SARS传播的数学模型PPT学习教案

1、会计学1 SARS传播的数学模型传播的数学模型 第1页/共39页 第2页/共39页 第3页/共39页 近乎自然的传播模式 控 制 后 政府控制后的传播模式 控 制 前 第4页/共39页 第5页/共39页 新增病人 现有病人死亡和治愈病人 第6页/共39页 )()( )()( )()( t 22 11 ttXLttXL t ttXLttXL t ttrXtrtX 病人数治愈人数治愈率 病人数死亡人数死亡率 时间内感染人数每人在新增病人数病人数 第7页/共39页 )()()( )()( )()()()()( 21 21 tXLLtrX t tXttX ttXLLttrXtXttX )()()( )

2、( 21 tXLLtrX dt tdX ttXLtDttD)()()( 1 )( )( 1 tXL dt tdD 第8页/共39页 ttXLtRttR)()()( 2 )( )( 2 tXL dt tdR )()()()(tRtDtXtY 第9页/共39页 )()()()( )( )( )( )( )()()( )( 2 1 21 tRtDtXtY tXL dt tdR tXL dt tdD tXLLtrX dt tdX 0) 0( 0) 0( 1) 0( 1) 0( R D Y X 第10页/共39页 )( )( Tt beatr 第11页/共39页 )()( )()( )()()1 ()(

3、)()1 ( t 22 11 ttXLttXL t ttXLttXL t ttXtrpttrtXp 病人数治愈人数治愈率 病人数死亡人数死亡率 时间内感染人数每人在新增病人数病人数 第12页/共39页 )()()()()1 ( )()( )()()()()1 ()()( 21 21 tXLLtXtrp t tXttX ttXLLttXtrptXttX )()()()()1 ( )( 21 tXLLtXtrp dt tdX ttXLtDttD)()()( 1 )( )( 1 tXL dt tdD 第13页/共39页 ttXLtRttR)()()( 2 )( )( 2 tXL dt tdR )()

4、()()(tRtDtXtY 第14页/共39页 Tt tRtDtXtY tXL dt tdR tXL dt tdD tXLLtXtrp dt tdX , )()()()( )( )( )( )( )()()()()1 ( )( 2 1 21 6 . 0 245. 0 )( b a beatr t 第15页/共39页 6.模型的求解：模型的求解： 6.1控前模型的求解控前模型的求解 对于现有病人数，我们可以根据对于现有病人数，我们可以根据SARS传播的控前方程传播的控前方程(5.8) ，求得它的解析解为，求得它的解析解为 (5.19) 其中，其中， (5.20) 再将分别代入再将分别代入SARS

5、传播的控后方程传播的控后方程(5.17)，就可以给出、，就可以给出、 以及的数值解。再将分别代入以及的数值解。再将分别代入SARS传播的控后方程传播的控后方程(5.17)，就，就 可以给出、以及的数值解可以给出、以及的数值解 。 1)0( 0695.0 053.0 55.0 2 1 X L L r TeXtX tLLr t ,)0()( )( 21 第16页/共39页 6.2控后模型的求解控后模型的求解 同理，我们求得现有病人数得解析解同理，我们求得现有病人数得解析解 (5.21) 其中，其中， (5.22) 我们已经分析过，为一客观参数。由于我们已经分析过，为一客观参数。由于3月月5日第一例

6、日第一例SARS 进入我国，是我们记时的起点；进入我国，是我们记时的起点；4月月20日即为的情况。日即为的情况。 和和 为待估计的参数，现在来估计为待估计的参数，现在来估计 和和 。 根据附件中的数据，将各时刻累计病人数减去累计治愈人数根据附件中的数据，将各时刻累计病人数减去累计治愈人数 再减去死亡人数，可得到现有病人数，估计再减去死亡人数，可得到现有病人数，估计 和和 的值。估计的值。估计 时我们按均方最小误差原则，计算出其估计值分别为：时我们按均方最小误差原则，计算出其估计值分别为： ， 。 TteTXtX Tt ebP TtLLap ,)()( )1 ()1 ( )()1( )( 21

