整式的有关概念-教材详解及典例分析(1)13页

1、第二章 整式2.1 整式1、单项式的系数、次数，多项式的项、次数等概念；知识频道2、列代数式；体验代数式在处理实际问题中的优越性，感受数学的乐趣例题频道3、辨析多项式的次数。方法频道 0一、知识频道 概念内涵 概念外延 概念缘由1、代数式的有关概念代数式：用基本的运算符号（包括加、减、乘、除、乘方、开方）把数、表示数的字母连结而成的式子叫做代数式，单独一个数或一个字母也是代数式。说明：代数式书写时需注意：（1）数与字母、字母与字母相乘时乘号省略不写，数字要写在字母前面，如；数字因数是1或1时，“1”省略不写，如mn；（2）带分数与字母相乘时要化成假分数，如：要写成的形式；（3）除号要改写成分数

2、线，如：ab要写成；（4）书写单位时要把代数式用括号括起来，如（）平方米。代数式的系数：在代数式中，每一项字母前的数字因数叫做这一项的系数。说明：当系数是1或1时，1省略不写，如ab，等。探究引导：在小学我们研究过一些图形的面积，如三角形、正方形、长方形和圆的面积公式，我们知道三角形的面积底高2，正方形的面积边长边长，长方形的面积长宽；圆的面积。如下图所示，我们用一些字母代替三角形的底和高、正方形的边长、长方形的长和宽、圆的半径，那么这些面积公式就可以分别表示为：三角形的面积为_; 长方形的面积为_ _正方形的面积为_; 圆的面积为_.这些面积公式的表现形式比文字表示要简捷。象，st，这些式子

3、都是代数式，它们都是数与字母的积，它们的系数分别是，1，1，1。2、整式的有关概念（1）单项式的定义：都是数与字母的积的代数式叫做单项式说明：判断一个代数式是不是单项式，主要是根据代数式中数字和字母间是否都是乘法运算关系如就不是一个单项式，因为2y与x之间是除法运算但是， ab2是单项式，因为是一个数a2是一个单项式，因为a2可以看作是aa特别地，单独的一个数或单独的一个字母也都是单项式，如3，0， ，x，等都是单项式（2）单项式次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数说明：单项式的次数，是指这个单项式中将所有字母指数相加得到的和如单项式3x2、2xy、x2y、x的次数分别是2

4、、2、3、1特别地，单独的一个数字，如3，等，可以当做0次单项式来看待（3）单项式的系数：单项式中的数字因数即为单项式的系数说明：在单项式中，系数只与数字因数有关；次数只与字母有关如x3yz4的系数是1，次数为3148（4）多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式说明：多项式是由几个单项式相加得到的，如多项式x22x1是由单项式x2，2x和1相加而得到的（5）多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数说明：在确定多项式的次数时，应先计算出多项式的每一项的次数，然后再确定多项式的次数，即取次数最大的项的次数作为该多项式的次数如，多项式x3x2y2x中，单项式x3的次数是3，

5、单项式x2y2的次数是4，单项式x的次数是1，所以多项式x3x2y2x的次数是4（6）多项式的项数：一个多项式中有几个单项式就有几项每一个单项式就是一项。说明：多项式的项，包括符号如多项式53x2中，二次项是3x2（7）常数项的定义：在多项式中，不含有字母的项叫做多项式的常数项。（8）降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列（9）升幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列说明：把多项式按升幂或降幂排列时，一定要弄清是针对哪个字母的排列，排列时只看这个字母的指数，而后按照加法交换律交换项的位

6、置对于不同的字母，排列后的顺序往往不同，切记重新排列多项式时，各项一定要带着符号移动位置如：x32x4y7xy3y472x4yx37xy3y477y47xy3x32x4y y47xy32x4yx37 7x32x4y7xy3y4 其中，是按x的降幂排列；是按x的升幂排列；是按y的降幂排列；是按y的升幂排列（10）整式的定义：单项式和多项式统称整式说明：知道一个代数式，不论是单项式还是多项式，都一定是整式；反之，如果已知一个代数式是整式，那么它或者是单项式，或者是多项式，二者必具其一如单项式3x2，x等都是整式，多项式3x，x3x1等都是整式；在整式2x，x41中，2x是单项式，x41是多项式探究

