线性代数第四章齐次线性方程组[章节优讲]

1、第五节齐次线性方程组第五节齐次线性方程组 一齐次线性方程组(4.2)有 非零解的充要条件 二齐次线性方程组解的性 质 三基础解系 四解的结构 五练习题 ,A nsij a 系数矩阵 0 2211 nn xxx 1. 齐次线性方程组齐次线性方程组(4.2)有非零解的充要条件有非零解的充要条件 或或向量形式向量形式 0 1212111nnx axaxa 0 2222121 nnx axaxa )2 . 4( . 0 2211 nsnss xaxaxa , 0)2 . 4(AX又可表示为 .A 21n 其中 ;,)2( 21 线性相关 n 定理定理8 以下命题等价以下命题等价(即互为充要条件即互为充

2、要条件): (1) AX=0(4.2) 有非零解有非零解; ;,)3( 21 n n 秩 (4) 秩秩 An. 推论推论：齐次线性方程组齐次线性方程组 (4.2) 只有零解只有零解 r An 证明证明 由矩阵、向量的运算、由矩阵、向量的运算、 于是于是, 以上以上4个命题相互等价个命题相互等价.(2)-3)-(4)-(3)-(2)-(1) 线性相关定义线性相关定义,得得(1)推推(2), 2. 齐次线性方程组解的性质齐次线性方程组解的性质 （可推广至有限多个解）（可推广至有限多个解） (解向量的和解向量的和,数乘仍是数乘仍是 解解) 性质性质1,)2 . 4(0, 21 的解的解是是若若 AX

3、XX .)2 . 4(0 2211 的解的解是是则则 AXXkXkx 证明证明 由题设知由题设知 , 0, 0 21 AXAX )( 2211 XkXkAAx 则则 2211 AXkAXk , 0 .0 2211 的解的解是是故故 AXXkXkx 上页上页下页下页返回返回 的解。的解。 也是(4.2)也是(4.2) 的任意线性组合的任意线性组合 2)的解2)的解齐次线性方程组(4.齐次线性方程组(4. 推论推论 tt t XkXkXk XXX 2211 21 , 齐次线性方程组的解的集合齐次线性方程组的解的集合V称为齐次线方称为齐次线方 程组的解空间程组的解空间(space of soluti

4、on)。 3. 基础解系基础解系 (1) 向量组向量组线性无关线性无关 ; (2) (3) AX=0 的任一解都可以由的任一解都可以由 线性表示。线性表示。 则称向量组则称向量组(I)是齐次线性方程组是齐次线性方程组 0AX 的一个的一个基础解系。基础解系。 定义定义12 设设A是一个是一个sn矩阵矩阵, )(, 21 IXXX t 如果如果: 都是都是AX=0的解；的解； )(, 21 IXXX t 中的每个向量中的每个向量 t XXX, 21 上页上页下页下页返回返回 , , , 是任意常数。是任意常数。其中其中 为(4.2)的通解。为(4.2)的通解。称称 间)就是间)就是 解空解空(4

5、.2)的解集合(4.2)的解集合(4.2)的解，所以(4.2)的解，所以 任意线性组合是任意线性组合是性组合，又基础解系的性组合，又基础解系的 是基础解系的一个线是基础解系的一个线则(4.2)的任意解则(4.2)的任意解 础解系，础解系，是(4.2)的一个基是(4.2)的一个基若若 t tt ttt t kkk XkXkXk PkkkXkXkXkS XXX 21 2211 212211 21 上页上页下页下页返回返回 0。0。= =问题的同解方程组BX问题的同解方程组BX得到得到 ， 初等行变换化简：初等行变换化简： 施行施行解：(1)对系数矩阵解：(1)对系数矩阵 的一个基础解系。的一个基础

6、解系。 求齐次线性方程组求齐次线性方程组 例1例1 B A A xxxx xxxx xxxxx 20100 51010 201001 20100 31110 101501 82120 31110 12231 0822 03 0223 123 322 5432 5432 54321 )()( )()( 上页上页下页下页返回返回 。，得解，得解又令又令 ；，得解，得解令令 ， 得得 。将方程组移项，。将方程组移项，任意值，都能解出任意值，都能解出 的的1、2、3、列，故对1、2、3、列，故对行的非零首元分别位于行的非零首元分别位于 。B的1、2、3。B的1、2、3为零，为零，阶梯形矩阵B有三行不阶

