限为向量值函数 在有向曲线弧 L 上 或对坐标的曲线积分, L yyxQxyxPd),(d),( 的第二型曲线积分.记作 其中, , ),(yxP L 称为积分曲线或 积分路径 . 称为 ),(yxQ 机动 目录 上页 下页 返回 结束 iii xP ),( iii yQ ),( n i 1 0 lim jyxQiyxPyx ),(),(),(A iii xP ),( iii yQ ),( n

5、i 1 0 lim 被积函数 , 第5页/共38页 L xyxPd),( L yyxQd),( 若 为空间曲线弧 , 可定义 上的第二型曲线积分 称为对 x 的曲线积分; 称为对 y 的曲线积分. zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),( 类似地, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 iii xP ),( iii yQ ),( n i 1 0 lim n i 1 0 lim L yyxQxyxPd),(d),( 则 LL yyxQxyxPd),(d),( 第6页/共38页 若曲线L为一条封闭曲线时，则积分记作 yyxQxyxP L d),(d),( 机动 目录 上页 下页 返回

6、结束 (1) 若 L 可分成 二条有向光滑曲线弧 21 LLL L yQxPdd 21 LL yQxPyQxPdddd (2) 用 -L 表示与 L 的方向相反的曲线弧 , 则 L yQxPdd L yQxPdd 则 的的方方向向一一致致的的方方向向与与，LLL 21 第7页/共38页 设是空间有向光滑曲线，起点A,终点B,取以弧长 s )()()(, )(lsszzsyysxx0， 曲线 的切向量为 ) d d d d , d d ( s z s y s x ， 机动 目录 上页 下页 返回 结束 为参数, 曲线的参数方程为 ).()(, )(),()(, )(lzlylxBzyxA，000

7、 起点A和终点B的坐标表示为 方向余弦为 )()(, )(szsysx， s z s y s x d d cos d d cos, d d cos， 2 22 zyxsdddd 第8页/共38页 当L为平面曲线时 则两类曲线积分有如下联系 zRyQxPddd 机动 目录 上页 下页 返回 结束 s z s y s x d d cos d d cos, d d cos， sRQPdcoscoscos szsysxdcosd,dcosddcosd， L yQxPdd L sQPdcoscos 第9页/共38页 若 为空间曲线弧 , 记 若记 , 对坐标的曲线积分也可写作 )d,(ddyxr LL

8、yyxQxyxPrAd),(d),(d ),(, ),(, ),(),(zyxRzyxQzyxPzyxA zRyQxPrAdddd )d,d,(ddzyxr 类似地, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共38页 L rFWd jyxQiyxPF),(),(其中其中 L yyxQxyxPd),(d),( s y s x d d cos, d d cos 引例中的变力做功等于 )d,(ddyxr ,dcosddcosdsysx， L sQPdcoscos 第11页/共38页 定理: ),(, ),(yxQyxP设设 在有向光滑曲线 L上有定义且 参数方程为 )( )( ty tx tB

9、AL：时，时，当当 : 则曲线积分 L yyxQxyxPd),(d),( ttP )(),()(t )(t td)(),(ttQ 连续, L的起点为A,终点为B， 证明: 存在, 且有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 )( )( : ty tx L 连续，连续，),(, ),(yxQyxP .tBL tAL 上，对应上，对应的终点的终点在在 ，上，对应上，对应的起点的起点在在 0 22 )()(tt 第12页/共38页 0 22 )()(tt s y s x d d cos, d d cos )( )( : ty tx L )(),(ttsL 的切向量的切向量 0 22 tttsd)()(

10、d )()( )( cos, )()( )( cos tt x tt x 2222 L yyxQxyxPd),(d),( L syxQyxPdcos),(cos),( 代入 第13页/共38页 当L从起点A变到终点B时，参数 t 从变到， L yyxQxyxPd),(d),( L syxQyxPdcos),(cos),( 代入 ttP )(),( )(t )(t sd )(),(ttQ )()( )( tt x 22 )()( )( tt x 22 tttsd)()(d 22 ttP )(),( td)(),(ttQ 第14页/共38页 特别是, 如果 L 的方程为 ,:),(baxxy 则