7、引导：4a, ,x,a2h等，都是数字与字母的乘积.例如4a是4与a的积，是与b2的积， x是与x的积，a2h是1与a2h的积.像这样的代数式我们把它们都叫做单项式，其中的数字因式如“4”“”“”“1”是单项式的系数.，每个单项式中所有字母的指数和叫单项式的次数。如是二次单项式，这里要注意是一个常数，不是一个字母，所以单项式中只有一个字母b，它的指数是2，就是一个二次单项式。代数式4a4b是单项式4a,4b的和，像这样的几个单项式的和所形成的代数式，我们把它叫做多项式.，每个单项式就是这个多项式的一项，多项式4a4b中的项是4a和4b，要注意多项式的项包括符号，所以第二项是4b。在一个多项式中

8、，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数. x2y这一项在x2y+2y1中次数最高，因此我们把x2y的次数3作为多项式x2y+2y1的次数，即x2y+2y1是一个三次三项式。二、方法频道 由解题理解知识，由知识学会解题1. 对单项式、多项式、整式进行判断例1判断下列各代数式，哪些是单项式，哪些是多项式，哪些不是整式(1)3xy2；(2)2x31；(3)(xy1)；(4)a2；(5)0；(6)；(7)；(8)；(9)x21；(10)；解：单项式有：(1)3xy2，(4)a2，(5)0，(7)；多项式有：(2)2x31，(3) (xy1)；不是整式的有：(6)，(8)，(9)x21，(10)知识体

9、验：只有数字与字母的乘积，这样的代数式是单项式，几个单项式的和组成多项式，单项式和多项式都是整式。在数字和字母之间只出现了乘法、加法、减法（可转化为加法）的运算，这样的代数式就是整式。没有出现2x即,或x2即这样的式子，那么,是整式吗？可以写成x,所以是单项式，而是数字与字母的商，所以不是单项式，更不是整式，所以整式最显著的特征是字母不能作分母。所以(6)；(8)；(9)x21；(10)；这几个代数式分母中含有字母，就不是整式。易错提示： (6)和(7)这两个代数式常会误以为都是单项式，（7）可以看成，所以是单项式，而（6）是2xy，所以不是单项式也不是整式。(3) (xy1)；会误以为是单项

10、式，其实 (xy1)x+y+，所以是三个单项式的和，是一个多项式。2、说出单项式、多项式的次数和项例2 指出下列各单项式的系数与次数：（1） （2）-mn3; （3） （4）3；解：（1）的系数是，次数是3.（2）-mn3的系数是-1，次数是4.（3）的系数是，次数是5.（4）3的系数是3，次数是0。知识体验：单项式的系数，包括前面的符号，当单项式的系数是1或1时，“1”省略不写，如-nm3中，系数是1，则把“1”省略不写；圆周率只是一个常数符号，不能把它作为字母，如：的系数是，次数是5。另外，像3，0等这样的常数，是零次单项式易错提示：-nm3的系数是-1；的系数是，次数是5，如写成系数是，

11、次数是6就不对了.例3、填空：（1）多项式2x4-3x5-24是 次 项式，最高次项的系数是，四次项的系数是 ，常数项是 ，补足缺项后按字母x升幂排列得 ；（2）多项式a3-3ab2+3a2b-b3是 次 项式，它的各项的次数都是 ，按字母b降幂排列得 .解：（1）五，三，-3，2，24，-24+0x+0x2+0x3+2x4-3x5;（2）三，四，3，-b3-3ab2+3a2b+a3.应用体验：24是常数项，不是4次项。确定多项式项时不要漏掉前面的符号，移动多项式的某一项的位置时，要连同前面的符号一起移动，这些都是容易犯错误的地方，要引起高度重视。另外，第（2）小题所给多项式各项次数都等于3，

