数字图像变换

1、第十章数字图像变换 数字图像处理的方法分为两类：空间域处理法和频域法。 空间域：计算复杂、费时，甚至难以实现。 频域：运算速度高、可用滤波技术简化运算。 图像变换可以将图像从空间域转换到频率域，然后 在频率域对图像进行各种处理，再将所得到的结果进行 反变换，即从频率域变换到空间域，从而达到图像处理 的目的。 第十章图像变换 图像处理中应用正交变换，进行如图像增强、 复原、编码、描述和特征提取。 正交变换 ： 正弦型变换：正弦型变换：傅里叶变换、余弦变换和正弦变换。 方波型变换：方波型变换：哈达玛（Hadamarn）变换、沃尔什 （ Walsh）变换、斜变换、小波变换。 基于特征向量的变换基于特

2、征向量的变换：主要包括Hotelling变换、KL变 换和SVD变换。 第十章 图像变换 10.1 10.1 频域世界与频域变换频域世界与频域变换 10.2 10.2 傅立叶变换傅立叶变换 10.3 10.3 离散余弦变换离散余弦变换 10.4 10.4 离散沃尔什哈达玛变换离散沃尔什哈达玛变换 10.5 10.5 小波变换简介小波变换简介 10.1 10.1 频域世界与频域变换频域世界与频域变换 任意波形可分解为正弦波的加权和任意波形可分解为正弦波的加权和 y1 = Sin(x + /2) A=1, = /2, f=1/ 2 y2=0.5sin(2x+ ) A=0.5, = , f=1/ y

3、3=0.25sin(4x+ 3 /2) A=0.25, = 3 /2 , f=2/ y= Sin(x + /2) + 0.5sin(2x+ ) + 0.25sin(4x+ 3 /2) x 0,4 波形的频域表示波形的频域表示 y= Sin(x + /2) + 0.5sin(2x+ ) + 0.25sin(4x+ 3 /2) x 0,4 f=w/2 幅频特性幅频特性 A f 0.25 0.5 1 0.75 1/2 3/2 1/ 2/ 相频特性相频特性 f /2 2 3 /2 1/2 3/2 1/ 2/ 10.110.1频域世界与频域变换频域世界与频域变换 幅频特性幅频特性 A f 0.25 0.

4、5 1 0.75 1/2 3/2 1/ 2/ 相频特性相频特性 f /2 2 3 /2 1/2 3/2 1/ 2/ iii ff 4log 2 )( 2 i f iii ffA 21 2)( 2 0 )2sin()( i iii xfAxy 10.1 10.1 频域世界与频域变换频域世界与频域变换 7 10.2傅里叶变换: 1 1 2 T 直流 分量 基波分量 n =1 谐波分量 n1 1 n )sincos()( 11 1 01 tnbtnaatf nn n 一：周期函数的傅里叶变换：一：周期函数的傅里叶变换： 8 10 0 .cos).( 2 1 1 Tt t n dttntf T a d

5、ttntf T b Tt t n .sin).( 210 0 1 1 直流 系数 余弦分量 系数 正弦分量 系数 10.2傅里叶变换: 10 0 ).( 1 1 0 Tt t dttf T a 1：周期函数的频谱分析 9 10.2傅里叶变换: 2：周期函数的复指数级数 l由前知 l由欧拉公式 l其中 )sincos()( 11 1 01 tnbtnaatf nn n tjn n enFtf 1 )()( 1 )( 2 1 )( 1nn jbanF )( 2 1 )( 1nn jbanF 0 )0(aF 引入了负频率 10.2傅里叶变换: 二：非周期函数傅立叶变换二：非周期函数傅立叶变换分析分析

6、式：式： ()() j w t Fwfted t deFtf tj . )( 2 1 )( 10.2傅里叶变换: 假定以间隔x对一个连续函 数f(x)均匀采样，离散化为一 个序列 f(x0), f(x0+x), fx0+(N1)x（如图3.3所 示），则将序列表示 f(x)=f(x0+x) 式中x假定为离散值0，1， 2，N1。换句话说， 序列 f(0),f(1),f(2),f(N1) 表示取自该连续函数N个等 间隔的抽样值。 三：离散函数的傅里叶变换三：离散函数的傅里叶变换 .1离散傅立叶变换离散傅立叶变换 被抽样函数的离散傅里叶变换定义为 反变换为 在二维的情况下，离散