11、xxxQxxP b a d )(,)(, )(x L yyxQxyxPd),(d),( 定理 目录 上页 下页 返回 结束 如果 L 垂直于 x 轴 0 L xyxPd),( 如果 L 垂直于 y 轴 0 L yyxQd),( ， 2 ，0sxdcosd ， 2 ，0sydcosd 第15页/共38页 对空间光滑曲线弧 : 类似有 zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),( )(t )(t )(t )(, )(),(tttQ )(, )(),(tttRtd )(, )(),(tttP ,: )( )( )( t tz ty tx 定理 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共38

12、页 对空间光滑曲线弧 : 类似有 zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),( 定理 目录 上页 下页 返回 结束 如果 垂直于 x 轴 0 xzyxPd),( 如果 垂直于 y 轴 0 yzyxQd),( ， 2 ，0sxdcosd ， 2 ，0sydcosd 如果 垂直于 z 轴 ， 2 ，0szdcosd 0 zzyxRd),( 第17页/共38页 ,ddxyyx L 其中L为 (1)圆 ),(),(,110002 22 到到上上从从yyx 的一段弧（如图） (2) 有向折线 .:ABOAL 解: 0 2 tcos .sin ,cos ty tx 1 2 t 机动 目录 上页

13、下页 返回 结束 y x o ),(10A )1 , 1(B (1) 原式 02 22 yyx 起点 终点 0t tcos xyyx L dd ttd )sin()sin(t 1 0 2 1 tt d)sin( . 1 2 第18页/共38页 机动 目录 上页 下页 返回 结束 y x o ),(10A )1 , 1(B (2) 有向折线 .:ABOAL 100:,:yxOA 0 xd xyyx OA dd 0 :1,:01AB yx 0yd dd AB x yy x xd)( 1 0 11 dd OA AB x yy x 1 10 第19页/共38页 y x o ,ddyxxyx L 2 2

14、 其中L为 (1) 抛物线 ;:,:10 2 xxyL (2) 抛物线 ;:,:10 2 yyxL (3) 有向折线 .:ABOAL 解: 2 2xxxx d4 1 0 3 )0, 1(A )1 , 1(B 2 yx 2 xy 1 0 ( xxxd)2 2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 原式 (2) 原式 yyy22 2 yy d5 1 0 4 1 0 (yyd) 4 1 第20页/共38页 y x o (3) 有向折线 .:ABOAL 原式 yxxyx OA dd 2 2 1 0 2 002xxxd)( 1 )0, 1(A )1 , 1(B 2 yx 2 xy yxxyx

15、AB dd 2 2 1 0 102yyd)( 机动 目录 上页 下页 返回 结束 100:,:xyOA 0 xd :1,:01AB xy 0yd 第21页/共38页 01:t t zyx AB 01 1 1 : ) 0 , 0 , 1 (A ) 0 , 1 , 0 (B ) 1 , 0 , 0(C o x y z 为折线 ABCOA (如图), 计算 zyyxIddd 解1: I 1 2 1 12 0 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 OACOBCAB 0 1 z ty tx 11 2 1 td 0 1 0t1t d 01:t t zyx BC 1 1 10 : tz ty x 1 0

16、t zyx CO 100 : 01: t t zyx OA 001 : 10:t 1 0 0td 第22页/共38页 )0 , 0 , 1 (A )0 , 1 , 0(B ) 1 , 0 , 0(C o x y z 为折线 ABCOA (如图), 计算 zyyxIddd 解2: I 0 0 1 d)1 (yy 1 0 dx 2) 2 1 1 ( 1 2 1 0 1 d2 x 1 yx 1 zy yx AB dd zyy BC dd OA xd 机动 目录 上页 下页 返回 结束 OACOBCAB 第23页/共38页 其中 L 为 ,:, 0aaxy y BA oaa x (1) 半径为 a 圆