12、一般称这样的三次多项式为三次齐次式.解题技巧：多项式应看作是省略括号的和的形式因此，当确定多项式的项时，应包括符号另外，圆周率是一个常数回答多项式是几次几项式时，数字要大写.如五次三项式，不能写成5次3项式.；补足缺项，是把升（或降）幂排列中缺少次数的项的系数用零表示补入式中.，移动多项式的某一项的位置时，要连同前面的符号一起移动.，对含有两个以上字母的多项式，一般按其中的某一个字母的指数大小顺序排列，本题是按规定的字母指数大小排列。三、例题频道（一）题型分类全析1、与代数式有关的题型 例1. 用代数式表示： （1）把温度是t的水加热到100，水温升高了_。 （2）一个两位数，个位数字是a，十

13、位数字是b，则这个两位数可表示为_。 （3）用字母表示两个连续奇数为_。 （4）若正方体的棱长是a1，则正方体的表面积为_。 （5）如图，亮亮家装饰新家，他为自己的房间选了一款窗帘（上方阴影固定），请你帮他计算可以射进阳光的面积为_米2。 思维直现：（1）温度差别就是末了温度初始温度；（2）一个两位数的表示方法：十位数字10各位数字；（3）连续奇数之间相差2；（4）正方体的表面积棱长棱长6；（5）射进阳光的面积长方形面积阴影部分的面积。 解：（1）（100t） （2）10ba （3）2n1，2n1（n为整数） 阅读笔记：用代数式表示，要仔细读题，找到题目中的等量关系，将需要表示的量表达出来，书

14、写代数式时要注意：（1）数与字母、字母与字母相乘时乘号省略不写，数字要写在字母前面，如10ba；数字因数是1或1时，“1”省略不写，如（100t）；（2）带分数与字母相乘时要化成假分数，如：要写成的形式；（3）除号要改写成分数线，如：ab要写成；（4）书写单位时要把代数式用括号括起来，如（）平方米。题评解说：列代数式是学习整式的基础，有代数式才能研究整式，而列代数式用到的知识很多，比如面积公式、温差等生活知识，对学生能力要求较高，难度视题目而定，可能很简单也可能比较难。列代数式是后续学习列方程解决实际问题的基础，所以要掌握好。建议： 对列代数所用到的知识要努力回忆和复习，要多练才能熟练。 例2

15、. 用语言叙述下列代数式的实际意义。思维直现：列代数式要有一定的问题背景，用语言叙述下列代数式，就是要再现列出代数式的问题背景，问题背景可能设计的不同，只要能解释即可。 解：（1）如果用a表示一支铅笔的价格，那么3a表示3支铅笔的价格。 （2）如果用a，b分别表示两个正方形的边长，那么a2b2表示这两个正方形面积之和。 （3）如果用x表示过去的产量，那么（120%）x表示减少20%以后的产量。 圆面积与正方形面积之差。阅读笔记：要解释代数式，就要熟悉代数所能表示的问题背景，如可表示边长为a的正方形的面积，可表示半径为a的圆的面积等。这样才能写出合理的代数式的意义。题评解说：用语言叙述下列代数式

16、是列代数式的逆向，要根据代数式写出问题的背景，可以写出不同的问题背景，只要合理即可。建议：要仔细体会本题的解答，理解这类问题的解题思路。2、单项式、多项式的概念有关的题型例3 一个五次多项式，它的任何一项的次数都A小于5B等于5C不小于5D不大于5思维直现：由于多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”，因此五次多项式中，次数最高的项是五次的，其余的项的次数可以是五次的，也可以是小于五次的，却不能是大于五次的因此，五次多项式中的任何一项都是不大于5次的解答：选D。阅读笔记：多项式中次数最高的项的次数是多项式的次数，如果直接问是几次多项式，要先求出每一项的次数，找出最高次作为多项式的次数，而本

17、题是告诉是五次多项式，想象一下多项式中每一项的次数情况，这里有一个逆向思维的问题。题评解说：本题是一个关于多项式次数问题，但不是给多项式问是几次多项式，而是给多项式的次数是五次，想象一下每一项的次数情况，因为没有见到具体的每一项，所以有一定的难度。例4说出下列各多项式分别是几次几项式(1)3x23；(2)a2b2a3b4；(3)；(4)(a3b31)；(5)x6x53x212xa；(6)2(xyx3y4)思维直现：需要找出多项式的每一项，算出每一项的次数，然后回答是几次几项式。解：(1)多项式3x23是一次二项式；(2)多项式a2b2a3b4是三次四项式；(3)因为x2x4，所以多项式是二次三