7、的傅里叶变换对表示为 Nuxj N x exfuF /2 1 0 )()( Nuxj N u euF N xf /2 1 0 )( 1 )( 1 0 1 0 )/(2 ),(),( M x N y NvyMuxj eyxfvuF 1 0 1 0 )/(2 ),( 1 ),( M u N v NvyMuxj eyvuF MN yxf 二维离散函数的傅立叶频谱、二维离散函数的傅立叶频谱、 相位谱和能量谱分别为相位谱和能量谱分别为 ),(),(),( ),( ),( arctan),( ),(),(| ),(| 22 22 vuIvuRvuE vuR vuI vu vuIvuRvuF 式中，式中，R

8、 R( (u u, , v v) )和和I I( (u u, , v v) )分别是分别是F F( (u u, , v v) )的实部和虚部。的实部和虚部。 .1离散傅立叶变换离散傅立叶变换 10.2.2 10.2.2 快速离散傅立叶变换快速离散傅立叶变换 离散傅立叶变换计算量非常大，运算时间长。研究离散傅离散傅立叶变换计算量非常大，运算时间长。研究离散傅 立叶变换的快速算法（立叶变换的快速算法（Fast Fourier TransformFast Fourier Transform， FFTFFT）是）是 非常有必要的。非常有必要的。 介绍一种称为逐次加倍法的快速傅立叶变

9、换算法（介绍一种称为逐次加倍法的快速傅立叶变换算法（FFTFFT），）， 它是它是19651965年年CooleyCooley和和TukeyTukey首先提出的。首先提出的。 二维离散傅立叶变换具有可分离性，即它可由两次一维二维离散傅立叶变换具有可分离性，即它可由两次一维 离散傅立叶变换计算得到，因此，仅研究一维离散傅立叶离散傅立叶变换计算得到，因此，仅研究一维离散傅立叶 变换的快速算法即可。改写公式：变换的快速算法即可。改写公式： 1 0 )()( N x ux N WxfuF 式中，式中， =e=e-j2 -j2N N ，称为旋转因子。 ，称为旋转因子。 = e e-j2 -j2N N =

10、 =cos(22N N )-j )-j sin(22N N ) ( ) (以以N N为周期为周期) ) 式中很多式中很多 系数相同，不必进行多次重复计算。 系数相同，不必进行多次重复计算。 10.2.2 10.2.2 快速离散傅立叶变换快速离散傅立叶变换 ux W N WNWNW N W N W FFT FFT的推导过程：的推导过程： 设设N N为为2 2的正整数次幂，的正整数次幂， 即即 , 2 , 12nN n 令令M M=N/2,=N/2,离散傅立叶变换可改写成如下形式：离散傅立叶变换可改写成如下形式： 1 0 )12( 2 )2( 2 1 0 12 0 2 ) 12()2()()( M

11、 x xu M xu M M x M x ux M WxfWxfWxfuF 偶离散点偶离散点奇离散点奇离散点 10.2.2 10.2.2 快速离散傅立叶变换快速离散傅立叶变换 ux M uxMjuxMjux M WeeW )()( /222/22 2 u M ux M M x M x ux M WWxfWxfuF 2 1 0 1 0 ) 12()2()( 定义定义 1, 1 ,0,)12()( 1, 1 ,0,)2()( 1 0 1 0 MxuWxfuF MxuWxfuF M x ux Mo M x ux Me 1 0 )12( 2 )2( 2 1 0 12 0 2 ) 12()2()()(

12、M x xu M xu M M x M x ux M WxfWxfWxfuF 10.2.2 10.2.2 快速离散傅立叶变换快速离散傅立叶变换 even 偶 odd奇 于是于是)()()( 2 uFWuFuF o u Me 将一个将一个N N点的离散傅立叶变换分解成两个点的离散傅立叶变换分解成两个N N2 2短序列的离短序列的离 散傅立叶变换，即分解为偶数和奇数序列的离散傅立叶变散傅立叶变换，即分解为偶数和奇数序列的离散傅立叶变 换换F Fe e( (u u) )和和F Fo o( (u u) ) 。 )7()7()7( )6()6()6( )5()5()5( )4()4()4( )3()3(

