最全圆锥曲线知识点总结

1、高中数学椭圆的知识总结1 椭圆的定义：平面内一个动点P到两个定点Fi, F2的距离之和等于常数（个动点P的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的PFi PF2 2a F1F2），这PFi PF2 F1F2 则距离叫做椭圆的焦距 注意：若PFi动点P的轨迹无图形PF2 F1F2，则动点P的轨迹为线段F1F2 ；2y221 （ a21 ）椭圆：焦点在X轴上时a2 为参数），焦点在y轴上时；ax2b2b2 c2)abCsinS （参数方程，其中2=1(b22.椭圆的几何性 质：22 （ 1 ）椭圆 a b 0 ）为例）（a,0） , （0,b ），其中长轴两条对称轴x（以*2 2 a2 b2

2、两个焦点（C,0）；对称性: :范围： xa, by b :焦点：0, y 0， 个对称中心（0,0 ），四个顶点 长为2a，短轴长为2b ;离心率：e ，椭圆0 e 1，e a越小，椭圆越圆；e越大/椭圆越扁。（2） 点与椭圆的位置矢系：点P（ xo, yo）2点P （xo,yo）在椭圆上xS2a3直线与圆锥曲线的位置矢系22在椭圆外X2好1 ；a2 b22丫2 =1 ；点P （xo,yo）在椭圆内b0直线与椭圆相切；（1 ）相交：0直线与椭圆相交；（2）相切：（3）相离：0直线与椭圆相离；22如道线y-kx-1 =0与椭圆xy 1恒有公共点，则m的取值范围是 5m4. 焦点三角形（椭圆上的

3、一点与两焦点所构成的三角形）5. 弦长公式：若直线y kx b与圆锥曲线相交于两点A、B，且刈，X2分别为A、B的横坐标，则 AB = 1 k2xiX2，若屮，y2分别为A、B的纵坐标，则AB = 1 12 yi *，若弦kAB所在直线方程设为x ky b，则AB = 1 k2 yi y2。6. 圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆 1中，以P （xo,yo）为中点的弦所在直线的斜率XV22y 如（1）如昜椭圆xy 1弦被点a （ 4，2）平32 分，那么这秦弦嶄在的直壊方程是a /n36 922 xy（2）已知直线y=-x+l与椭圆221 CabO）相

4、交于A、B两点，且线段AB的中点在ab 直线L : x- 2y=0上，则此椭圆的离心率为 ；22 （3）试确定m的取值范围，使得椭圆xy 1上有不同的两点矢于直线y 4x m对称；43特别提醒：因为 0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有尖弦长、对称 问题时，务必别忘了检验0 !椭圆知识点的应用1 如何确定椭圆的标准方程？任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是 坐标 轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件a,b ; 一个定位条件焦点坐标，由焦 点坐标的形式确定标准方程的类型

5、。2椭圆标准方程中的三个量a,b,c的几何意义椭圆标准方程中，a,b,c三个量的大小与坐标系无矢，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小尖系为：222(a b 0) ， (a c 0)，且(a2b?c2)。可借助右图理解记忆： a,b,c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。3如何由椭圆标准方程判断焦点位置椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是:看W，y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。4方程Ax2 By2 C ( A, B, C均不为零)是表示椭圆的条件2By2方程A

6、x2 By2 C可化为AxCC1，艮卩X Bcy 1 ,所以只有A、B、C同 c 号，CC时，椭圆的焦点在yABABCC且A B时，方程表示椭圆。当时，椭圆的焦点在X轴上；当 AB轴上。5求椭圆标准方程的常用方法：待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数a,b,c的值。其主要步骤是“先定型，再定量”定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。6共焦点的椭标准方程形式上的差异2与椭圆勺b21 (a b 0)共焦点的椭圆方程可设为a2a2m21(mb2)，此类问题常用待定系数法求解。7判断曲线尖于X轴、y轴、原点

7、对称的依据： 若把曲线方程中的x换成x，方程不变，则曲线尖于y轴对称； 若把曲线方程中的y换成y，方程不变，则曲线尖于x轴对称;若把曲线方程中的x、y同时换成x、y，方程不变，则曲线尖于原点对称。8 如何求解与焦点三角形 PRF2( P为椭上的点)有矢的计算问题？思路分析：与焦点三角形 PF1F2有尖的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦 1定理(或勾股定理)、三角形面积公式S pfif2 1 PFi PF2sin F1PF2相结合的pfif22 1212方法进行计算解感F1BF2)结合起来，建立将有矢线段PR、PF2、F丘，有矢角FiPF2( F1PF2PRPH、PF1 PF2之间的尖系.

