数字滤波器的结构

1、LTI系统 DF（Digital Filter） 作原理。这就是数字滤波器的工 符合我们的要求，使滤波器输出选取 表示）后变成其系统性能用 经过滤波器看出：输入序列的频谱 )()(),( )()()( )( )()()()()( 1 jwjwjw jwjwjw jw jwjw m eHeXeH eHeXeH eX eHeXFmxmnhny h(n) x(n) y(n) 则LTI系统的输出为： 则： 是其傅立叶变换。是系统的输出， 是其傅立叶变换。是系统的输入，设 )()( )()( jw jw eYny eXnx 1 1 1 10 1 )( za zbb zH) 1()() 1()( 101

2、nxbnxbnyany ) 1()()( )() 1()( 10 1 nwbnwbny nxnwanw )(zH )(zH )(zH 数字滤波器的表示方法： n有两种表示方法：方框图方框图表示法、信号流图信号流图表示法。 n数字滤波器中，信号只有延时延时，乘以常数乘以常数和相加相加三种运算。 n所以数字滤波器结构中有三个基本运算单元：加法器加法器，单位 延时延时，乘常数的乘法器乘法器。 x1(n) x2(n) x1(n)+x2(n) x(n)ax(n) a x(n)x(n-1) 1/z 例：二阶数字滤波器： 其方框图及信号流图结构如下： x(n) y(n)b0 a1 a2 Z-1 Z-1 看出

3、：可通过信号流图或方框图看出系统的运算步骤和运算结构。 )()2() 1()( 021 nxbnyanyany y(n) Z-1 Z-1 x(n) b0 a1 a2 |X(ejw)| w wc 有用 无用 wc |H(ejw)|Y(ejw)| w wc 它主要研究内容是从含有噪声的数据记录（又称时间序 列）中估计出信号的某些特征或信号本身。一旦信号被估计 出，那么估计出的信号将比原信号会有高的信噪比。 现代滤波器把信号和噪声都视为随机信号，利用它们的 统计特征（如自相关函数、功率谱等）导出一套最佳估值算 法，然后用硬件或软件予以实现。 现代滤波器理论源于维纳在40年代及其以后的工作，这 一类滤

4、波器的代表为：维纳滤波器，此外，还有卡尔曼滤波 器、线性预测器、自适应滤波器。 作为基础理论，本课程主要讲经典滤波器。 )( jH )( jH )( jH )( jH c 2c 2c c c 1c c 2c 1c 1c )( jw eH )( jw eH )( jw eH . . . . )( jw eH 2 c 2 2 2 c 2c 1c 2c 1c 满足采样定理时，信号的频率特性只能限带于满足采样定理时，信号的频率特性只能限带于 |（=2 /Ts）的范围）的范围 knyaknxbny N k k M k k 10 )()( N k k k M k k k za zb zX zY zH 1

5、0 1 )( )( )( nnh0),(0 k a 10),(Nnnh0 k a knyaknxbny N k k M k k 10 )()( 1.滤波器的基本特性（如有限长冲激响应FIR与无限 长冲激响应IIR）决定了结构结构上有不同的特点。 2.不同结构所需的存储单元存储单元及乘法次数乘法次数不同，前者 影响复杂性，后者影响运算速度。 3.有限精度（有限字长）实现情况下，不同运算结 构的误差及稳定性不同。 4.好的滤波器结构应该易于控制滤波器性能，适合 于模块化实现，便于时分复用。 1; 1)( )( )( 0 1 1 1 10 0 0 a zaza zbzbb za zb zA zB z

6、H N N M M N n n n M n n n M k N k kk knyaknxbny 01 )()()( )(nx)(ny 1.单位冲激响应h(n)是无限长的n 2.系统函数H(z)在有限长Z平面（0|Z|)有极点存在。 3.结构上存在输出到输入的反馈，即结构上是递归型的。 4.因果稳定的IIR滤波器其全部极点一定在单位园内。 IIR 滤波器类型有：直接型、级联型、并联型。 直接型结构：直接I型、直接II型（典范型）。 z-1 z-1 z-1 z-1 z-1 z-1 M k N k kk knyaknxbny 01 )()()( 方程看出：y(n)由两部分组成： 第一部分 是一个对输