13、)3( )2()2()2( ) 1 () 1 () 1 ( )0()0()0( 7 8 6 8 5 8 4 8 3 8 2 8 1 8 0 8 oe oe oe oe oe oe oe oe FWFF FWFF FWFF FWFF FWFF FWFF FWFF FWFF 设设N=2N=23 3 10.2.2 10.2.2 快速离散傅立叶变换快速离散傅立叶变换 ) 7 () 7 () 7 ( ) 6 () 6 () 6 ( ) 5 () 5 () 5 ( ) 4() 4() 4( ) 3 () 3 () 3 ( ) 2() 2() 2( ) 1 () 1 () 1 ( ) 0 () 0 () 0

14、 ( 7 8 6 8 5 8 4 8 3 8 2 8 1 8 0 8 oe oe oe oe oe oe oe oe FWFF FWFF FWFF FWFF FWFF FWFF FWFF FWFF )()()( 2 MuFWMuFMuF o Mu Me M x xMu M M M u M M x xMu M WxfWWWxf 0 )( 22 0 )( )2()2( M x Mx M ux M u M M x Mx M ux M WWxfWWWxf 0 2 0 ) 12()2( M x ux M u M M x ux M WxfWWxf 0 2 0 ) 12()2( )()( 2 uFWuF o

15、 u Me )0()0()40( 2o u Me FWFF )2()2()42( 2o u Me FWFF ) 1 () 1 ()41 ( 2o u Me FWFF )3()3()43( 2o u Me FWFF 10.2.2 10.2.2 快速离散傅立叶变换快速离散傅立叶变换 蝶形运算单元蝶形运算单元 Fe(1)F(1) F(5)Fo(1) 1 8 W 1 8 W ) 1 () 1 ()5( ) 1 () 1 () 1 ( 1 8 1 8 oe oe FWFF FWFF )3()3()7( )2()2()6( ) 1 () 1 ()5( )0()0()4( )3()3()3( )2()2()

16、2( ) 1 () 1 () 1 ( )0()0()0( 3 8 2 8 1 8 0 8 3 8 2 8 1 8 0 8 oe oe oe oe oe oe oe oe FWFF FWFF FWFF FWFF FWFF FWFF FWFF FWFF 10.2.2 10.2.2 快速离散傅立叶变换快速离散傅立叶变换 Fe(0) Fe(1) Fe(2) Fe(3) Fo(0) Fo(1) Fo(2) Fo(3) 0 8 W 1 8 W 2 8 W 3 8 W 0 8 W 1 8 W 2 8 W 3 8 W F(0) F(1) F(2) F(3) F(4) F(5) F(6) F(7) ) 3 ()

17、 3 () 7( ) 2() 2() 6( ) 1 () 1 () 5 ( ) 0() 0() 4( ) 3 () 3 () 3 ( ) 2() 2() 2( ) 1 () 1 () 1 ( ) 0() 0() 0( 3 8 2 8 1 8 0 8 3 8 2 8 1 8 0 8 oe oe oe oe oe oe oe oe FWFF FWFF FWFF FWFF FWFF FWFF FWFF FWFF 10.2.2 10.2.2 快速离散傅立叶变换快速离散傅立叶变换 F Fe e( (u u) )和和F Fo o( (u u) )都是都是4 4点的点的DFTDFT，对它们再按照奇偶进行分组

18、，对它们再按照奇偶进行分组 ) 1 () 1 () 3( )0()0()2( ) 1 () 1 () 1 ( )0()0()0( 2 8 0 8 2 8 0 8 eoeee eoeee eoeee eoeee FWFF FWFF FWFF FWFF ) 1 () 1 ()3( )0()0()2( ) 1 () 1 () 1 ( )0()0()0( 2 8 0 8 2 8 0 8 oooeo oooeo oooeo oooeo FWFF FWFF FWFF FWFF Fee(0) Feo(1) 0 8 W 2 8 W Fee(1) Feo(0) Fe(0) Fe(1) Fe(2) Fe(3) 2

