实数_知识点+题型归纳.doc

1、第六章实数正数a的正的平方根也叫做 a的算术平方根，零的算术平方根还是零。 开平方：求一个数的平方根的运算，叫做开平方。有理数.涪限小数或循环小数实数彳无限不循坏小数.无理数”知识讲解+题型归纳知识讲解 实数的组成正整数整数零L负整数正分数负分数 正无理数 员无理数1实数又可分为正实数，零，负实数2. 数轴：数轴的三要素原点、正方向和单位长度。数轴上的点与实数对应、相反数、绝对值、倒数1. 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。数 a的相反数是-a。正数的 相反数是负数，负数的相反数是正数，零的相反数是零性质：互为相反数的两个数之和为0。2. 绝对值：表示点到原点的距离，数a的绝对值为 3倒

2、数：乘积为1的两个数互为倒数。非 0实数a的倒数为 .0没有倒数4.相反数是它本身的数只有 0;绝对值是它本身的数是非负数（0和正数）；倒数是它本身的数是土 1.三、平方根与立方根1. 平方根：如果一个数的平方等于a,这个数叫做a的平方根。数a的平方根记作（a=0）特性：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，零的平方根还是零。负数没 有平方根。2. 立方根：如果一个数的立方等于 a，则称这个数为a立方根。数a的立方根 用 表示。任何数都有立方根，一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根，零的立方根是零。开立方：求一个数的立方根（三次方根）的运算，叫做开立方。四、实数的运算有理数的加法

3、法则：a）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；b）异号两数相加。绝对值相等时和为 0;绝对值不相等时，取绝对值较大的数 的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 . 任何数与零相加等于原数。2. 有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。-I ！3. 乘法法则：a）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零.b）几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数时，积为负，为偶数，积为正c） 几个数相乘，只要有一个因数为0,积就为04. 有理数除法法则：a） 两个有理数相除（除数不为 0）同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0 除以

4、任何非0实数都得0。b）除以一个数等于乘以这个数的倒数。5. 有理数的乘方:在an中，a叫底数，n叫指数a）正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数；0的任何次幂都是0b） a0=1 （a 不等于 0）6. 有理数的运算顺序：a）同级运算，先左后右b）混合运算，先算括号内的，再乘方、开方，接着算乘除，最后是加减。五实数大小比较的方法1）数轴法：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数2）比差法：若 a-b0 贝V ab ；若 a-b0 贝V a1贝V ab； a/b1贝V a1贝V ab； a/bbC. 一正一负时，正数 负数4） 平方法：a、b均为正数时，若a2b2,则有

5、ab;均为负数时相反5）倒数法：两个实数，倒数大的反而小（不论正负）题型归纳经典例题类型一有关概念的识别1 下面几个数:0. .23,1.010010001, 322n, ，门，其中，无理数的个数有（）A 1B、2C、3D 4解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，1.010010001，3n,是无理数故选C举一反三：【变式1】下列说法中正确的是（）A、-的平方根是土 3 B、1的立方根是土 1 C、= 1D、是5的平方根的相反数【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念，-： 1=9, 9的平方根是土 3,二A正确.v 1的立方根是1,二=1, 是5的平方根， B C D

6、 都不正确.【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A,则点A表示的数是（）A、仁B、1.4C、 D 二；【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系正 方形的边长为1，对角线为，由圆的定义知|AO|=， A表示数为,故选 C.【变式3】刃歼10）：【答案】Vn = 3.1415 , 9V 3 nV 10因此 3n -9 0, 3n -10 V 0+ J（37r-10）2 斗 3tv-9| +1 3?t-10 |二 3ji-9 -10）二 L类型二计算类型题2设 J -a. 45“ 5.0c. 5.5(2 6.

