材料力学——5梁的弯曲应力

1、1 5 5 纯弯曲纯弯曲 1、弯曲构件横截面上的（内力）应力、弯曲构件横截面上的（内力）应力 内力 剪力Q 剪应力t t 弯矩M 正应力s s 平面弯曲时横截面s 纯弯曲梁(横截面上只有M而无Q的情况) 平面弯曲时横截面t 横力弯曲(横截面上既有Q又有M的情况) 2、研究方法、研究方法 纵向对称面纵向对称面 P1 P2 例如： 某段梁的内力只有弯矩 没有剪力时，该段梁的变 形称为纯弯曲。如AB段。 PP aa AB 纯弯曲纯弯曲(Pure Bending): 5 L a a FF FF F 图 S F (+) (-) -F Fa (+) M-图图 纯弯曲纯弯曲梁弯曲变形时，梁弯曲变形时， 横截

2、面上只有弯矩而无剪横截面上只有弯矩而无剪 力（力（ ）。）。 0, 0 S FM 0, 0 S FM 横力弯曲横力弯曲梁弯曲变形梁弯曲变形 时，横截面上既有弯矩又时，横截面上既有弯矩又 有剪力（有剪力（ ）。）。 纯弯曲纯弯曲 横力横力 弯曲弯曲 横力横力 弯曲弯曲 例例:火车轮轴火车轮轴 6 M 1 1、研究对象：、研究对象：等直细长对称截面梁等直细长对称截面梁 2 2、前提、前提: :(a)(a)小变形小变形在弹性变形范围内，在弹性变形范围内， (b)(b)满足平面弯曲条件，满足平面弯曲条件， （c c）纯弯曲。纯弯曲。 3 3、实验观察、实验观察: : MM 凹边缩短凹边缩短 凸边伸长凸

3、边伸长 长度保持长度保持 不变的纵不变的纵 向纤维向纤维 横截面上横截面上 只有正应只有正应 力无剪应力无剪应 力力 纵向纤维间无挤压作用纵向纤维间无挤压作用 7 中性层中性层杆件弯曲变形时，其纵向线段既不伸长又不杆件弯曲变形时，其纵向线段既不伸长又不 缩短的曲面。缩短的曲面。 中性轴中性轴中性层与横截面的交线。中性层与横截面的交线。 4 4、平面截面假设、平面截面假设横截面变形后保持为平面，只是横截面变形后保持为平面，只是 绕中性轴旋转了一角度。绕中性轴旋转了一角度。 中性层中性层 纵向对称面纵向对称面 中性轴中性轴 8 （1 1）变形分布规律）变形分布规律 m m n n dx 1 o 2

4、 o a b y 变形后变形后 y任意纵向纤维至任意纵向纤维至中性层的距离中性层的距离 中性层中性层 的曲率半径，的曲率半径， 21o o 纵向纤维纵向纤维ab:变形前变形前 dxooab 21 d 变形后变形后 b a dy)( o b a d y 5-2 梁的弯曲正应力梁的弯曲正应力 o o曲率中心，曲率中心， 9 所以纵向纤维所以纵向纤维ab的应变为的应变为: ab ab dx ddy )( d yd y 横截面上距中性轴为横截面上距中性轴为y y处的轴向变形规律。处的轴向变形规律。 曲率曲率),( 1 );(则则曲率曲率),( 1 );(则则., 1 yC 当当 ；时0,0y ., m

5、axmax 时yy 与实验结果相符。与实验结果相符。 (a) 10 （2 2）应力分布规律）应力分布规律 在线弹性范围内，应用胡克定律在线弹性范围内，应用胡克定律 (b)sE y E 对一定材料，对一定材料， E=C； 对一定截面对一定截面，. 1 C ys 横截面上某点处的应力与此点距中性轴的距离横截面上某点处的应力与此点距中性轴的距离y y成比例。成比例。 当当 ；时0,0sy ., maxmax ss时yy 与实验结果相符。与实验结果相符。 应力为零的点的连线。应力为零的点的连线。 M 11 （3 3）由静力平衡方程确定中性轴的位置及应力计算公式）由静力平衡方程确定中性轴的位置及应力计算