19、 8 W 0 8 W Foe(0) Foo(1) 0 8 W 2 8 W Foe(1) Foo(0) Fo(0) Fo(1) Fo(2) Fo(3) 2 8 W 0 8 W 10.2.2 10.2.2 快速离散傅立叶变换快速离散傅立叶变换 8点点DFT的蝶形流程图的蝶形流程图 Fee(0) Feo(1) 0 8 W 2 8 W Fee(1) Feo(0) Fe(0) Fe(1) Fe(2) Fe(3) 2 8 W 0 8 W Foe(0) Foo(1) 0 8 W 2 8 W Foe(1) Foo(0) Fo(0) Fo(1) Fo(2) Fo(3) 2 8 W 0 8 W f (0) f (

20、4) 0 8 W 0 8 W f (2) f (6) 0 8 W 0 8 W f (1) f (5) 0 8 W 0 8 W f (3) f (7) 0 8 W 0 8 W 0 8 W 1 8 W 2 8 W 3 8 W 0 8 W 1 8 W 2 8 W 3 8 W F(0) F(1) F(2) F(3) F(4) F(5) F(6) F(7) 例：例： 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 Fe(0) Fo(1) 0 4 W 1 4 W Fe(1) F o(0) F (0) F (1) F (2) F (3) 1 4 W 0 4 W 0 4 W 0 4 W 0 4

21、 W 0 4 W f(0) f(2) f(1) f(3) 10.2.2 10.2.2 快速离散傅立叶变换快速离散傅立叶变换 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 3 i -3 -i 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 0 1 2 0 0 3 -1 3 i -3 -i i -i 1 1 1 10.2.2 10.2.2 快速离散傅立叶变换快速离散傅立叶变换 0 0 3 4 0 0 7 -1 7 i -7 -i i -i 1 1 1 3 i -3 -i 7 i -7 -i 0 5 0 6 0 7 0 8 3 i -3 -i 0 3 0 4 0 5 0 6 0

22、 7 0 8 10.2.2 10.2.2 快速离散傅立叶变换快速离散傅立叶变换 0 0 5 6 0 0 11 -1 11 i -11 -i i -i 1 1 1 3 i -3 -i 7 i -7 -i 0 5 0 6 0 7 0 8 3 i -3 -i 7 i -7 -i 11 i -11 -i 0 7 0 8 10.2.2 10.2.2 快速离散傅立叶变换快速离散傅立叶变换 0 0 7 8 0 0 15 -1 15 i -15 -i i -i 1 1 1 3 i -3 -i 7 i -7 -i 11 i -11 -i 0 7 0 8 3 i -3 -i 7 i -7 -i 11 i -11

23、-i 15 i -15 -i 10.2.2 10.2.2 快速离散傅立叶变换快速离散傅立叶变换 3 11 7 15 14 -8 22 -8 36 -8+8i -8 -8-8i i -i 1 1 1 3 i -3 -i 7 i -7 -i 11 i -11 -i 15 i -15 -i 36 i -3 -i -8+8i i -7 -i -8 i -11 -i -8-8i i -15 -i 10.2.2 10.2.2 快速离散傅立叶变换快速离散傅立叶变换 i i i i 2i 0 2i 0 4i 0 0 0 i -i 1 1 1 36 i -3 -i -8+8i i -7 -i -8 i -11

24、-i -8-8i i -15 -i 36 4i -3 -i -8+8i 0 -7 -i -8 0 -11 -i -8-8i 0 -15 -i 10.2.2 10.2.2 快速离散傅立叶变换快速离散傅立叶变换 -3 -11 -7 -15 -14 8 -22 8 -36 8-8i 8 8+8i i -i 1 1 1 36 4i -3 -i -8+8i 0 -7 -i -8 0 -11 -i -8-8i 0 -15 -i 36 4i -36 -i -8+8i 0 8-8i -i -8 0 8 -i -8-8i 0 8+8i -i 10.2.2 10.2.2 快速离散傅立叶变换快速离散傅立叶变换 -i

25、 -i -i -i -2i 0 -2i 0 -4i 0 0 0 i -i 1 1 1 36 4i -36 -i -8+8i 0 8-8i -i -8 0 8 -i -8-8i 0 8+8i -i 36 4i -36 -4i -8+8i 0 8-8i 0 -8 0 8 0 -8-8i 0 8+8i 0 10.2.2 10.2.2 快速离散傅立叶变换快速离散傅立叶变换 10.3 10.3 离散余弦变换（离散余弦变换（DCTDCT） 离散余弦变换（离散余弦变换（Discrete CosineDiscrete Cosine Transform Transform， DCTDCT）的变换核为余弦）的变换

