111-112命题与四种命题

1、例例1 1 判断下面的语句是否为命题判断下面的语句是否为命题? ?若是命题，若是命题， 指出它的真假。指出它的真假。 (1) (1) 空集是任何集合的子集空集是任何集合的子集. . (2)(2)若整数若整数a a是素数是素数, ,则则a a是奇数是奇数. . (3)(3)指数函数是增函数吗指数函数是增函数吗? ? (4)(4)若平面上两条直线不相交若平面上两条直线不相交, , 则这两条直线平行则这两条直线平行. . (5)(5) 2 (2)2 (6)x15. （是，真）（是，真） （是，真）（是，真） （是，假）（是，假） （是，假）（是，假） （不是命题）（不是命题） （不是命题）（不是命题

2、） 例例1 1中的命题中的命题(2)(4),(2)(4),具有具有 “若若P, P, 则则q q” 的形式的形式 也可写成也可写成 “如果如果P,P,那么那么q q” 的形式的形式 也可写成也可写成 “只要只要P,P,就有就有q q” 的形式的形式 通常通常,我们把这种形式的命题中的我们把这种形式的命题中的P叫做命叫做命 题的题的条件条件,q叫做叫做结论结论. 若这个命题是若这个命题是真真命题，这个命题就可记作：命题，这个命题就可记作： 若这个命题是若这个命题是假假命题，这个命题就可记作：命题，这个命题就可记作： pq “若若p p则则q q”形式的命题的书写形式的命题的书写 l了解命题表示的

3、判断了解命题表示的判断, ,明确与判断有关的条件与明确与判断有关的条件与 结论。结论。 l对于一些条件与结论不明显的命题对于一些条件与结论不明显的命题, ,一般采取先一般采取先 添补一些命题中省略的词句添补一些命题中省略的词句, , 确定条件与结论。确定条件与结论。 l如命题如命题: :“垂直于同一条直线的两个平面平行垂直于同一条直线的两个平面平行”。 l写成写成“若若p p则则q”q”的形式为：的形式为： 若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平 面平行。面平行。 例例2 指出下列命题中的条件指出下列命题中的条件p和结论和结论q： 1)若整数若整数a能被能

4、被2整除，则整除，则a是偶数；是偶数； 2)菱形的对角线互相垂直且平分。菱形的对角线互相垂直且平分。 解：1) 条件p：整数a能被2整除， 结论q：整数a 是偶数。 2) 写成若p，则q 的形式：若四边形是菱形， 则它的对角线互相垂直且平分。 条件p：四边形是菱形， 结论q：四边形的对角线互相垂直且平分。 例例3 3 把下列命题改写成把下列命题改写成“若若p p则则q q”的形的形 式式, ,并判定真假。并判定真假。 (1) (1) 负数的平方是正数负数的平方是正数. . (2) (2) 偶函数的图像关于偶函数的图像关于y y轴对称轴对称. . (3)(3)垂直于同一条直线的两条直线平行垂直于

5、同一条直线的两条直线平行 (4) (4) 面积相等的两个三角形全等面积相等的两个三角形全等. . (5) (5) 对顶角相等对顶角相等. . 真命题真命题 真命题真命题 假命题假命题 假命题假命题 真命题真命题 1、把下列命题改写成“若p,则q”的形式， 并判断它们的真假. （1）等腰三角形两腰的中线相等；）等腰三角形两腰的中线相等； （2）偶函数的图象关于）偶函数的图象关于y轴对称；轴对称； （3）垂直于同一个平面的两个平面平行。）垂直于同一个平面的两个平面平行。 (1)若三角形是等腰三角形，则三角形两边上的中线相等。若三角形是等腰三角形，则三角形两边上的中线相等。 这是真命题。这是真命题。

6、 (2)若函数是偶函数，则函数的图象关于若函数是偶函数，则函数的图象关于y轴对称，这是真轴对称，这是真 命题。命题。 (3)若两个平面垂直于同一平面，则这两个平面互相平行。若两个平面垂直于同一平面，则这两个平面互相平行。 这是假命题。这是假命题。 命题及其关系命题及其关系 1.1.2 四种命题 下列四个命题中，命题下列四个命题中，命题(1)与命题与命题(2)(3)(4) 的条件和结论之间分别有什么关系？的条件和结论之间分别有什么关系？ 1.若若f(x)是正弦函数，则是正弦函数，则f(x)是周期函数；是周期函数； 2.若若f(x)是周期函数，则是周期函数，则f(x)是正弦函数；是正弦函数； 3.