6、公式 z(中性轴中性轴) y(对称轴对称轴) x M M dA dA s s 由由 得得0 x F dAs A =0 将将(b)(b)式代入，得式代入，得 0 A dA y E 0 A ydA E 0 z S E 0 z S 因此因此z z轴通过截面形心轴通过截面形心，即，即中性轴通过形心，并垂直于载荷作用面中性轴通过形心，并垂直于载荷作用面。 (c) 12 考虑平衡条件考虑平衡条件 MM z ydAM A z )(s A dA y E 2 MdAy E A 2 MI E z z I z I 为截面对中性轴的惯性矩。为截面对中性轴的惯性矩。 (e) z y x M dA dA s s 13 可

7、得可得挠曲线的曲率方程挠曲线的曲率方程： z EI M 1 为常数，挠曲线为常数，挠曲线 是一条圆弧线是一条圆弧线 z EI 抗弯刚度抗弯刚度。 正应力的计算公式为正应力的计算公式为 z I My s 横截面上最大正应力为横截面上最大正应力为 z I My max max s max / yI M z z W M max y I W z z 截面的截面的抗弯截面模量，抗弯截面模量，反映了截面反映了截面 的几何形状、尺寸对强度的影响。的几何形状、尺寸对强度的影响。 14 简单截面的惯性矩简单截面的惯性矩 123 3 2 2 3 22 2 2 bhy bbdyydAyI h h A z h h 矩

8、形截面矩形截面 园形截面园形截面 15 矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面模量：矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面模量： z z 竖放：竖放： , 12 1 3 bhI z , 12 1 3 hbI z 2 6 1 bhWz b h h b 2 6 1 hbWz 平放：平放： 若若hb, 则则 。 zz WW 16 z d , 64 4 dI z , 32 3 dWz dz D )( 64 44 dDI z )1 ( 64 44 D )( D d )1 ( 32 43 DWz 17 注意注意： （1 1）要特别注意）要特别注意正应力在横截面上沿高度呈线性分布正应力在横截面上沿高度呈

9、线性分布 的规律的规律，在中性轴上为零，而，在中性轴上为零，而在梁的上下边缘处正应力在梁的上下边缘处正应力 最大最大。 （3 3）必须熟记矩形截面、圆形截面对中性轴的惯性矩）必须熟记矩形截面、圆形截面对中性轴的惯性矩 的计算式。的计算式。 （2 2）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压，）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压，正应力的正正应力的正 负号（拉或压）可根据弯矩的正负及梁的变形状态来负号（拉或压）可根据弯矩的正负及梁的变形状态来 确定确定。 18 mN ql M max 3000 2 16000 2 22 图图5-8所示，一受均布载荷的悬臂梁，其长所示，一受均布载荷的悬臂梁，其长l=1m，均布载

10、，均布载 荷集度荷集度q=6kN/m；梁由；梁由10号槽钢制成，由型钢表查得横截面的号槽钢制成，由型钢表查得横截面的 惯性矩惯性矩Iz=25.6cm4。试求此梁的最大拉应力和最大压应力。试求此梁的最大拉应力和最大压应力。 （1）作弯矩图，）作弯矩图， 求最大弯矩求最大弯矩 19 因危险截面上的弯因危险截面上的弯 矩为负，故截面上缘受矩为负，故截面上缘受 最大拉应力，其值为最大拉应力，其值为 在截面的下端受最大压应力，其值为在截面的下端受最大压应力，其值为 MPa385Pa10385 0328. 0 106 .25 3000 6 8 2 max max y I M z C s s （2）求最大应

11、力）求最大应力 MPa178Pa10178 0152. 0 106 .25 3000 6 8 1 max max y I M z T s s 20 BA l = 3m q=60KN/my x C 1m M x kNql5 .678/ 2 ( ) 30 z y 180 120 K 1.C 截面上K点正应力 2.C 截面上最大正应力 3.全梁上最大正应力 4. C 截面的曲率半径 (已知E=200GPa) ( ) ( ) FS x 90KN 90KN kNmM605 . 0160190 C 1. 求支反力 kNFAy90 kNFBy90 45 3 Z 10832. 5 12 m bh I MPa7