7、0二，则下列结论正确的是（）解析：（估算）因为 举一反三：b. 5.0 ca5.5 d. 6.0 a 4.化简下列各式:【答案】1);- .2 ) -3. 3)1,(1) | -1.4 |I-二；1(5) |x2+6x+10|(2) | n -3.142|(4) |x-|x-3| (x【变式2求下列各式中的(2) (一1)二9=25(1) .-【答案】(1)二 二(2) x=4 或 x=-2 (3) x=-4(3):二 分析：要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、 负数还是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。类型三数形结合3.点A在数轴上表示的数为弘&，点B在数轴上表示的数

8、为 -命，则A, B两点的距离为 解析：在数轴上找到 A、B两点，H举一反三：的对应点分别为A, B,点B关于 C,则点C表示的数是().【变式1 如图，数轴上表示1, 点A的对称点为解:(1)v . - =1.414 V 1.4 _| .：n =3.14159 V 3.142 | n -3.142|=3.142-v 4.,二 | 儿 x 3,二 x-3 0)-心 0,二(x+3)2+1 0/ |x2+6x+10|= x2+6x+10举一反三： 【变式1】化简:【答案】- I- - 二/ + . -匚-匸=【变式2】已知仁一 +!_ ；【答案】初中阶段的三个非负数：二：Ha=2,b=-5,c=

9、-1; a+b-c=-2那么a+b-c的值为a 0,同 0类型五实数非负性的应用的b+ | 出-49|5.已知:h=0,求实数a, b类型六实数应用题分析：已知等式左边分母：!不能为0,只能有0,分子：.-0,则要求a+73a-b=0 且 a2-49=0 ,d - 49 = D +从而求出a, b的值。3a - & = 0 1)；a2-49 =0.(2)解：由题意得r+70由(2)得 a2=49 a= 7由得a-7 , a=-7不合题意舍去。只取a=7把a=7代入得b=3a=21 a=7, b=21 为所求。举一反三：由此得不等式组6.有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm,宽为8cm

10、的矩形， 要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少解：设新正方形边长为 xcm, 根据题意得x2=112+13 X 8 x2=225 x= 15边长为正， x=-15不合题意舍去，只取 x=15(cm)答：新的正方形边长应取 15cmo举一反三：【变式1】拼一拼，画一画： 请你用4个长为a,宽为b的矩形拼成一个 大正方形，并且正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形4个长方形拼图时不重叠)cm。【变式 1】已知(x-6)2+ 二+|y+2z|=0，求(x-y)3-z3 的值解： (x-6)2+_且(x-6)2 0, 0, |y+2z| 0,几个非负数的和等于零，则必有每个加数都

11、为0。= U(x = 6= 0y-2 I解这个方程组得(x-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65+|y+2z|=0(1) 计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么？(2) 当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多3cm时，大正方形 的面积就比小正方形的面积多 24cm2,求中间小正方形的边长.解析：(1)如图，中间小正方形的边长是:.：，所以面积为(1)7.判断下列说法是否正确 厂的算术平方根是-3 ;当 x=0 或 2 时，- -(2)仁-：的平方根是土 (4) 一是分数15.(3) 解析:(3)注意到，当x=0时,显然此式无意(2)解：设X=O6本题是大正方形的面

12、积一个长方形的面积f。所以，；一：=/+2必+胖答：中间的小正方形的面积 (5, 发现的规律是：(。+疔=/ + 2必+沪(或I :一 /2: L1)(2) 大正方形的边长：汁，：小正方形的边长：-：l ：J ;11 -，即，i 二又T 大正方形的面积比小正方形的面积多24 cm2所以有， (a+b)3_ (ab)2 = 24化简得：_!将 1)= 1.5cm答：中间小正方形的边长 2.5 cm 。类型七易错题(1)错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数=3(2) Y-二 表示225的算术平方根，即=15.实际上,求15的平方根，故的平方根是二._ = U -义，发生错误的原因是忽视了 “负数没有平方根”，故 x工0,所 以当x=2时，xY二=0.(4)错在对实数的概念理解不清.形如分数，但不是分数，它是无理数.类型八引申提高8.( 1)已知29的整数部分为a,小数部分为b,求a2-b2的值.(2)把下列无限循环小数化成分数：._0.107(1)分析：确定算术平方根的整数部分与小数部分，首先判断这个算术平 方根在哪两个整数之间，那么