18、项式；(4)因为(a3b31)a3b3，所以多项式(a3b31)是三次三项式；(5)多项式x6x53x212xa是六次五项式；(6)因为2(xyx3y4)2xyx32y24，所以多项式2(xyx3y4)是三次四项式阅读笔记：当所给的多项式不能直观地辨别其次数和项数时，就需要对其整理变形，使其成为标准形式的多项式如第(3)、(4)、(6)小题，变形后便容易多了另外，常数项中的指数，不能做为多项式的次数如第(1)、(6)小题中23、4，不影响多项式的次数题评解说：判断多项式是几次几项式的问题，是理解多项式概念中的常规题，具体在解答时会遇到具体困难，如多项式给出不规范要先变形，有常数项中有指数的干扰

19、，这增加了本题的难度。建议：要概念清晰，排除干扰。（二）思维重点突破例5若3axym是关于x、y的单项式，且系数为6，次数为3，则a_，m_思维直现：“关于x、y的单项式”说明只有x、y才是单项式中的字母，a只是系数的一部分，所以3a是系数，也就是6，即3a6，解得：a2而单项式的次数是x、y的指数和：（1m），也就是3因此1m3得m2解：a2，m2阅读笔记：单项式是数与字母的积，数字因数是单项式的系数，所有字母的指数和是单项式的次数。在本题中x、y才是单项式中的字母，a只是系数的一部分，这两点一定要理解到位。题评解说：本题是已知单项式的系数和次数，求参数的值。这样的参数问题，不理解题意的人不

20、知道该如何下手，其实只要搞清说代表单项式的系数，谁代表单项式的次数，就可列出方程解决，虽然学生还没有学习解一元一次方程，但简单的一元一次方程，学生在小学是见过并会解的。建议：正确理解多项式的系数和次数，不要受字母参数的影响。例6当x为何值时，下列多项式可化简为关于y的一次单项式(1)x5y5；(2) 6思维直现：把一个多项式转化为关于某一字母的单项式，就是指除符合题目要求的项保留外，其余各项的和等于0如(1)中，要使多项式x5y5化简为关于y的一次单项式，只保留5y这一项，其余各项的和为0，即使x50的x的值即为所要求的x的值解：(1)由x50，即x5，得x所以当x时，多项式x5y5可化简为关

21、于y的一次单项式(2)多项式6可化为xy4由x40，即x4，得x8所以当x8时，多项式6可化简为关于y的一次单项式阅读笔记：理解题意很重要，本题把一个多项式转化为关于某一字母的单项式，就是指除符合题目要求的项保留外，其余各项的和等于0这是解此题的关键。题评解说：本题理解题意后就是一个整理代数式，构造一元一次方程的过程，所以理解把一个多项式转化为关于某一字母的单项式，就是指除符合题目要求的项保留外，其余各项的和等于0，这是本题的关键。建议：要多项式可化简为关于y的一次单项式，就要能够将含y的项从多项式中分离出来，其它部分的和是0即可。四、习题频道对应例题例1 例2例3例4例5例6变式练习1、2、

22、3、4、141711、13、165、8、9、126、10、157 1. 长方形的长为a厘米，宽为b厘米，该长方形的周长为_厘米，面积为_平方厘米。 2. 一桶汽油倒出30%还剩a千克，则这桶汽油原有_千克。 3. 如果用C表示摄氏温度，f表示华氏温度，研究表明华氏温度比摄氏温度的还多32，则_。4 商场中某牌子的电视机有A，B，C三种型号，售价分别为3000元，3500元，4000元，三月份商场出售的这三种型号的电视机数量分别是：A型的a台，B型的b台，C型的c台，则该商场三月份这三种电视的销售额是 元.5、在x2， (xy)，3，中，单项式是_，多项式是_，整式是_6、单项式的系数是_，次数