26、核为余弦 函数。函数。DCTDCT变换被认为是一种语音信号变换被认为是一种语音信号 、图像信号的变换的准最佳变换。、图像信号的变换的准最佳变换。 10.3.1 10.3.1 一维离散余弦变换一维离散余弦变换 一维一维DCTDCT定义如下：定义如下： 设设 f f( (x x)|)|x x=0,1,=0,1, ,N N-1-1为离散的信号列。为离散的信号列。 1 0 2 ) 12( cos)( 2 )()( N x N ux xf N uCuF 1 0 2 ) 12( cos)()( 2 )( N u N ux uFuC N xf u u, ,x x=0,1,2,=0,1,2, ,N N1 1

27、其他1 0 2 1 )( u uC 见课本P200 FCf fCF T 一维离散余弦变换 10.3.2 10.3.2 二维离散余弦变换二维离散余弦变换 二维二维DCTDCT定义如下：设定义如下：设f f( (x x, y, y) )为为M MN N的数字图像矩阵，则的数字图像矩阵，则 N vy M ux vCuCyxf MN vuF M x N y 2 ) 12( cos 2 ) 12( cos)()(),( 2 ),( 1 0 1 0 N vy M ux vuFvCuC MN yxf M u N v 2 ) 12( cos 2 ) 12( cos),()()( 2 ),( 1 0 1 0 x

28、 x, ,u u=0,1,2,=0,1,2, ,M M1 1 y y, ,v v=0,1,2,=0,1,2, ,N N1 1 C C( (u u) )和和C C( (v v) ) 的定义同前的定义同前 完成p203例题 10.410.4离散沃尔什离散沃尔什- -哈达玛变换（哈达玛变换（WHTWHT） 10.4.1 10.4.1 一维离散沃尔什一维离散沃尔什- -哈达玛变换哈达玛变换 1. 1. 沃尔什函数沃尔什函数 沃尔什函数是沃尔什函数是19231923年由美国数学家沃尔什提出的。年由美国数学家沃尔什提出的。 它是一个完备正交函数系，其值只能取它是一个完备正交函数系，其值只能取1 1和和1

29、1。 从排列次序上可将沃尔什函数分为三种定义方法。从排列次序上可将沃尔什函数分为三种定义方法。 在此只介绍哈达玛排列定义的沃尔什变换。在此只介绍哈达玛排列定义的沃尔什变换。 2n 阶哈达玛矩阵有如下形式：阶哈达玛矩阵有如下形式： 11 11 1 2 1 H H 1111 1111 1111 1111 22 22 4 HH HH H 10.4.1 10.4.1 一维离散沃尔什一维离散沃尔什- -哈达玛变换哈达玛变换 2. 2. 离散沃尔什离散沃尔什- -哈达玛变换哈达玛变换 一维离散沃尔什变换及逆变换定义为一维离散沃尔什变换及逆变换定义为 若将若将Walsh(Walsh(u u, , x x)

30、)用哈达玛矩阵表示，并将变换表达式写用哈达玛矩阵表示，并将变换表达式写 成矩阵形式，则上两式分别为：成矩阵形式，则上两式分别为： 1 0 ),()( 1 )( N x xuWalshxf N uW 1 0 ),()()( N u xuWalshuWxf 10.4.1 10.4.1 一维离散沃尔什一维离散沃尔什- -哈达玛变换哈达玛变换 ) 1( ) 1 ( )0( 1 ) 1( ) 1 ( )0( Nf f f H N NW W W N ) 1( ) 1 ( )0( ) 1( ) 1 ( )0( NW W W H Nf f f N HN 为为N阶阶 哈达玛哈达玛 矩阵矩阵 由哈达玛矩阵的由哈达

31、玛矩阵的 特点可知，沃尔什特点可知，沃尔什- - 哈达玛变换的本质上哈达玛变换的本质上 是将离散序列是将离散序列f f( (x x) )的的 各项值的符号按一定各项值的符号按一定 规律改变后，进行加规律改变后，进行加 减运算，它比采用复减运算，它比采用复 数运算的数运算的DFTDFT和采用和采用 余弦运算的余弦运算的DCTDCT要简要简 单得多。单得多。 课本P208例子 10.4.2 10.4.2 二维离散沃尔什变换二维离散沃尔什变换 二维二维WHTWHT的正变换核和逆变换分别为的正变换核和逆变换分别为 1 0 1 0 ),(),(),( 1 ),( N y M x yvWslshxuWal