12、 .61 10832. 5 10)30 2 180 (1060 5 33 Z KC K I yM s s （压应力） 21 BA l = 3m q=60KN/my x C 1m M x kNmql5 .678/ 2 ( ) 30 z y 180 120 K ( ) ( ) FS x 90KN 90KN 2. C 截面最大正应力 C 截面弯矩 kNmM60 C C 截面惯性矩 45 3 Z 10832. 5 12 m bh I MPa55.92 10832. 5 10 2 180 1060 5 33 Z max max I yMC C s s 22 BA l = 3m q=60KN/my x C

13、 1m M x kNmql5 .678/ 2 ( ) 30 z y 180 120 K ( ) ( ) FS x 90KN 90KN 3. 全梁最大正应力 最大弯矩 kNmM5 .67 max 截面惯性矩 45 3 10832. 5 12 m bh Iz MPa17.104 10832. 5 10 2 180 105 .67 5 33 Z maxmax max I yM s s 23 BA l = 3m q=60KN/my x C 1m M x kNmql5 .678/ 2 ( ) 30 z y 180 120 K ( ) ( ) FS x 90KN 90KN 4. C 截面曲率半径 C 截面

14、弯矩 kNmM60 C C 截面惯性矩 45 3 Z 10832. 5 12 m bh I m4 .194 1060 10832. 510200 3 59 C Z C M EI Z 1 EI M (已知E=200GPa) 24 梁的最大正应力梁的最大正应力 梁的危险截面梁的危险截面 梁的危险截面在该梁内弯矩最大的截面上梁的危险截面在该梁内弯矩最大的截面上 危险截面位于梁中部危险截面位于梁中部 危险截面位于梁根部危险截面位于梁根部 梁的最大正应力梁的最大正应力 梁的最大正应力发生在危梁的最大正应力发生在危 险截面上离中性轴最远处险截面上离中性轴最远处 Z max max W M s 5-3 梁弯

15、曲时的强度条件梁弯曲时的强度条件 25 弯曲正应力强度条件：弯曲正应力强度条件： max max ss z W M 可解决三方面问题：可解决三方面问题： （1 1）强度校核强度校核，即已知，即已知 检验梁是否安全；检验梁是否安全；, , maxz WMs （2 2）设计截面设计截面，即已知，即已知 可由可由 确定确定 截面的尺寸；截面的尺寸； , , max sM max s M Wz （3 3）求许可载荷求许可载荷，即已知，即已知 可由可由 确定。确定。 , ,s Z W max s z WM Mmax 梁内最大弯矩梁内最大弯矩 WZ 危险截面抗弯截面模量危险截面抗弯截面模量 材料的许用应力

16、材料的许用应力 26 脆性材料脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑 tt ss max, cc ss max, 变截面梁要综合考虑变截面梁要综合考虑 与与M z I 注意注意： 27 作弯矩图，寻找需要校核的截面作弯矩图，寻找需要校核的截面 cctt ssss max,max, ,要同时满足要同时满足 分析：分析： 非对称截面，要寻找中性轴位置非对称截面，要寻找中性轴位置 T T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。 试校核梁的强度。试校核梁的强度。 例题 MPa,160,MPa30 ct ss 28 mm52 201202080

17、8020120102080 c y （2 2）求截面对中性轴）求截面对中性轴z z的惯性矩的惯性矩 46 2 3 2 3 m1064. 7 2812020 12 12020 422080 12 2080 z I （1 1）求截面形心）求截面形心 z1 y z 52 解：解： 29 （4 4）B B截面校核截面校核 t t s s MPa2 .27Pa102 .27 1064. 7 1052104 6 6 33 max, c c s s MPa1 .46Pa101 .46 1064. 7 1088104 6 6 33 max, （3 3）作弯矩图）作弯矩图 kN.m5 .2 kN.m4 30 （

18、5 5）C C截面要不要校核？截面要不要校核？ t t s s MPa8 .28Pa108 .28 1064. 7 1088105 . 2 6 6 33 max, （4 4）B B截面校核截面校核 （3 3）作弯矩图）作弯矩图 tt ssMPa2 .27 max, cc ssMPa1 .46 max, kN.m5 .2 kN.m4 31 5-4 弯曲时的切应力弯曲时的切应力 1.1.矩形截面梁矩形截面梁 2.2.工字形截面梁工字形截面梁 1 S max dh F :腹板 A F S 2 3 max t 32 A FS 3 4 max t A FS 2 max t 3. 3. 圆形、圆环形截面梁