7、47 6.0 245.0 T b a p p %65P02. 0 p 第17页/共39页 至此即至此即 为关于为关于 的一元确定函数。的一元确定函数。 我们根据以上求出的解，作出了现有病人数、累计死亡人数、我们根据以上求出的解，作出了现有病人数、累计死亡人数、 累计治愈人数、累计病人数的曲线图，如图累计治愈人数、累计病人数的曲线图，如图4所示。其中，打点的所示。其中，打点的 是实际公布数据。是实际公布数据。 ) (tXt 第18页/共39页 第19页/共39页 第20页/共39页 图图4 理论值与实际值对照图理论值与实际值对照图 从图从图4中可以看出，方程的解与实际数据吻合的很好，说明中可以看

8、出，方程的解与实际数据吻合的很好，说明 我们的参数和模型都是正确可靠的。我们的参数和模型都是正确可靠的。 第21页/共39页 7模型检验与结果分析模型检验与结果分析 7.1 灵敏度分析灵敏度分析 根据我们所建的模型，卫生部门通常可以采取两种方案对疫情根据我们所建的模型，卫生部门通常可以采取两种方案对疫情 进行有效控制。一是改变控制时间点；二是改变控制强度。现在我进行有效控制。一是改变控制时间点；二是改变控制强度。现在我 们分别考察他们对模型的影响们分别考察他们对模型的影响 。 隔离强度对的模型影响隔离强度对的模型影响 图图5 隔离强度对的模型影响隔离强度对的模型影响 第22页/共39页 隔离强

9、度隔离强度累计病人数累计病人数 555569966996 656528272827 757513391339 p 表表1 由图由图5和表和表1可以看出：可以看出： 隔离强度隔离强度75%与隔离强度与隔离强度65%相比，可使发病总人数减相比，可使发病总人数减 小小1500人左右。人左右。 隔离强度隔离强度65%与隔离强度与隔离强度55%相比，可使发病总人数减相比，可使发病总人数减 小小4000人左右。人左右。 说明隔离强度，对疫情的传播具有极大的敏感度和相关说明隔离强度，对疫情的传播具有极大的敏感度和相关 性。性。 第23页/共39页 控制时间对的模型影响控制时间对的模型影响 第24页/共39页

10、 图图6 控制时间对的模型影响控制时间对的模型影响 第25页/共39页 表表2 控制时间累计病人数累计病人数 延后延后5 5天天53825382 延后延后4 4天天47294729 延后2天37333733 4月20日28792879 提前2天2764 提前提前4 4天天1576 提前提前5 5天天1621 T 由图由图6和表和表2可以看出：控制时间的提前或延后，对累计病人可以看出：控制时间的提前或延后，对累计病人 影响显著。影响显著。 说明控制时间说明控制时间T，对疫情的传播具有极大的敏感度和相关性。，对疫情的传播具有极大的敏感度和相关性。 第26页/共39页 7.2 收敛性讨论收敛性讨论

11、收敛的判别标准为当收敛的判别标准为当 时，各类人群数是否收敛。针对时，各类人群数是否收敛。针对 该模型，我们要判别控后模型方程组解的收敛性，该模型，我们要判别控后模型方程组解的收敛性，X(t)的取值的取值 至关重要至关重要,D(t)、R(t)以及以及Y(t)的收敛性都直接依赖于的收敛性都直接依赖于X(t)是否是否 收敛到收敛到0。 将控后模型中将控后模型中X(t)的解析解取极限得的解析解取极限得 : t bP TtLLap tt eTXtX )1 ( )()1( 21 lim)()(lim (5.23 ) t 该试为该试为t t的指数函数，其收敛性取决于自变量的系数。的指数函数，其收敛性取决于

12、自变量的系数。 当时当时 ， ，模型收敛，疫情能够得，模型收敛，疫情能够得 到控制。到控制。 当当 ， ，模型发散，疫情难以控，模型发散，疫情难以控 制。制。 0)1 ( 21 LLap 0)(lim tX t 0)1 ( 21 LLap 0)(lim tX t 分析发现，模型收敛得条件为分析发现，模型收敛得条件为 : 第27页/共39页 a LL p 21 1 (5.24) 其中，其中，245. 0a0.053 L 1 0695. 0 2 L 所以，要使疫情得到控制，必须使隔离强度所以，要使疫情得到控制，必须使隔离强度 。%50p 7.3 计算机模拟检验计算机模拟检验 为了检验模型求解结果的

