线性代数1.5[沐风教学]

1、董君良董君良 北京工业大学北京工业大学 应用数理学院应用数理学院 线性代数与解析几何线性代数与解析几何 1优讲课堂 ,312213332112322311 322113312312332211 aaaaaaaaa aaaaaaaaa 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 例如例如 3223332211 aaaaa 3321312312 aaaaa 3122322113 aaaaa 222321232122 111213 323331333132 aaaaaa aaa aaaaaa 一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式 2223212321221 11 21

2、3 111213 323331333132 ( 1)( 1)( 1) aaaaaa aaa aaaaaa 2优讲课堂 在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作 n ij a ij 1 n ij a .M ij ，记记 ij ji ij MA 1叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式 ij a 例如例如 44434241 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa aaaa D 444241 343231 141211

3、 23 aaa aaa aaa M 23 32 23 1MA . 23 M 定 义 3优讲课堂 引理引理 一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有行所有 元素除元素除 外都为零，那么这行列式等于外都为零，那么这行列式等于 与它的与它的 代数余子式的乘积，即代数余子式的乘积，即 ijij AaD n i ij a ij a 44434241 33 24232221 14131211 000 aaaa a aaaa aaaa D .1 444241 242221 141211 33 33 aaa aaa aaa a 4优讲课堂 2 2 2 1 112 1 1 n n n pp p

4、np pp a aa 证证 当当 位于第一行第一列时位于第一行第一列时,ij a nnnn n aaa aaa a D 21 22221 11 00 即有. 1111M aD 1 1 1111 1AM 又因为 从而 11111111. Da Ma A 2 2 2 112 1 n n n pp pnp pp aaa 5优讲课堂 nnnjn ij nj aaa a aaa D 1 1111 00 ,1,2,1行对调行对调第第行行第第行行行依次与第行依次与第的第的第把把 iiiD 得得 nnnjn nijii ij i aaa aaa a D 1 , 1, 11 , 1 1 00 1 再证一般情形再

5、证一般情形, 此时此时 6优讲课堂 nnjnnj nijiji ij ji aaa aaa a 1, , 11, 1, 1 2 00 1 , 1,2,1 对对调调 列列第第列列第第列列列列依依次次与与第第的的第第再再把把 jjjD 得得 nnjnnj nijiji ij ji aaa aaa a D 1, , 11, 1, 1 11 00 11 nnjnnj nijiji ij ji aaa aaa a 1, , 11, 1, 1 00 1 7优讲课堂 nnnjn ij nj aaa a aaa D 1 1111 00 中的余子式中的余子式. ij M 在在余余子子式式仍仍然然是是 中中的的在

6、在行行列列式式元元素素 ij nnjnnj nijiji ij ij a aaa aaa a a 1, ,11,1,1 00 ij a ij a 8优讲课堂 nnjnnj nijiji ij ji aaa aaa a D 1, , 11, 1, 1 00 1 .1 ijij ji Ma 于是有于是有 nnjnnj nijiji ij aaa aaa a 1, , 11, 1, 1 00 , ijijM a ij a ij a . ijij a A 9优讲课堂 定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元行列式等于它的任一行（列）的各元 素与其素与其对应的代数余子式对应的代数余子式乘积之和，即乘积

7、之和，即 1122 1 = n iiiiininikik k Da Aa Aa Aa A ni, 2 , 1 证证 nnnn inii n aaa aaa aaa D 21 21 11211 000000 二、二、行列式按行（列）展开法则(Laplace 定理) 10优讲课堂 nnnn i n aaa a aaa 21 1 11211 00 nnnn i n aaa a aaa 21 2 11211 00 nnnn in n aaa a aaa 21 11211 00 ininiiii AaAaAa 2211 ni, 2 , 1 11优讲课堂 例例1 3351 1102 4315 2113 D

8、 0355 0100 13111 1115 31 2 cc 34 cc 055 1111 115 ) 1( 33 55 26 )1( 31 50 28 .40 055 026 115 12 rr 目的：降阶 目的：降阶 12优讲课堂 证证用数学归纳法用数学归纳法 21 2 11 xx D 12 xx , )( 12 ji ji xx ）式成立）式成立时（时（当当12 n 例例2证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式 1 11 2 1 1 22 2 2 1 21 ).( 111 jin ji n n nn n n n xx xxx xxx xxx D )1( 13优讲课堂

9、 ，阶范德蒙德行列式成立阶范德蒙德行列式成立）对于）对于假设（假设（11 n )()()(0 )()()(0 0 1111 1 2 13 2 312 2 2 1133122 11312 xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxx D n n n nn nn n n 就就有有 提提出出，因因子子列列展展开开，并并把把每每列列的的公公按按第第)(1 1 xxi 11jj rrx 从最后一行开始， 目的：降阶 14优讲课堂 )()()( 2 11312j jin inn xxxxxxxxD ).( 1 j jin i xx 22 3 2 2 32 11312 111 )()( n n nn