19、圆形、圆环形截面梁 33 tt max 梁的剪应力强度条件是：梁的剪应力强度条件是： 下列情况须进行剪应力强度校核：下列情况须进行剪应力强度校核： 1. 若梁较短或载荷很靠近支座，梁的最大弯矩若梁较短或载荷很靠近支座，梁的最大弯矩Mmax可能可能 很小而最大剪力很小而最大剪力Fs,max却相对较大，如果据此时的却相对较大，如果据此时的Mmax 选择截面尺寸选择截面尺寸,就不一定能满足剪应力强度条件。就不一定能满足剪应力强度条件。 2. 对于一些组合截面梁，如其腹板的宽度对于一些组合截面梁，如其腹板的宽度b相对于截面高相对于截面高 度很小时，横截面上可能产生较大的剪应力。度很小时，横截面上可能产

20、生较大的剪应力。 3. 对于木梁，它在顺纹方向的抗剪能力较差，而由剪应力对于木梁，它在顺纹方向的抗剪能力较差，而由剪应力 互等定理，在中性层上也同时有互等定理，在中性层上也同时有t tmax作用，因而可能沿作用，因而可能沿 中性层发生剪切破坏，所以需要校核其剪应力强度条件。中性层发生剪切破坏，所以需要校核其剪应力强度条件。 34 解：画内力图求危面内力 例例2 矩形(bh=0.12m0.18m）截面 木梁如图，s=7MPa，t=0. 9 M Pa，试求最大正应力和最大剪应力 之比,并校核梁的强度。 N5400 2 33600 2 max qL Q Nm4050 8 33600 8 22 max

21、 qL M q=3.6kN/m x M + 8 2 qL A B L=3m Q 2 qL 2 qL + x 35 求最大应力并校核强度 应力之比 7 .16 3 2 max max max h L Q A W M z t s q=3.6kN/m x M + 8 2 qL Q 2 qL 2 qL + x 7MPa6.25MPa 18. 012. 0 405066 22 maxmax max s s bh M W M z 0.9MPa0.375MPa 18. 012. 0 54005 . 1 5 . 1 max max t t A Q 36 5-6 梁的优化设计梁的优化设计 弯曲正应力强度条件：弯

22、曲正应力强度条件： max max ss z W M 在在s s一定时，提高弯曲强度的主要途径：一定时，提高弯曲强度的主要途径： max ,MWz （一）、选择合理截面（一）、选择合理截面 （1 1）矩形截面中性轴附近的材）矩形截面中性轴附近的材 料未充分利用，工字形截料未充分利用，工字形截 面更合理。面更合理。 1、根据应力分布的规律选择：、根据应力分布的规律选择： z 37 （2 2）为降低重量，可在中性轴附近开孔。）为降低重量，可在中性轴附近开孔。 38 2、根据截面模量选择：、根据截面模量选择： 为了比较各种截面的合理性，以为了比较各种截面的合理性，以 来衡量。来衡量。 越大，越大，

23、截面越合理。截面越合理。 A Wz A Wz A Wz 截面形状截面形状矩形矩形圆形圆形槽钢槽钢工字钢工字钢 0.167h0.125d (0.270.31)h (0.270.31)h (d=h) 39 3、根据材料特性选择：、根据材料特性选择： 塑性材料：塑性材料：, ss宜采用中性轴为对称轴的截面。宜采用中性轴为对称轴的截面。 脆性材料：脆性材料：, ss宜采用中性轴为非对称轴的截面，宜采用中性轴为非对称轴的截面， 例如例如T T字形截面：字形截面： y c z 1 y 2 y 拉边拉边 压边压边 z z I My I My 2 1 max max s s 2 1 y y s s 即使最大拉、压应力同时达到许用应力值。即使最大拉、压应力同时达到许用应力值。 40 （二）、合理安排载荷和支承的位置，以降低（二）、合理安排载荷和支承的位置，