7、入x(n)的M节延时链结构。即每个延 时抽头后加权相加，即是一个横向网络。 第二部分 是一个N节延时链结构网络。不过它是对y(n)延 时，因而是个反馈网络。 M k k knxb 0 )( N k k knya 1 )( IIR的差分方程就代表了一种最 直接的计算公式，用流图表现出 来的实现结构即为直接I型结构 （即由差分方程直接实现） )(nw 此结构的特点为： (1)两个网络级联：第一个横向结构M节 延时网络实现零点，第二个有反馈的N 节延时网络实现极点。 (2)共需(N+M)级延时单元 (3)系数ai,bi不是直接决定单个零极点， 因而不能很好地进行滤波器性能控制。 (4)极点对系数的变

8、化过于灵敏，从而使 系统频率响应对系统变化过于灵敏，也 就是对有限精度（有限字长）运算过于 灵敏，容易出现不稳定或产生较大误差。 )(nw )2() 1()2() 1()()( 21210 nyanyanxbnxbnxbny x(n)y(n)b0 b1 b2 -a1 -a2 1/z 1/z 1/z 1/z H1(z)H2(z) 可以将直接可以将直接I I型的结构分为两部分，看成两个独立的网络（即两个子型的结构分为两部分，看成两个独立的网络（即两个子 系统）。系统）。 原理：一个线性时不变系统，若交换其级联子系统的次序，系统函原理：一个线性时不变系统，若交换其级联子系统的次序，系统函 数不变。把

9、此原理应用于直接数不变。把此原理应用于直接I I型结构。即：型结构。即： （1 1）交换两个级联网络的次序）交换两个级联网络的次序 （2 2）合并两个具有相同输入的延时支路。）合并两个具有相同输入的延时支路。 得到另一种结构即直接得到另一种结构即直接IIII型。型。 直接直接II型结构特点：型结构特点： N k k k M k k k N k N k k k k k za zb za zbzHzH zX zY zH 1 0 0 1 21 11 1 )()( )( )( )( )( 1 zH )( 2 zH)( 1 zH N k k knxbn 0 )()( )( 2 zH N k k knya

10、nny 1 )()()( 1 0 a )(nx)(ny z-1 z-1 N k k knxbn 0 )()( N k k knyanny 1 )()()( 例：已知例：已知IIR DFIIR DF系统函数，画出直接系统函数，画出直接I I型、直接型、直接IIII型的结构流图。型的结构流图。 解：为了得到直接I、II型结构，必须将H(z)代为Z-1的有理式； x(n)8 -4 11Z-1 Z-1 y(n) 5/4 -3/4 Z-1 Z-1 Z-1 1/8Z-1 -2 5/4 Z-1 Z-1 Z-1 -3/4 1/8 -4 11 -2 8y(n)x(n) 注意反馈部分系数的符号注意反馈部分系数的符

11、号 8 1 4 3 4 5 21148 ) 2 1 )( 4 1 ( 21148 ) 23 23 2 23 zzz zzz zzz zzz zH（ z-1 z-1 yn z-1 z-1 ) 2(1 . 0) 1(2 . 0)(8 . 0) 2(3 . 0) 1(2 . 0)(nxnxnxnynyny ) 2(3 . 0) 1(1 . 0)(8 . 0) 2(5 . 0)(nxnxnxnyny ) 2(3 . 0) 1(1 . 0)(8 . 0) 2(5 . 0)(nxnxnxnyny yn z-1 z-1 z-1 z-1 ) 2(3 . 0) 1(1 . 0)(8 . 0) 2(5 . 0)(

12、nxnxnxnyny 2 2, 1 1 , 2 2, 1 1 , 1 0 1 1 1 0 1 1 1 10 1 1 1 1 1 )( 00 1 zz zz b zaza zz b zaza zbzbb zH kk kk K k N N N b b b b N N N N N N k k M k k N k k k M k k k zd zc A za zb zX zY zH 1 1 1 1 1 0 )1 ( )1 ( 1 )( )( )( 2 2 1 1 1 11 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 11 11 1 1 )1 ( )1 ( N k kk M k kk N k k M k

13、k N k k M k k zdzd zhzh zp zg A zd zc A 可以展开为： 或者是共轭复根 或者是实根 只有两种情况：和零、极点都是实数，的系数 )( )( ,)( b a dcbazH kkkk MMMNNN dhpg iiii 2121 22: , ；其中 为复根。为实根；式中： 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 )( N k kk M k kk N k k M k k zz zz zp zg AzH M k k M k kk kk zHA zz zz AzH 11 2 2 1 1 2 2 1 1 )( 1 1 )(