10、 n n xxx xxx xxxxxx n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式 弄清楚 i x 代表的具体数值 1 () ij n ij xx 的确切含义 2 111 130 19 p p 例如，若 求 的值p 数学归纳数学归纳 法法 15优讲课堂 推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）行列式任一行（列）的元素与另一行（列） 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 . ji,AaAaAa jninjiji 0 2211 , 1 1 1 111 11 nnn jnj ini n jnjnjj aa aa aa aa AaAa 证证行展开，有行展

11、开，有按第按第把行列式把行列式jaD ij )det( 16优讲课堂 , 1 1 1 111 11 nnn ini ini n jninji aa aa aa aa AaAa 可得可得换成换成把把), 1(nkaa ikjk 行行第第 j 行行第第 i ,时时当当ji 1122 0. ijijinjn a Aa Aa AD 同理同理).(, 0 2211 jiAaAaAa njnijiji 相同相同 17优讲课堂 1 , n ikjkij k a AD 代数余子式的性质小结代数余子式的性质小结: 1 , 0,; n kikj k Dij a A ij 当 当 1 , 0,; n ikjk k

12、Dij a A ij 当 当 1, 0,. ij ij ij 当， 其中 当 1 n ikjkij k a AD 18优讲课堂 习题一 10（5）求 1111 1111 1111 1111 x x y y 1111 1 0 111 1 0111 1 0111 x x y y 解： 原式= 1111111 1 1110 111 11110111 11110111 x xx yy yy 1111 111 000 111 000 111 000 x x xy y y y 降阶 19优讲课堂 00 00 000 ab ab a a 习题 13 （1） 00 0 00 0 0 0 0 0 00 n a

13、b a b D a b ba 1 000 00 ( 1) 000 n b ab b b 1 ( 1) nnn ab 20优讲课堂 1 2 111 111 111 n n a a D a 习题 13 （2） 1 2 111 1 011 1 011 n a a a 2 111 1 11 111 n a a 1 2 11 011 011 n a a a 2 111 00 00 n a a 2 3 1 111 111 111 n a a a a 1n 阶 21优讲课堂 2 i in a 11n a D n D 同理 122 3 nin i n Daa D 122 23 () niin inin Daa

14、aa D 11 122 12 ii inin n aa a a D aa 111 121 123 (1) iii i ni ni n nn aaa a aaa aaa 111 1 21 12 iii i ni ni n nn n aaa aaa a aaa 递推归纳 22优讲课堂 1222 2222 2232 222 n D n 习题 13 （3） 2 1 2 22 2 0 2 22 2 0 2 32 2 0 2 2n 2222 2222 2232 222n 1 222 0222 + 0232 022n 0 1222 0222 00320 0002n 2(2)!n 23优讲课堂 0 1 12

15、111 100 100 100 n n a a Da a 习题 14 （1） 0 1 2 1 111 100 100 100 n n a a aa a 1 2 1+1 1 100 100 ( 1) 100 1000 n n a a a nn a D 1 21+11 1 00 00 ( 1)( 1) 00 nn n a a a 1.2n 时成立， 1 1210 1 () n nn i i aa aaa a 121n a aa 1 210 1 () n nn i i a aaaa a 利用归 纳假设 24优讲课堂 15. 1234 42222 1234 4444 1234 1111 aaaa D

16、aaaa aaaa 1234 22222 1234 5 33333 3124 44444 3124 11111 aaaay aaaayD aaaay aaaay 记 1234 14 ()()()()() ij j i y x y xy x y xxx 34 5 4 ( 1)yD 3 1234 14 ()() ij j i yxxxxxx 4+1阶， 加边升阶 比 较 系 数 25优讲课堂 4 5 41234 14 ( 1)()() ij j i Dxxxxxx 从而，由两边系数相等得 即 41234 14 ()() ij j i Dxxxxxx 26优讲课堂 分块行列式分块行列式: 1112

17、2122 11121112 21222122 00 00 aa aa ccbb ccbb AO CB AB 证明： 左边= 22 11121112 222122 00a acbb cbb 21 1 2 12111112 212122 00 ( 1) a acbb cbb 1112 11 22 2122 bb a a bb 1112 12 21 2122 bb a a bb 11121112 21222122 aabb aabb AB 27优讲课堂 例例 111 1 111111 11 k kkk kn nnknnn aa O aa D ccbb ccbb 设 111 1 1 , k kkk aa D aa 111 2 1 , n nnn bb D bb . 21D DD 证明证明 记 28优讲课堂 证明证明 ; 0 11 1 11 1kk kkk pp pp p D 设为设为 化为下三角形行列式化为下三角形行列式，把，把作运算作运算对对 11 DkrrD ji 化为下三角形行列式化为下三角形行列式把把作运算作运算对对 22 ,DkccD ji . 0 11 1 11 2nn nkn qq pq q D 设为设为 29优讲课堂 , 0 1 11 1 111 1 11 nnnnkn k kkk qq q cc cc