32、shyxf MN vuW 1 0 1 0 ),(),(),(),( N v M u yvWslshxuWalshvuWyxf x x, ,u u=0,1,2,=0,1,2, ,M M1 1 y y, ,v v=0,1,2,=0,1,2, ,N N1 1 例有两个二维数字图像信号矩阵如下，求这两个信号的二维例有两个二维数字图像信号矩阵如下，求这两个信号的二维WHTWHT。 1331 1331 1331 1331 1 f 1111 1111 1111 1111 2 f 根据题意，根据题意，M M= =N N=4=4，其二维，其二维WHTWHT变换核为变换核为 1111 1111 1111 1111

33、 4 H 10.4.2 10.4.2 二维离散沃尔什变换二维离散沃尔什变换 0000 0000 0000 1002 1111 1111 1111 1111 1331 1331 1331 1331 1111 1111 1111 1111 4 1 2 1 W 0000 0000 0000 0001 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 4 1 2 2 W 从以上例子可看出，二维从以上例子可看出，二维WHTWHT具有能量集中的特性，而且具有能量集中的特性，而且 原始数据中数字越是均匀分布，经变换后的数据越集中于矩阵原始

34、数据中数字越是均匀分布，经变换后的数据越集中于矩阵 的边角上。因此，二维的边角上。因此，二维WHTWHT可用于压缩图像信息。可用于压缩图像信息。 10.510.5小波变换简介小波变换简介 与傅立叶变换不同，小波变换是通过缩放母小波与傅立叶变换不同，小波变换是通过缩放母小波 （Mother waveletMother wavelet）的宽度来获得信号的频率特征，通过）的宽度来获得信号的频率特征，通过 平移母小波来获得信号的时间信息。对母小波的缩放和平移母小波来获得信号的时间信息。对母小波的缩放和 平移操作是为了计算小波系数，这些小波系数反映了小平移操作是为了计算小波系数，这些小波系数反映了小 波

35、和局部信号之间的相关程度。波和局部信号之间的相关程度。 1. 1. 连续小波变换（连续小波变换（CWTCWT） 小波分析就是把一个信号分解为将母小波经过缩放和小波分析就是把一个信号分解为将母小波经过缩放和 平移之后的一系列小波。小波变换可以理解为用经过缩平移之后的一系列小波。小波变换可以理解为用经过缩 放和平移的一系列小波函数代替傅立叶变换的正弦波和放和平移的一系列小波函数代替傅立叶变换的正弦波和 余弦波进行傅立叶变换的结果。余弦波进行傅立叶变换的结果。 (a)(b) 从小波和正弦波的形状可以看出，变化剧烈的信号，从小波和正弦波的形状可以看出，变化剧烈的信号， 用不规则的小波进行分析比用平滑的

36、正弦波更好，用小波用不规则的小波进行分析比用平滑的正弦波更好，用小波 更能描述信号的局部特征。更能描述信号的局部特征。 连续小波变换（连续小波变换（Continuous Wavelet TransformContinuous Wavelet Transform， CWTCWT） 用下式表示：用下式表示： dttpositionscaletfpositionscaleC),()(),( CWT CWT的变换结果是许多小波系数的变换结果是许多小波系数C C，这些系数是缩放因，这些系数是缩放因 子（子（scalescale）和平移（）和平移（positonpositon）的函数。）的函数。 1. 1

37、. 连续小波变换（连续小波变换（CWTCWT） (1) (1) 缩放就是压缩或伸展基波，缩放系数越小，则小波缩放就是压缩或伸展基波，缩放系数越小，则小波 越窄。越窄。 小波的缩放操作小波的缩放操作 O O O f (t) f (t) f (t) t t t f (t)(t)；scale1 f (t)(2t)；scale0.5 f (t)(4t)；scale0.25 1. 1. 连续小波变换（连续小波变换（CWTCWT） (2) (2) 平移就是小波的延迟或超前。在数学上，函数平移就是小波的延迟或超前。在数学上，函数f f( (t t) ) 延迟延迟k k的表达式为的表达式为f f( (t-kt