7、若若f(x)不是正弦函数，则不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；不是周期函数； 4.若若f(x)不是周期函数，则不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。不是正弦函数。 观察命题观察命题(1)与命题与命题(2)的条件和结论之间的条件和结论之间 分别有什么关系？分别有什么关系？ 1.若若f(x)是正弦函数，则是正弦函数，则f(x)是周期函数；是周期函数； 2.若若f(x)是周期函数，则是周期函数，则f(x)是正弦函数；是正弦函数； 互逆命题互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 结论和条件，这两个命题叫做互逆命题。结论和条件，这两个命题叫做互逆命题

8、。 原原 命命 题题：其中一个命题叫做原命题。：其中一个命题叫做原命题。 逆逆 命命 题题：另一个命题叫做原命题的逆命题。：另一个命题叫做原命题的逆命题。 pq qp 即即 原命题原命题:若若p,则则q逆命题逆命题:若若q,则则p 例如，命题例如，命题“同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行” 的逆命题是的逆命题是“两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等”。 观察命题观察命题(1)与命题与命题(3)的条件和结论之间的条件和结论之间 分别有什么关系？分别有什么关系？ 1.若若f(x)是正弦函数，则是正弦函数，则f(x)是周期函数；是周期函数； 3. 若若f(x)不是正弦函数，则不是正

9、弦函数，则f(x)不是周期函数不是周期函数. p q p 原命题原命题:若若p,则则q q 为书写简便为书写简便,常把条件常把条件p的否定和结论的否定和结论q的否定分别记作的否定分别记作 “p” “q” 否命题否命题:若若p,则则q 互否命题互否命题 原命题原命题 (原命题的原命题的)否命题否命题 例如，命题例如，命题“同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行” 的否命题是的否命题是“同位角不相等，两直线不平行同位角不相等，两直线不平行”。 观察命题观察命题(1)与命题与命题(4)的条件和结论之间的条件和结论之间 分别有什么关系？分别有什么关系？ 1.若若f(x)是正弦函数，则是正弦函数，

10、则f(x)是周期函数；是周期函数； 4. 若若f(x)不是周期函数，则不是周期函数，则f(x)不是正弦函数不是正弦函数. p q q 原命题原命题: 若若p, 则则q p 逆否命题逆否命题: 若若q, 则则p 互为逆否命题互为逆否命题 原命题原命题 (原命题的原命题的)逆否命题逆否命题 例如，命题例如，命题“同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行” 的逆否命题是的逆否命题是“两直线不平行，同位角不相等两直线不平行，同位角不相等”。 、互否命题：互否命题：如果第一个命题的条件和结论是第二个命题如果第一个命题的条件和结论是第二个命题 的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做的条件和结论的否定，

11、那么这两个命题叫做互否命题互否命题。如果。如果 把其中一个命题叫做把其中一个命题叫做原命题原命题，那么另一个叫做，那么另一个叫做原命题的否命原命题的否命 题题。 、互为逆否命题：互为逆否命题：如果第一个命题的条件和结论分别是第如果第一个命题的条件和结论分别是第 二个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做二个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做 互为逆否命题互为逆否命题。 、互逆命题：互逆命题：如果第一个命题的条件（或题设）是第二个如果第一个命题的条件（或题设）是第二个 命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那

12、 么这两个命题叫么这两个命题叫互逆命题互逆命题。如果把其中一个命题叫做。如果把其中一个命题叫做原命题原命题， 那么另一个叫做原命题的那么另一个叫做原命题的逆命题逆命题。 三个概念三个概念 原命题原命题, ,逆命题逆命题, ,否命题否命题, ,逆否命题逆否命题 四种命题形式四种命题形式: : l 原命题原命题: : l 逆命题逆命题: : l 否命题否命题: : l逆否命题逆否命题: : 若若 p, p, 则则 q q 若若 q q, , 则则 p p 若若 p p, , 则则 q q 若若 q, q, 则则 p p 判断正误判断正误, ,并说明理由并说明理由: : (1)(1)若原命题是若原命