23、是_7、当a_时，整式x2a1是单项式8、多项式xy1是_次_项式9、多项式5x3xy21y按字母y的降幂排列是_10、系数是3，且只含有字母x和y的四次单项式共有_个，分别是_11、组成多项式1x2xyy2xy3的单项式分别是_ _12、下列说法正确的是（ ）.A不是单项式；B是单项式；Cx的系数是0；D是整式.13、如果一个多项式是五次多项式，那么（ ）A这个多项式最多有六项；B这个多项式只能有一项的次数是六；C这个多项式一定是五次六项式；D这个多项式最少有二项，并且最高次项的次数是五.14、小红和小兰房间窗户的装饰物如图13所示，它们分别由两个四分之一圆和四个半圆组成（半径分别相同）.图

24、13（1）窗户中能射进阳光的部分的面积分别是多少？（窗框面积忽略不计）（2）你能指出其中的单项式或多项式吗？它们的次数分别是多少？15如果单项式3ab的次数与单项式xyz的次数相同，试求m的值。16、请你写出一个四次项系数为-1的四次多项式，并指出其余各项的次数和系数17、用语言叙述下列代数式的实际意义。(1)ab （2） (3)4c答案：1. 。分析：长方形的周长2（长宽）；面积长宽。点拨：要熟记小学学过的面积、周长公式，在列代数式时会经常用到。2. ；分析：倒出30，就剩70，剩的70是a千克，所以原有a70，书写代数式时要把除号用分数线代替，所以原有千克。点拨：书写代数式要注意：数字与字

25、母相乘乘号省略不写，数字写在字母前面，带分数要化成假分数；除号要改写成分数线；多项式后面带单位的，要给多项式加括号。3. ；分析：华氏温度比摄氏温度的还多32，说明华氏温度摄氏温度32。点拨：注意代数式书写规范的要求，数字写在字母的前面。 4，3000a+3500b+4000c；分析：销售额单价销售量，本题，商场一共销售三种型号的电视，所以销售额是三种型号电视销售额之和。点拨：每种型号的单价要与销售量对应，代数式的书写要规范，因为后面有单位，所以要给多项式加括号。5、x2， ，3； (xy)； x2， (xy)， ，3分析：单项式中只有数与字母的积，几个单项式的和是多项式，单项式和多项式统称整

26、式，根据定义做出判断。点拨：是常数，所以是单项式，也是整式。但，分母中含有字母就即不是单项式、多项式，也不是整式。6、，6；分析：单项式中数字因数是单项式的系数，所有字母的指数和是单项式的次数。点拨：要能把数字因数分离出来，尤其是系数为分数时。 7、1；分析：代数式中只有数与字母的积，这样的代数式是单项式，整式x2a1是单项式，就要只含有x2，其它项的和为零，所以a10，就得a1。点拨：单项式中只有乘法没有加减运算，只能有一项，所以其它项的和要为0。8、二，二；分析：多项式中每个单项式都是多项式的一项，有几个多项式就有几项。多项式的次数是次数最高项的次数，这里只有两项：xx和1，xy项是二次项

27、，1是零次项，所以xx1是二次二项式。点拨：判断多项式的次数，要先求出多项式中每一项的次数，然后找最高次做多项式的次数。9、xy2y 5x31；分析：要求按字母y的降幂排列，就要看每一项中y的字数，由高到低排列。点拨：不含y的项和常数项都是y的0次幂，可以并列排在最后，一般把常数项排在最后。10、3，；分析：单项式的次数是所有字母的指数和，这里要求只含字母x和y，所以它们的指数和应该是4，能够组成4的加数有：3和1，2和2，1和3，所以系数是3，且只含有字母x和y的四次单项式共有3个，它们是：。点拨：考虑指数和是4时，要固定字母的顺序，然后确定指数；第一个加数是x的指数，第二个加数是y的指数，指数和是4的加数情况只有3和1，2和2，1和3，这样就不会遗漏和重复了。11、1，x2，xy，y2和xy3；分析：多项式中的每个单项式都是多项式的一项，有几个单项式就有几项。点拨：写多项式项的时候要连同前面的符号一起作为多项式的一项，不要漏掉符号。12、D; 分析：单独一个数字和字母也是一个单项式，所以A不对；分母中含有字母不是整式，也就不是单项式；x的系数是1不是0，这样用排除法选D。点拨：其实D中，可以化简为，是两个单项式的和，所以是多项式，也该选D。13、D；分析：多项式的次数是多项式中次数最高项的次数，与多项式有几项无关。如果一个多