8、9如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的矢系？长轴与短轴的长短矢系决定椭形状的变化。离心率e(0e1)c2 a2 b2，a c 0，用 a、b 表示为 e 1 (ab)2(0 e 1)显然：当b越小时，e(0 a椭圆形状越趋近于圆。题型1：椭圆定义的运用e 1)越大，椭圆形状越扁；当&越大，ae(0 e 1)越小2X例1 已知R,F为椭圆251的两个焦点，过Fi的直线交椭圆于A、B两点若F2A F2B 12，则 AB例2.如果方程x2 ky2 2表示焦点在x轴的椭圆，那么实数k的取值范围是疥喘2例3.已知H为椭圆1上的一点，M,N分别为圆(x 3尸严1和圆(x 3)2 y2 4上的点，则PM PN的

9、最小值为题型2 :求椭圆的标准方程例1、求满足下列各条件的椭圆的标准方程经过两点A(3,2),B(2 3,1)；22经过点(2，3)且与椭圆9x2 4y2 36具有共同的焦点；(3) 个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为424.题型3:求椭圆的离心率例1、ABC中，A 30, AB 2, Svabc3,若以A, B为焦点的椭圆经过点C，则椭圆的离心率为例2、过椭圆的一个焦点氏作椭圆长轴的垂线交椭圆于P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 题型4:椭圆的其他几何性质的运用(范围、对称性等)Ox的范围为例1已知实数x,y满x 足4角形的三个顶点，且PFiP

10、Fs求PF1的值.PF2例2.已知点A,B是椭 圆2XV22m 2n1(m o,nuuru0 )上两点但AO题型5:焦点三角形问题2y9 y1的两个焦P为椭圆上的一点，已例1已知Fi,F2为椭圆d A94占，知uuurBO ,则=P,Fl,F2为一个直角三22例2.已知Fl, F2为椭圆C：xy 1的两个焦点,在C上满足PFi PF2的点的个数84为1例3.已知椭圆的焦点是Fi(0, 1),F2(0,1)，且离心率e求椭圆的方程：设点P在椭圆2上，且 PFi PF2 1,求 cos F1PF2.题型6:三角代换的应用2 2x y例1 椭圆ixe % 1上的点到直线l：xy9 0的距离的最小值为

11、 例2椭 x1的内接矩形的面积的最大值圆16为题型7:直线与椭圆的位置矢系的判 断例1当m为何值时，直线 xm与椭圆V161相交？相切？相 离？例2.若直线ykx1(k2R)与椭圆x2Y1恒有公共点，求实数m的取值范题型8 :弦长问题例1 求直线 2X y4被椭圆4x91所截得的弦 长例2.已知椭圆y2 1的左右焦点分别为Fi,F2，若过点P ( 0)及Fi的直线交椭圆于A,B2两点，求zl ABF?的面积；题型9:中点弦问题22例1求以椭圆xy 1內的点a(2)为中点的弦所在的直线方程。85例2.中心在原点，一个焦点为Fi (0, 50)的椭圆截直线y3x2所得弦的中点横坐标为1，求椭圆的方

12、程例3.椭圆mx2 ny21与直线xy 1相交于A、B两点，点C是AB的中点若AB 2 22O为原点)，求椭圆的方 程.巩固训练1.如图，椭圆中心在原点丁是左焦点，直线ABi与BF交于D,且则椭圆的离心率为2X22.设冃,已为椭圆 y 1的两焦点，P在椭圆上当1 2 .uuur uuruF1PF2面积为1时 PFi PF2的值为223. 椭圆3x691的一条弦被A 4,2平分，那么这条弦所在的直线方程是4. 若R,F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，若PF1F2 PF2F1 F1PF21:2:3,则此椭圆的离心率 为2 25. 在平面直角坐标系中，椭x2 721 (abO)的焦距为2c，以O

13、为圆心，a为半径的圆，b圆a2过点 L ,0)作圆的两切线互相垂直，则离心率e=C双曲线基本知识点标准方程(焦点在y轴)22y2 x21(a 0,b 0) ab标准方程(焦点在X轴)双曲线22x2 y2 1(a 0,b 0) ab定义：平面内与两个定点Fi ， F2的距离的差的绝对值是常数(小 F1F2)的点的轨迹叫 于双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。定义0y,h / / /M MFi MF2 2a 2a F1F2yyf2pFi6ya，x R对称轴 x轴，y轴；实轴长为2a，虚轴长为2b对称中心原点0(0,0)焦点坐标Fi(c,O) F2(c,0)Fi(0, c) F2

14、(0, c)焦点在实轴上，Ca2 b2；焦距：FlF22c顶点坐标(a ,0)(a,0)(0,a,)(0，a)离心率e c 1 b22 ,(e1)aa渐近线baVYVVAh方程共渐近线2 222xy k( k 0)yX2 k( k 0)的双曲线2a b2a b2系方程22双曲线x21与直线ykxb的位置矢系：ab22直线和双xy 1转化为一元利用22 ab二次方程用判别式确定。曲线的位y kx b置一次方程一次项系数为零直线与渐近线平行。相交弦AB的弦长AB1k2(X1X2)24X1X2补充知识点:等轴双曲线的主要性质有:(1 )半实轴长二半虚轴长(一般而言是a=b，但有些地区教材版本不同，不