14、2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 )( zz zz zH kk kk k 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 )( zz zz zH kk kk k 从级联结构中看出： 它的每一个基本节只关系到滤波器的某一对极点和一对零点。 调整1i,2i,只单独调整滤波器第I对零点，而不影响其它零点。 同样，调整a1i,a2i,只单独调整滤波器第I对极点，而不影响其它极点。 级联结构特点： (a)每个二阶节系数单独控制一对零点或一对极点，有利于控制频率响应。 (b)分子分母中二阶因子配合成基本二阶节的方式，以及各二阶节的排列次序不同。 例：设例：设IIRIIR数字滤波器系统函数数字滤波器系统函数如

15、下，试绘制其结构信号流图如下，试绘制其结构信号流图 )1)(1 ( )1)(1 ( 21 221 ) 211 211 31 321 zzz zzz zz zzz zH（ 1 Z-1 1 1 1 Z-1 Z-11 1 y(n) x(n) 3 8 1 2 4 3 1 4 5 321 1 21148 )( zzz zzz zH )5 .01)(25.01 ( )2644.52402.14)(3799.02( )( 211 211 zzz zzz zH 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 )( zz zz zH kk kk k ）时，当0( 1111 1 )( )( )( 0 11 2 2 1 1

16、 1 0 1 1 0 1 0 ANM zd A zd A zd A A zd A A za zb zX zY zH N N N i i i N k k k M k k k M k kk kk P k k k zdzd zeB zc A c 1 11 1 1 1 0 11 1 1 Q k kk kk P k k k zz z zc A c 1 2 2 1 1 1 10 1 1 0 11 P Q Q k kk kk zz z 1 2 2 1 1 1 10 1 P k k k zc A 1 1 1 0 c 并联型的基本二阶节的形式： 其中：要求分子比分母小一阶 x(n)r0 a2 Z-1 Z-1a1

17、r1 y(n) 2 2 1 1 1 10 1 )( zz z zH kk kk (1)可以单独调整极点位置，但不能象级联那样直接控 制零点(因为只为各二阶节网络的零点，并非整个系 统函数的零点)。 (2)其误差最小。因为并联型各基本节的误差互不影响， 所以比级联误差还少。若某一支路a1误差为1，但 总系统的误差仍可达到少1。(因为分成a1,a2.支 路). 注意：(1)为什么二阶节是最基本的？因为二阶节是实 系数，而一阶节一般为复系数。 (2)统一用二阶节表示，保持结构上的一致性，有利于 时分多路复用。 (3)级联结构与并联结构的基本二阶节是不同的。 其并联结构为： x(n) Z-1 Z-11

18、 4 y(n) 1 6 1 -6 1 Z-1 21 1 131 321 1 46 1 6 1 21 221 ) zz z zzz zzz zH（ 121 1 0 ) 1()2() 1 ()0()()( N N n n zNhzhzhhznhzH 1 21 ) 1() 1 ()0( N NN z Nhzhzh )(nh )(zH0z1N 0z 1N 1 0 )()()( N k knxkhny h(0) h(1) h(2) h(N-2) h(N-1) Z-1 Z-1 Z-1 Z-1 x(n)y(n) 倒下 h(0) h(1) h(N-1) h(N-1) Z-1Z-1Z-1Z-1 y(n) x(n

19、) 1 21 ) 1() 1 ()0( )( N NN z Nhzhzh zH 方框图方框图 信号流图信号流图 M k k knxbny 0 )()( )()2() 1()()( 210 Mnxbnxbnxbnxbny M z-1 z-1 z-1 )()2() 1()()( 210 Mnxbnxbnxbnxbny M )2(2 . 0) 1(4 . 0)(5 . 0)(nxnxnxny z -1 z -1 与与IIRIIR型滤波器一样，型滤波器一样，FIRFIR型滤波器在实现时系数量化也型滤波器在实现时系数量化也 会受到有限字长效应等的影响，从而产生误差。会受到有限字长效应等的影响，从而产生误

20、差。 为了减少这些误差，有效的方法也是把高阶滤波器分解成为了减少这些误差，有效的方法也是把高阶滤波器分解成 若干个二阶或一阶（阶数为奇数的情况下）滤波器子系统，若干个二阶或一阶（阶数为奇数的情况下）滤波器子系统， 然后再将它们级联起来。然后再将它们级联起来。 2/);1 ( 1 )( 2 2, 1 1 , 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 10 MKzzb z b b z b b b zbzbbzH kk K k M M M M z-1 z-1 z-1 z-1 下图为下图为FIR滤波器的级联型结构。滤波器的级联型结构。 z-1 z-1 z-1 z-1 z-1 )2(2 . 0) 1(1 . 0)()( 1111 nxnxnxny )2(1 . 0) 1(3 . 0)()( 2222