householder和givens变换PPT学习教案

1、会计学1 householder和和givens变换变换 定义定义 设设 是一个单位向量，令是一个单位向量，令 n C H IH2)( 则称则称H H是一个是一个HouseholderHouseholder矩阵或矩阵或HouseholderHouseholder变换。变换。 性质性质5.1.1 5.1.1 设设H H是一个是一个HouseholderHouseholder矩阵，则矩阵，则 （1 1）H H是是HermiteHermite矩阵，矩阵， ； （2 2）H H是酉矩阵，是酉矩阵， ； （3 3）H H是是对合对合矩阵，矩阵， ； （4 4）H H是自逆矩阵是自逆矩阵 （5 5）dia

2、gdiag( (I I, ,H H ) ) 也是一个也是一个HouseholderHouseholder矩阵矩阵 ; ; （6 6）det Hdet H = -1 = -1。 HH H IHH H IH 2 HH 1 第1页/共7页 其中其中 为实数。为实数。 定理定理 设设 是一个单位向量，则对于任意的是一个单位向量，则对于任意的 n Cu n Cx auHx uaxxa H , 2 n C 当当 时，取单位向量时，取单位向量 使使 0 aux n C0 x H auxxxxIxH HH )(22)( 存在存在HouseholderHouseholder矩阵矩阵H H，使得，使得 证明证明

3、当当x=0 x=0时，任取单位向量时，任取单位向量 则则 则则 002)( H IxH 第2页/共7页 所以所以 当当 时，取时，取 aux , 2 aux aux x aux auxaux IxIxH H T 2 2 )( 22)( uuaxuauaxxxauxaux HHHHH 2 )()( 由于由于 auaux auxaux xaux xxH H H )( )()( )( 2)( )( )()( )( 2aux auxaux xaux x H H xauxxuaxx xxuauaxxx HHH H H HH )(2)(2 2 2 第3页/共7页 推论推论1 1 对于任意的对于任意的 ，存

4、在，存在HouseholderHouseholder矩阵矩阵H H， 使使 n Cx 1 aeHx其中其中 为实数。为实数。 1 2 ,eaxxa H ) 1,(,2)(uuRuuuIH TnT 1 aeHx 2 xa 推论推论2 2 对于任意的对于任意的 ，存在，存在HouseholderHouseholder矩阵矩阵H H n Rx 上述结论表明，可以利用上述结论表明，可以利用HouseholderHouseholder变换将任意向量变换将任意向量 化为与第一自然基向量化为与第一自然基向量 平行的向量（共线）平行的向量（共线）。 n Rx 1 e ，其中，其中使得使得 得得 第4页/共7页 例例2 2 用用HouseholderHouseholder变换将向量变换将向量 化为与化为与 平行的向量。平行的向量。 Tiix2,2 3 2 x Te0, 0, 1 1 iex H 2 1 iaeaxxa H 2, 1 2 ia3 2 5 30 1 2 1 1 i i aex aex 1 3ieHx 因此因此 解解 由于由于 为了使为了使为实数，取为实数，取 令令 11210 2145 10510 15 1 2 ii i i IH H 则则 也可取也可取 或或3aia3说明说明 第5页/共7页 2021-7-25 1、Givens矩阵和Givens变换 从上图中我们可以看出旋转变换并