13、正确性，我们进行了仿真模拟。模为了检验模型求解结果的正确性，我们进行了仿真模拟。模 拟结果如图拟结果如图7所示。所示。 第28页/共39页 图图7 计算机模拟图计算机模拟图 从以上曲线可以看出：计算机模拟结果与模型计算结果有着良从以上曲线可以看出：计算机模拟结果与模型计算结果有着良 好的一致性。本模型是可以信赖的好的一致性。本模型是可以信赖的SARS传播模型。传播模型。 第29页/共39页 8 模型的评价模型的评价 8.1 模型的优点模型的优点 本文中所建立的是一个连续的微分方程模型，它从机理上本文中所建立的是一个连续的微分方程模型，它从机理上 准确地描述了每一时刻的现有病人、治愈者、死亡者的

14、变化准确地描述了每一时刻的现有病人、治愈者、死亡者的变化 规律，消除了离散模型在处理非整数天数时的困难，机理合规律，消除了离散模型在处理非整数天数时的困难，机理合 理、方法直观、实用，结果与实际数据拟合的很好。理、方法直观、实用，结果与实际数据拟合的很好。 该模型根据附录给出的数据设置变量，各变量之间相互影该模型根据附录给出的数据设置变量，各变量之间相互影 响，关系明确；同时设定的参数合情合理，意义明确，消除响，关系明确；同时设定的参数合情合理，意义明确，消除 了人为因素对模型结果的影响。了人为因素对模型结果的影响。 建立的微分方程稳定性较好，给出了模型的收敛性条件，建立的微分方程稳定性较好，

15、给出了模型的收敛性条件， 即隔离强度达到多少才能控制疫情，对政府的决策有指导意即隔离强度达到多少才能控制疫情，对政府的决策有指导意 义。义。 该模型针对不同隔离强度进行分段研究，能够方便有效的该模型针对不同隔离强度进行分段研究，能够方便有效的 预测疫情趋势。欲对某疫区进行预测，只需对参数进行估计预测疫情趋势。欲对某疫区进行预测，只需对参数进行估计 ，给出初值带入方程即可。，给出初值带入方程即可。 第30页/共39页 8.2 模型的缺点模型的缺点 为了简化模型的复杂性，我们设定隔离强度，治愈为了简化模型的复杂性，我们设定隔离强度，治愈 率、死亡率等参数在一定阶段不发生变化，而实际情率、死亡率等参

16、数在一定阶段不发生变化，而实际情 况下，随着感染人数的减少，其会发生变化，还需要况下，随着感染人数的减少，其会发生变化，还需要 针对具体情况做具体分析。针对具体情况做具体分析。 模型给出的把人群的每一个个体、每一个地区视模型给出的把人群的每一个个体、每一个地区视 为相同的，忽略了性别、年龄结构以及地区差异对隔为相同的，忽略了性别、年龄结构以及地区差异对隔 离措施强度、控制时间等参数的影响等，而事实上，离措施强度、控制时间等参数的影响等，而事实上， 个体免疫力与个体年龄因素有关的，同时不同地域对个体免疫力与个体年龄因素有关的，同时不同地域对 疫情的趋势也有影响，有待改进。疫情的趋势也有影响，有待

17、改进。 我们忽略了人口流动给该地区传染病带来的影响我们忽略了人口流动给该地区传染病带来的影响 ，而实际上，而实际上SARS的传染源多为输入性病人。如果考虑的传染源多为输入性病人。如果考虑 人口流动，模型要加以改进。人口流动，模型要加以改进。 第31页/共39页 9 问题的推广与应用问题的推广与应用 传染病对人类的威胁与祸害由来已久，自从人类传染病对人类的威胁与祸害由来已久，自从人类 开始向文明社会迈进，病毒就已不断的袭击人类。当开始向文明社会迈进，病毒就已不断的袭击人类。当 某种传染传染病病菌首次侵入缺乏患病经验的种群时某种传染传染病病菌首次侵入缺乏患病经验的种群时 ，往往会爆发大规模的传入病

18、，造成严重后果。虽然，往往会爆发大规模的传入病，造成严重后果。虽然 随着人类的医学研究的发展与突破，已经能够有效的随着人类的医学研究的发展与突破，已经能够有效的 防治和控制许多传染病，但是由于病毒的遗传与变异防治和控制许多传染病，但是由于病毒的遗传与变异 ，可能会出现新的突发性传染病。，可能会出现新的突发性传染病。 第32页/共39页 如如2003年年SARS这一突发疫情袭击了世界上这一突发疫情袭击了世界上20 多个国家和地区，我国首当其冲。虽然早期的临床多个国家和地区，我国首当其冲。虽然早期的临床 经验对之有初步的认识，但对它的危害、传染性都经验对之有初步的认识，但对它的危害、传染性都 没有