38、-k) ) 。 小波的平移操作小波的平移操作 (a) (a) 小波函数小波函数( (t t) )； ( (b b) ) 位移后的小波函数位移后的小波函数( (t-kt-k) ) Ot (t) Ot (t k) (a)(b) 1. 1. 连续小波变换（连续小波变换（CWTCWT） CWT CWT计算主要有如下五个步骤：计算主要有如下五个步骤： 第一步：第一步： 取一个小波，取一个小波， 将其与原始信号的开始一节进将其与原始信号的开始一节进 行比较。行比较。 第二步：第二步： 计算小波与所取一节信号的相似程度计算小波与所取一节信号的相似程度C C，计算，计算 结果取决于所选小波的形状。结果取决于所

39、选小波的形状。 1. 1. 连续小波变换（连续小波变换（CWTCWT） 原始信号 小波信号 第三步：向右移动小波，重复第一步和第二步，直至覆盖整第三步：向右移动小波，重复第一步和第二步，直至覆盖整 个信号。个信号。 1. 1. 连续小波变换（连续小波变换（CWTCWT） 计算尺度后系数值计算尺度后系数值C C 原始信号 小波信号 C0.2247 第四步：第四步： 伸展小波，伸展小波， 重复第一步至第三步。重复第一步至第三步。 1. 1. 连续小波变换（连续小波变换（CWTCWT） 第五步：对于所有缩放，重复第一步至第四步。第五步：对于所有缩放，重复第一步至第四步。 缩放因子缩放因子scales

40、cale越小，小波越窄，度量的是信号的细节越小，小波越窄，度量的是信号的细节 变化，表示信号频率越高；缩放因子变化，表示信号频率越高；缩放因子scalescale越大，小波越宽，越大，小波越宽， 度量的是信号的粗糙程度，表示信号频率越低。度量的是信号的粗糙程度，表示信号频率越低。 1. 1. 连续小波变换（连续小波变换（CWTCWT） 2. 2. 离散小波变换（离散小波变换（DWTDWT） 在每个可能的缩放因子和平移参数下计算小波系数，其在每个可能的缩放因子和平移参数下计算小波系数，其 计算量相当大，而且有许多数据是无用的。如果缩放因子和计算量相当大，而且有许多数据是无用的。如果缩放因子和 平

41、移参数都选择为平移参数都选择为2 2j j（j j00且为整数）的倍数，就会使分析且为整数）的倍数，就会使分析 的数据量大大减少。使用这样的缩放因子和平移参数的小的数据量大大减少。使用这样的缩放因子和平移参数的小 波变换称为波变换称为双尺度小波变换双尺度小波变换（Dyadic Wavelet TransformDyadic Wavelet Transform），）， 它是离散小波变换（它是离散小波变换（Discrete Wavelet TransformDiscrete Wavelet Transform， DWTDWT） 的一种形式。通常离散小波变换就是指双尺度小波变换。的一种形式。通常离散

42、小波变换就是指双尺度小波变换。 执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器，它是一种执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器，它是一种 信号分解的方法，信号分解的方法， 又常称为又常称为双通道子带编码双通道子带编码。 S AD 滤波器组 低通高通 小波分解示意图小波分解示意图 2. 2. 离散小波变换（离散小波变换（DWTDWT） 信号的低频分量是最重要的，而高频分量只起一个修饰信号的低频分量是最重要的，而高频分量只起一个修饰 的作用。如同一个人的声音一样，把高频分量去掉后，听起的作用。如同一个人的声音一样，把高频分量去掉后，听起 来声音会发生改变，但还能听出说的是什么内容，但如果来声音会发生改变，

43、但还能听出说的是什么内容，但如果 把低频分量删除后，就会什么内容也听不出来了。把低频分量删除后，就会什么内容也听不出来了。 2. 2. 离散小波变换（离散小波变换（DWTDWT） 多级信号分解示意图多级信号分解示意图 （a） 信号分解；信号分解； (b) 小波分数；小波分数； （c）小波分解树）小波分解树 cA3cD3 cA2cD2 S Lo_DHi_D A1D1 Lo_DHi_D A2D2 Lo_DHi_D A3D3 Lo_D：低通滤波器；Hi_D： 高通滤波器 (a) S cA1cD1 (b) (c) S cA1cD1 cA2cD2 cA3cD3 一级分解一级分解 对低频分量连续分解对低频

