n维向量空间PPT学习教案

1、会计学1 n维向量空间维向量空间 2 上一节我们介绍了消元法，对于具体地解线性 方程组，用消元法是一个最有效和最基本的方法. 但是，有时候需要直接从原方程组来看出它是否有 解，这样，消元法就不能用了. 同时，用消元法化 方程组成阶梯形，剩下来的方程的个数是否唯一决 定的呢，这个问题也是没有解决的. 这些问题就要 求我们对线性方程组还要作进一步的研究. 一个线性方程组的解的情况是被方程组中方程 之间的关系所确定的. 比如说，在方程组 首页 上页 下页 返回 结束 第1页/共14页 3 123 123 123 231 , 4254 , 241 . xxx xxx xxx 中，第一个方程的 3 倍减

2、去第二个方程就等于第三 个方程，这就是说，第三个方程可以去掉而不影响 方程组的解. 在那里用初等变换得到的阶梯形方程 组中只含有两个方程正是反映了这个情况. 可以认 为，初等变换是揭示方程之间的关系的一种方法. 因此，为了直接从原来的线性方程组来讨论解的情 况，我们有必要来研究方程之间的关系. 首页 上页 下页 返回 结束 第2页/共14页 4 一个 n 元方程 1122nn a xa xa xb 可以用 n + 1 元有序数组 (a1, a2, , an, b) 来代表，所谓方程之间的关系实际上就是代表它们 的 n + 1 元有序数组之间的关系.为此, 我们先来讨 论多元有序数组. 首页 上

3、页 下页 返回 结束 第3页/共14页 5 定义2 所谓数域 P 上一个 n 维向量就是由数域P 中 n 个数组成的有序数组 ( a1 , a2 , , an ) ai 称为这个向量的分量. 例如, 当n = 2, 3 且 P 为实数域时,这里所指的向量就是几何上的向量. 常用小写希腊字母 ， 等来代表向量. 首页 上页 下页 返回 结束 第4页/共14页 6 因而采取这样一个几何的名词有好处. 注:当 n 3 时, n 维向量就没有直观的几何意义了. 我们仍称它为向量, 一方面是由于它包括通常的向 量作为特殊情形, 另一方面也由于它与通常的向量 一样可以定义运算,并且有许多运算性质是共同的,

4、 首页 上页 下页 返回 结束 第5页/共14页 7 1. 向量相等 定义 3 如果 n 维向量 = ( a1 , a2 , , an), = (b1 , b2 , , bn ) 的对应分量都相等，即 ai = bi ( i = 1, 2, , n ) , 则称这两个向量是相等的，记作 = . 首页 上页 下页 返回 结束 第6页/共14页 8 2. 向量的加法 定义 4 向量 = ( a1 + b1 , a2 + b2 , , an + bn ) 称为向量 = ( a1 , a2 , , an), = (b1 , b2 , , bn ) 的和, 记为 = + . 交换律 + = + . 结合

5、律 + ( + ) = ( + ) + . 向量加法有有以下运算规律: 首页 上页 下页 返回 结束 第7页/共14页 9 定义 5 分量全为零的向量 ( 0, 0, , 0 )称为 零向量, 记为 0；向量 ( - a1 , - a2 , , -an )称为向量 = (a1, a2, , an)的负向量，记为 - . 显然，对于所有的 ，都有 + 0 = ， + ( - ) = 定义 6 - = + ( - ) . 首页 上页 下页 返回 结束 第8页/共14页 10 3. 数量乘积 定义 7 设 k 为数域 P 中的数, 称向量 ( ka1 , ka2 , , kan ) 为向量 = (a

6、1, a2, , an )与数 k 的数量乘积, 记为k . 关于数量乘积,有以下性质: k ( + ) = k + k , (k + l ) = k + l , k ( l ) = ( kl ) , 1 = . 0 = , (-1) = - , k = . 如果 k 0, 0, 那么 k 0 . 首页 上页 下页 返回 结束 第9页/共14页 11 定义 8 以数域 P 中的数作为分量的 n 维向量 的全体, 同时考虑到定义在它们上面的加法和数量 乘法, 称为数域 P 上的 n 维向量空间. 在 n = 3 时，3 维实向量空间可以认为就是几何空间中全体向量所成的空间. 12 (,) . n

7、 a aa 向量通常写成一行： 称为行向量.有时候也可以写成一列： 首页 上页 下页 返回 结束 第10页/共14页 12 1 2 . n a a a 称为列向量. 它们只是写法上不同, 没有实质上的区别. 首页 上页 下页 返回 结束 第11页/共14页 13 在定义了 n 维向量以后, 线性方程组中的方程 就可用向量来表示, 因而线性方程组就可用向量组 来表示. 设有线性方程组 11112211 21122222 1122 , , (1) , nn nn sssnns a xa xa xb a xa xaxb a xa xa xb 首页 上页 下页 返回 结束 第12页/共14页 14 若令 1111211 2212222 12 (,), (,), (,), n n ssssns aaab aaab aaab 则可用向量组 A：1,