17、心在原点的 上半圆周, 方向为逆时针方向; (2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B ( a , 0 ). 解: (1) 取L的参数方程为 ,d 2 xy L ttaytax0:,sin,cos xy L d 2 ttadsin2 2 0 33 3 2a (2) 取 L 的方程为 xy L d 2 ta 2 0 2 sin ttad)sin( 1 3 2 3 3 4 a a a xd00 则 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共38页 o z y x ,d)(d)(d)(zyxyzxxyzI 其中 , 2 1 22 zyx yx 从 z 轴正向看为顺时针方向. 解

18、: 取 的参数方程 ,sin,costytx )02:(sincos2tttz I 2 0 tttcos)sincos22( tttttd )sin)(cossin(cos tt d)cos41 ( 2 2 0 )sin)(cos2(tt 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共38页 22 yxF 原点 O 的距离成正比, 例6. 设一个质点在 ),(yxM 处受 恒指向原点, )0,(aA 沿椭圆 此质点由点 1 2 2 2 2 b y a x 沿逆时针移动到 , ),0(bB ),(yxM x y o )0 ,(aA ), 0(bB 解: yyxxdd AB :AB taxc

19、os tbysin 2 0: t , ),(yxOM F 的大小与M 到 F 的方向 力F 的作用, 求力F 所作的功. ),(yxkF F 1k 机动 目录 上页 下页 返回 结束 tttbtta dcossinsincos 22 0 2 )( 22 2 1 ba rFW d AB 第26页/共38页 二者夹角为 ,max 22 QPM 曲线段 L 的长度为 s, 证明 ),(, ),(yxQyxP 续, sMyQxP L dd 证: L yQxPdd sQP L dcoscos 设 sM sQP L dcoscos 说明: 上述证法可推广到三维的第二类曲线积分. 在L上连 )cos,(co

20、s, ),(tQPA stA L d sA L dcos 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第27页/共38页 将积分 yyxQxyxP L d),(d),( 化为对弧长的积 分, 02 22 xyx).0 , 2()0 , 0(BO到从 解： o y xB ,2 2 xxyx xx x yd 2 1 d 2 sdxyd1 2 x xx d 2 1 2 s x d d cos,2 2 xx s y d d cosx1 yyxQxyxP L d),(d),( syxQyxP L d),(),( 2 2xx )1(x 其中L 沿上半圆周 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第28页/共38页 1

21、. 定义 kkkk n k yQxP ),(),(lim kk 1 0 L yyxQxyxPd),(d),( 2. 性质 (1) L可分成 k 条有向光滑曲线弧 ), 1(kiLi L yyxQxyxPd),(d),( i L k i yyxQxyxPd),(d),( 1 (2) L 表示 L 的反向弧 L yyxQxyxPd),(d),( L yyxQxyxPd),(d),( 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向! 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第29页/共38页 , )( )( : ty tx L : t L yyxQxyxPd),(d),( tttQttPd )(),( )(),

22、( )(t)(t 对有向光滑弧 对有向光滑弧 baxxyL:, )(: xxxQxxP b a d )(,)(, )(x L yyxQxyxPd),(d),( 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第30页/共38页 zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),( :, )( )( )( t tz ty tx )(, )(),(tttP)(t )(t )(t 4. 两类曲线积分的联系 L yQxPddsQP L dcoscos zRyQxPddd sRQPdcoscoscos )(, )(),(tttQ )(, )(),(tttRtd 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第31页/共38

23、页 解: z x o y A B z k 222 zyx kzjyi x z k L zyxz zzyyxx k 222 ddd :L 22 tx 22 ty 1 tz ) 10:(t 1 0 1 d3 t t k2ln3k )1 ,2,2(A 线移动到 , )2,4,4(B 向坐标原点, 其大小与作用点到 xoy 面的距离成反比. 沿直 sFW L d F)( 0 r ) 1 , 2 , 2(AB r 求 F 所作的功 W.已知 F 的方向指 一质点在力场F 作用下由点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第32页/共38页 2222 azyx 与曲面 axyx 22 ,)0, 0(的交线az 从 ox 轴正向看去为逆时针方向, (1) 写出曲线 C 的参数方程 ; (2) 计算曲线积分 .ddd 222 zxyzxy C 解: (1) 2 2 22 2 )()( aa yx 222 yxaz tx aa cos 22 ty a sin 2 2 sin t az 20:t 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第