7、梯形矩阵B有三行不 T T B Xxx Xxx x xx xx x x x xxx xx r 10252010 0101101 2 5 20 3 254 154 5 54 54 3 2 1 321 54 , , , , 上页上页下页下页返回返回 。即即 ，的解，得的解，得 0 0= =是BX是BX则则 0的任意解，0的任意解，= =是BX是BX(3)设(3)设 性无关。性无关。 线线所得的向量，故所得的向量，故前面位置添加3个分量前面位置添加3个分量 的的是分别在是分别在线性无关，线性无关，(2)(2) 2211 2211321 3212211 21321 21 21 00 00 1 0 0

8、1 1 0 0 1 XkXkX XkXkXddd dddXkXkX kkcccX XX XX , , , 证明分几步证明分几步: 1. 用初等行变换将系数阵用初等行变换将系数阵A化为阶梯形矩阵化为阶梯形矩阵; 个解。个解。 3. 证明这证明这nr 个解线性无关个解线性无关; 4. 证明任一解都可由这证明任一解都可由这nr 个解线性表示个解线性表示. (1) 基础解系不是唯一的。基础解系不是唯一的。 (2) 当当 ()r An 时，解集合时，解集合(解空间解空间)是是 0. 2. 以某种方法找以某种方法找 个解个解;nr 定理定理9 假设假设A是一个是一个,矩阵ns,rrankAn如果如果 则齐

9、次线性方程组则齐次线性方程组AX=0 存在存在基础解系基础解系, 且基础解系且基础解系 注：注： 上页上页下页下页返回返回 ，元为元为设B的第i行的非零首设B的第i行的非零首 不失一般性，不失一般性，B的前r行不为零。，B的前r行不为零。矩阵B，则矩阵B，则 变换化为阶梯形变换化为阶梯形设A经过一系列初等行设A经过一系列初等行: :证明证明 00000 00000 00 0 ), 2 , 1( 1, 21,2222 11, 111211 rnrrrr nrr nrr ij B bbb bbbb bbbbb BA rib rr 上页上页下页下页返回返回 ，系数行列式系数行列式 移项得线性方程组移

10、项得线性方程组 0的等式，0的等式，= =0，去掉00，去掉0= =代入BX代入BX一组值一组值 (称为自由未知量)的(称为自由未知量)的将未知量将未知量 0 )6 . 4.(. 00 0 )0 , 0 , 1( , 2211 1, 1,2 1, 1 2 1 222 11211 21 rr rr r r rrr r r nrr bbbD b b b x x x b bb bbb xxx 上页上页下页下页返回返回 ;),( ;),( ),( ,),(, ),( , T rnrrnrnrn T r nrr T r cccX cccX xxx cccX 100 010 100 010 001 21

11、222122 21 121111 解解0，求出(4.2)的0，求出(4.2)的= =代入BX代入BX 的值的值同理，分别将同理，分别将 。的一个解的一个解 得(4.2)得(4.2)(4.6)有唯一解，(4.6)有唯一解，由Gramer法则，由Gramer法则， 上页上页下页下页返回返回 线性无关。线性无关。故故 ，有有 其中其中 ， ，即，即(2)考虑(2)考虑 0的解；0的解；= =是AX是AX (1)(1) rn rn rn j ijji TT rnr rnrn rn XXX kkk rirnjckl kkklll XkXkXk XXX , , ),;,( , ),(),( , 21 21

12、 1 2121 2211 21 000 2121 00000 0 上页上页下页下页返回返回 r个解向量。r个解向量。- -含n含n 0的一个基础解系，0的一个基础解系，= =是AX是AX综上，综上， 或或 全为零。于是全为零。于是 系数行列式不为零，系数行列式不为零， ， 0，得0，得= =入BX入BX是齐次方程组的解，代是齐次方程组的解，代 的任意解，则的任意解，则 是方程组是方程组(3)设(3)设 rn rnrn rnrn r rrr r r T r rnrn T rnr XXX XkXkXkX XkXkXkX ddd d d d b bb bbb ddd XkXkXkX kkkcccX