15、一定用的是a,b这两个字母)；(2) 其标准方程为x2 y2C，其中CO；(3) 离心率e 2 ;(4) 渐近线：两条渐近线片土x互相垂直;例题分析：例1、动点P与点Fi (0，5)与点F2 (0 5)满足PF1PF26，则点P的轨迹方程为()2222x A1692 2A xy19 1622x y169x，则离心率为（）C xy169A5B5C 5或 5343422例2、已矩双曲Xy1的离心率为e 2，则4kA 12k1BkO同步练习一:如果双曲线的渐近线方程为yk的范围为（）C 5k0D12k02鬥步练习：双曲线：a例3、设P是双曲线1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心 22率为,y 1上

16、一点双曲线的一条渐近线方程 3x a 9为2y 0， Fi F2分别是双曲线的左、右焦点， PR3，则PF2的值为 若 同步练习三：若双曲线的两个焦点分别为（0，2），（0,2），且经过点（2, 15） 的标准方程例4、下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是（）2X2和 2y(A)-v 2=1 汕392X-=1侶)322V zxzx V-V 2=1 禾【V2-=1332222 22(C)y2- X =1 和 x-y2 =1(D)x-y2=l 和 x- y2 =33393（5，0）和（5，0），点 P 在同步练习四：已知双曲线的中心在原点，两个焦点Fi，丘分别为 双曲线卜RPF2，且

17、APF1F2的面积为1，则双曲线的方程为（22222A*y1 B -xy1 c x2y !2332422y D x 141有共同的渐近线，且经过点人（3,2 3的双曲线的一个焦点到一例5、与双曲幺老22 xy9 16渐近线的距离（）是(A) 8(C) 2(D) 1同步练习五：以y 3X为渐近线，一个焦点是F （0，2）的双曲线方程为 4. （ 2011年高考湖南卷文科6）设双曲线加 （aO）的渐近线方程为3x 2y 0,则a的a296222222(A)X2y2i(B)xy2i(C)Xf 1(D)x 2y 11R441822例6、下列方程中，以x 2y=0为渐近线的双曲线方程同步练习六：双曲线8

18、kx 2-ky 2=8的一个焦点是（0，3），那么k的值是值为（）A 4 B 3 C 2D 1 225. 2012高考江苏8 （ 5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x 2y 1的离心率为5，mm2 4则m的值为抛物线1）求 |AB|.2例7、经过双曲线炉1的右焦点冃作倾斜角为30的弦AB，2） Fi是双曲线的左焦点，求厶FiAB的周长xy同步练习七过点（。，3）的直线I与负嘴1只有一个公共点求直线I的方程O高考真题分析1.【2012高考新课标文10等轴双曲C的中心在原 线点，的准线交A,B两点，AB 43 :则C的实轴长为（焦点在x轴上，C与抛物线y216x）(A)2(B)2 22.【2

19、012高考Lh东文已知双曲线(C)(D)22:C1： x2y2 1 (aO,bO)的离心率为2.若抛物线1 221 22C2 ：x2 2py （p0）的焦点到双曲线G的渐近线的距离为2，则抛物线Q的方程为(A)X28 3216 3 y (B)xy33(C) 8y(D) x216y 23.【2012高考全国文10已知Fi、r2 2.斗C -x/2%/2 C 亠启匕上P在c上，OFxFOx0FXIFX定义平面内与一个定点F和一条定直线I的距禺相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做林 物线的焦点，直线|叫做抛物线的准线。 M MF =点M到直线I的距禺范围x 0,y Rx 0, y Rx R,y 0x

20、R,y 0对称性尖于X轴对称尖于y轴对称隹占八、八、(2P ,0)(2P ,0)(0, 2P )(0, 2P )焦点在对称轴上顶点0(0,0)离心率e=1准线方程x2px2py 2Py 2P准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。顶点到准线 的距离P2|PFi|2|PF2|，则 cos F1PF21qA)(B)2(C)d(D)抛物线y2 2px (p 0)iyy(y22pxp0)IX (y2 2py p 0)X J002 2py p 0)I454焦点到准线 的距离P焦半径A(xbyi)AF Xi p2AFXi p2AFy “AFy “焦点弦长AB(X1 X2)p(X1 X2)p(yi y2)

21、 pys) p焦点弦AB 的几条性 质A(xi, yi)B(X2,y2)0A xi,yi BFx,yxB X272以AB为直径的圆必与准线I相切若AB的倾斜角为，则AB若AB的倾斜角为，则AB当k=o时，直线I与抛物线的对称轴平行，有一个交点； 当kHO时， 0，直线I与抛物线相交，两个不同交点；A=0，直线I与抛物线相切，一个切点； A 0，直线I与抛物线相离，无公共点。 若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线必相切吗？(不一定)1、尖于直 线与抛物线的位置尖系问题常用处理方法直线 I : y kx b 抛物线 c :y2 2px (p 0)2pCOSxxP2yyp2X1X2V1V2041 1 AF BF