44、分量连续分解, 可得到信号不同分辨率下的可得到信号不同分辨率下的 低频分量低频分量,也称为信号的多分也称为信号的多分 辨率分析辨率分析 分解的级数取决于分解的级数取决于 要分析的信号数据特征要分析的信号数据特征 及用户的具体需要。及用户的具体需要。 S D A 1000个采样点 1000个采样点 1000个采样点 S cD cA 1000个采样点 约500个DWT系数 约500个DWT系数 表示下采样表示下采样 对于一个信号，如采用上述方法，理论上产生的数据量对于一个信号，如采用上述方法，理论上产生的数据量 将是原始数据的两倍。于是，根据奈奎斯特（将是原始数据的两倍。于是，根据奈奎斯特（Nyq

45、uistNyquist）采样）采样 定理，定理， 可用可用下采样下采样的方法来减少数据量，即在每个通道内每的方法来减少数据量，即在每个通道内每 两个样本数据取一个，便可得到离散小波变换的系数两个样本数据取一个，便可得到离散小波变换的系数 （CoefficientCoefficient），）， 分别用分别用cAcA和和cDcD表示。表示。 2. 2. 离散小波变换（离散小波变换（DWTDWT） 3. 3. 小波重构小波重构 利用信号的小波分解的系数还原出原始信号，这一过程称利用信号的小波分解的系数还原出原始信号，这一过程称 为为小波重构小波重构（Wavelet ReconstructionWav

46、elet Reconstruction）或叫）或叫小波合成小波合成 （Wavelet SynthesisWavelet Synthesis）。这一合成过程的数学运算叫做）。这一合成过程的数学运算叫做逆离散逆离散 小波变换小波变换（Inverse Discrete Wavelet TransformInverse Discrete Wavelet Transform， IDWTIDWT）。）。 S H L H L 1 1）重构近似信号与细节信号）重构近似信号与细节信号 小波分解的近似系数和细节系数可以重构出原始信号。同小波分解的近似系数和细节系数可以重构出原始信号。同 样，可由近似系数和细节系数

47、分别重构出信号的近似值或细节样，可由近似系数和细节系数分别重构出信号的近似值或细节 值，这时只要近似系数或细节系数置为零即可。值，这时只要近似系数或细节系数置为零即可。 重构近似和细节信号示意 （a） 重构近似信号； (b) 重构细节信号 A1 H L 1000个样点 0 约500个0 cA1 约500个近似分量 (a) D1 H L 1000个样点 (b) 约500个0 约500个近似分量 0 cD1 2 2）多层重构）多层重构 在上图中，重构出信号的近似值在上图中，重构出信号的近似值A A1 1与细节值与细节值D D1 1之后，则之后，则 原信号可用原信号可用A A1 1D D1 1S S

48、重构出来。对应于信号的多层小波分解，重构出来。对应于信号的多层小波分解， 小波的多层重构如下图：小波的多层重构如下图： A3D3 A2D2 S A1D1 重构过程为：重构过程为：A A3 3+ +D D3 3A A2 2 A A2 2+ +D D2 2A A1 1 A A1 1+ +D D1 1S S 2 2）多层重构）多层重构 信号重构中，滤波器的选择非常重要，关系到能否重构出信号重构中，滤波器的选择非常重要，关系到能否重构出 满意的原始信号。低通分解滤波器（满意的原始信号。低通分解滤波器（L L）和高通分解滤波器）和高通分解滤波器 （H H）及重构滤波器组（）及重构滤波器组（LL和和HH）构成一个系统，这个系）构成一个系统，这个系 统称为正交镜像滤波器（统称为正交镜像滤波器（QuadratureQuadrature Mirror Filters Mirror Filters， QMFQMF） 系统。系统。 4. 4. 小波包分析小波包分析 小波分析是将信号分解为近似与细节两部分，近似部分又小波分析是将信号分解为近似与细节两部分，近似部分又 可以分解成第二层近似与细节，可以这样重复下去。对于一个可以分解成第二层近似与细节，可以这样重复下去。