13、题是“对顶角相等对顶角相等”, , 它的否命题是它的否命题是“对顶角不相等对顶角不相等”。 (2)(2)若原命题是若原命题是“对顶角相等对顶角相等”, , 它的否命题是它的否命题是“不成对顶关系的不成对顶关系的 两个角不相等两个角不相等”。 2 1 0,0mxxm 例、写出下列原命题的其他三种命题 （4）若则方程无实数根。 2 0, 0 xxm m 解：（4）逆命题：若方程无实数根 则。 2 0,0mxxm否命题：若则方程有实数根。 2 0,0 xxmm逆否命题：若方程有实数根 则。 例例2 设原命题是设原命题是“若若a b ，则，则a|c| b|c |”，写出它的逆命，写出它的逆命 题、否命

14、题、逆否命题，并分别判断它们的真假：题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假： 解：解： 逆命题：若逆命题：若a|c |b|c |，则，则a b 逆命题为真逆命题为真 否命题：若否命题：若a b ，则，则a|c | b|c| 否命题为真否命题为真 逆否命题：若逆否命题：若a|c | b|c |，则，则a b 逆否命题为假逆否命题为假 四种命题的真假四种命题的真假,有且只有下面四种情况有且只有下面四种情况: 原命题原命题逆命题逆命题否命题否命题逆否命题逆否命题 真真真真真真真真 真真假假假假真真 假假真真真真假假 假假假假假假假假 想一想？想一想？ （2） 若其逆命题为真，则其否命题一定为真。

15、但若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但 其原命题、逆否命题不一定为真。其原命题、逆否命题不一定为真。 由以上三例及总结我们能发现什么？由以上三例及总结我们能发现什么？ 即即 原命题与逆否命题同真假。原命题与逆否命题同真假。 原命题的逆命题与否命题同真假。原命题的逆命题与否命题同真假。 （1） 原命题为真，则其逆否命题一定为真。但原命题为真，则其逆否命题一定为真。但 其逆命题、否其逆命题、否命题不一定为真。命题不一定为真。 (两个命题为互逆命题或互否命题两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系它们的真假性没有关系). 几条结论几条结论: 四种命题的关系四种命题的关系 原命题原命题 若

16、若p则则q 逆命题逆命题 若若q则则p 否命题否命题 若若 p则则 q 逆否命题逆否命题 若若 q则则p 互为逆否互为逆否 同同真真同同假假 互为逆否互为逆否 同同真真同同假假 互逆命题互逆命题 真假真假无关无关 互逆命题互逆命题 真假真假无关无关 互否命题真假互否命题真假无关无关 互否命题真假互否命题真假无关无关 1.判断下列说法是否正确。判断下列说法是否正确。 1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真； （对）（对） 2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。（对）（对） 2.四种命题真

17、假的个数可能为（四种命题真假的个数可能为（ ）个。）个。 答：答：0个、个、2个、个、4个。个。 如：原命题：若如：原命题：若AB=A, 则则AB=。 逆命题：若逆命题：若AB=，则，则AB=A。 否命题：若否命题：若ABA，则，则AB。 逆否命题：若逆否命题：若AB，则，则ABA。 （假）（假） （假）（假） （假）（假） （假）（假） 3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。（错）（错） 4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。（错）（错） 练一练练一练 练习：分别写出下列命题的逆命题、否命练习

18、：分别写出下列命题的逆命题、否命 题、逆否命题，并判断它们的真假。题、逆否命题，并判断它们的真假。 （1）若）若q2,那么那么q2-p, 根据幂函数根据幂函数 的单调性，得的单调性，得 即即 所以所以 3 yx 33 (2) ,qp 323 8 126,qppp 332 8 126pqpp 2 1 6 (1), 3 p 33 2.pq 33 2.pq因此因此 若a2能被2整除，a是整数， 求证：a也能被2整除. 证：假设证：假设a不能被不能被2整除，则整除，则a必为奇数，必为奇数， 故可令故可令a=2m+1(m为整数为整数), 由此得由此得 a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1, 此结果表明此结果表明a2是奇数，是奇数， 这与题中的已知条件（这与题中的已知条件（a2能被能被2整除）相矛整除）相矛 盾盾, a能被能被2整除整除. 练练 圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。 已知：如图，在已知：如图，在 O中，弦中，弦AB、CD交于交于P，且，且AB、 CD不是直径不是直径.求证：弦求证：弦AB、CD不被不被P平分平分. 证明：证明： 假设弦假设弦AB 、CD被被P平分，平分， P点一定不是圆心点一定不是圆心O，连接，连接OP， 根据垂径定理的推论，根据垂径定理的推论，有 有 O