13、, , ),( ),( 21 2211 2211 21 2 1 222 11211 21 2211 2121 0 0 0 0 00 0 000 上页上页下页下页返回返回 一个基础解系。一个基础解系。 它的它的r个线性无关的解都是r个线性无关的解都是- -意n意n(3)(4.2)的任(3)(4.2)的任 1个解向量线性相关；1个解向量线性相关；+ +r r- -意n意n(2)(4.2)的任(2)(4.2)的任 r个解向量；r个解向量；- -个基础解系都含有n个基础解系都含有n(1)(4.2)的每(1)(4.2)的每 ，则，则矩阵，若矩阵，若矩阵A是矩阵A是 0(4.2)的系数0(4.2)的系数=

14、 =设齐次线性方程组AX设齐次线性方程组AX 推论推论 nrrns A 定义定义：齐次线性方程组的基础解系又称为解空间：齐次线性方程组的基础解系又称为解空间 的基。的基。 上页上页下页下页返回返回 0的基础解系。0的基础解系。= =AXAX 出，(III)是出，(III)是可由(III)线性表可由(III)线性表相关。因而相关。因而 线性线性0的任一解，0的任一解，= =是AX是AX 的解，的解， 0的线性无关0的线性无关= =是AX是AX若若(3)(3) ，故线性相关。，故线性相关。向量的(I)线性表出向量的(I)线性表出 r个r个- -1个解可由含n1个解可由含n+ +r r- -0的任意

15、n0的任意n= =AXAX(2)(2) r;r;- -n n= =数相同，故t数相同，故t线性无关，所含向量个线性无关，所含向量个 与(II)都与(II)都(II)等价，(I)(II)等价，(I)基础解系，则(I)与基础解系，则(I)与 个个是(4.2)的任意一是(4.2)的任意一设设(1)(1) 解系。解系。 础础是(4.2)的一个基是(4.2)的一个基 证明：证明： , )(, )(, )(, rn rn t rn III II IXXX 21 21 21 21 上页上页下页下页返回返回 解。解。的的 0 02x2x4x4x7x7x2x2x4x4x 0 02x2x3x3x2x2x2x2x

16、0 04x4x2x2xx x2x2xx x 求齐次线性方程组求齐次线性方程组 例2例2 5 54 43 32 21 1 5 53 32 21 1 5 54 43 32 21 1 通通 上页上页下页下页返回返回 B A 00000 64120 22201 1812360 64120 42121 24724 20322 42121 121 323 314 212 )()( )()( )()( )()( 并作初等变换化简并作初等变换化简解：写出系数矩阵A，解：写出系数矩阵A， 上页上页下页下页返回返回 为任意常数。为任意常数。其中其中 ，原方程组的通解为原方程组的通解为 0，的基础解系：0，的基础解

17、系：= =X X(0,0,1)代入B(0,0,1)代入B (0,1,0),(0,1,0),),),的3组值(2,0,0的3组值(2,0,0分别将分别将 3个向量。3个向量。= =2 2- -，基础解系含5，基础解系含5 321 332211 3 21 543 10032 0102200214 2 kkk XkXkXk X XX xxx rr T TT BA , ),( ,) ,(,) ,( , 上页上页下页下页返回返回 。线性方程组的解的问题线性方程组的解的问题 将问题转化为齐次将问题转化为齐次所含向量的个数，故可所含向量的个数，故可 0的基础解系0的基础解系= =是齐次线性方程组AX是齐次线

18、性方程组AX 分析：分析： 。或或试证：试证： 0。0。= =矩阵，AB矩阵，AB矩阵，B为矩阵，B为设A为设A为 例3例3 )(nrrrnr mnns BAAB 上页上页下页下页返回返回 的解向量。的解向量。 0 0= =组的AX组的AX(I)是齐次线性方程(I)是齐次线性方程即即 。或或 由分块矩阵乘法，由分块矩阵乘法， ，块矩阵分别为块矩阵分别为 0右端的零矩阵的列分0右端的零矩阵的列分= =证明：设矩阵B与AB证明：设矩阵B与AB m j m m m mjA AAA A B , ),( ),(),( ),(),( ),(),( 21 21 21 21 210 000 000 0000 上页上页下页下页返回返回 。综上，综上， 。= =，秩(II)，秩(II)= =B的列秩B的列秩= =而秩(I)而秩(I) 论2)。论2)。秩(II)(第3节推秩(II