19、完全认清，它的传播途径、传染性等都需要进没有完全认清，它的传播途径、传染性等都需要进 一步研究。同时突发疾病的不确定性严重影响了使一步研究。同时突发疾病的不确定性严重影响了使 我国经济的发展和人们生活、学习和工作各方面，我国经济的发展和人们生活、学习和工作各方面， 更重要得是更重要得是SARS带来的恐慌和政府为了预防传播扩带来的恐慌和政府为了预防传播扩 散采取的措施改变了原有社会的消费、投资、生产散采取的措施改变了原有社会的消费、投资、生产 等行为模式，对国民经济各方面如旅游、社会总需等行为模式，对国民经济各方面如旅游、社会总需 求、进出口贸易等造成的直接损失总额达到求、进出口贸易等造成的直接

20、损失总额达到2100亿亿 元，加上间接影响远远不止元，加上间接影响远远不止2100亿元。亿元。 第33页/共39页 大面积、大规模突发性传染病具有蔓延迅速、来势凶猛大面积、大规模突发性传染病具有蔓延迅速、来势凶猛 、难以预防与治疗的特点。、难以预防与治疗的特点。 传染病流行过程的研究与其它学传染病流行过程的研究与其它学 科有所不同，不能通过在人群中进行科学试验的方式获得科科有所不同，不能通过在人群中进行科学试验的方式获得科 学准确的数据。在人群中作传染病试验，来取得传染病流行学准确的数据。在人群中作传染病试验，来取得传染病流行 的数据的作法是极不人道也是不可行的。数学模型是研究传的数据的作法是

21、极不人道也是不可行的。数学模型是研究传 染病的重要工具它有助于研究影响疾病传播的社会和生物机染病的重要工具它有助于研究影响疾病传播的社会和生物机 理的相互作用，能使我们判断流行病传播过程各种因素的相理的相互作用，能使我们判断流行病传播过程各种因素的相 互作用；能够帮助政府、医学界和科学界提供治疗和控制措互作用；能够帮助政府、医学界和科学界提供治疗和控制措 施由于上述原因，我们通常主要依据机理的方法来建力数学施由于上述原因，我们通常主要依据机理的方法来建力数学 模型。模型。 我们可以通过收集分析从已有的传染病观测资料中获取我们可以通过收集分析从已有的传染病观测资料中获取 的相关数据、资料，找出其

22、变化和传播的规律，建立数学模的相关数据、资料，找出其变化和传播的规律，建立数学模 型。由公布的历史数据，确定模型中的固定参数，再通过改型。由公布的历史数据，确定模型中的固定参数，再通过改 变可控参数：隔离措施强度和控制时间来改变患者的增长趋变可控参数：隔离措施强度和控制时间来改变患者的增长趋 势，从而为有效的控制疫情具有指导作用。势，从而为有效的控制疫情具有指导作用。 第34页/共39页 本文建立的本文建立的SARS模型根据现有的数据资料设置变量模型根据现有的数据资料设置变量 ，通过分析各类人群在传播过程中的流量平衡，建，通过分析各类人群在传播过程中的流量平衡，建 立各类人群的微分方程。并通过

23、数据拟合得到影响立各类人群的微分方程。并通过数据拟合得到影响 传染病传播的固定参数，使得患病人数的计算值与传染病传播的固定参数，使得患病人数的计算值与 实际的统计值基本吻合。同时调整可控参数，使之实际的统计值基本吻合。同时调整可控参数，使之 达到一定水平就能使疫情得到控制。并用此可控参达到一定水平就能使疫情得到控制。并用此可控参 数未来的疫情态势作预测，从而指导实践对政府对数未来的疫情态势作预测，从而指导实践对政府对 疫情的控制有知指导意义。疫情的控制有知指导意义。 社会、季节、风俗习惯等因素都会影响传染病社会、季节、风俗习惯等因素都会影响传染病 的传播，传染率、病人患病后入院时间、传染时间的传播，传染率、病人患病后入院时间、传染时间 也是疫情的重要控制参数，但最直接的因素是隔离也是疫情的