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文档简介
1、振动力学1 第四章 振动力学2 k c m 建模方法建模方法1: 将车、人等全部作为一个质量考虑,并考虑弹性和阻尼将车、人等全部作为一个质量考虑,并考虑弹性和阻尼 要求:对汽车的上下振动进行动力学建模要求:对汽车的上下振动进行动力学建模 例子:汽车行驶在路面上会产生上下振动例子:汽车行驶在路面上会产生上下振动 缺点:模型粗糙,没有考虑人与车、车与车轮、车轮与地面之缺点:模型粗糙,没有考虑人与车、车与车轮、车轮与地面之 间的相互影响间的相互影响 优点:模型简单(单自由度)优点:模型简单(单自由度) 分析:人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合分析:人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存
2、在耦合 振动力学3 k2 c2 m车 车 m人 人 k1c1 建模方法建模方法2: 车、人的质量分别考虑,并考虑各自的车、人的质量分别考虑,并考虑各自的 弹性和阻尼弹性和阻尼 优点:模型较为精确,考虑了人与车之间的耦合优点:模型较为精确,考虑了人与车之间的耦合 缺点:没有考虑车与车轮、车轮与地面之间的相互影响缺点:没有考虑车与车轮、车轮与地面之间的相互影响 需两个独立坐标需两个独立坐标 振动力学4 m人 人 k1 c1 k2 c2 m k3 c3 k2c2 k3 c3 m车 车 m轮 轮 m轮 轮 建模方法建模方法3: 车、人、车轮的质量分别考虑,车、人、车轮的质量分别考虑, 并考虑各自的弹性
3、和阻尼并考虑各自的弹性和阻尼 优点:分别考虑了人与车、车与车轮、车轮与地面之间的相优点:分别考虑了人与车、车与车轮、车轮与地面之间的相 互耦合,模型较为精确互耦合,模型较为精确 问题:如何描述各个质量之间的相互耦合效应?问题:如何描述各个质量之间的相互耦合效应? 需多个独立坐标需多个独立坐标 振动力学5 振动力学6 振动力学7 m1m2 k1k2 k3 x1x2 k1x1 k2(x1-x2) 11x m m1 k2(x1-x2) 22x m m2 k3x2 0)( 2121111 xxkxkxm 0)( 2321222 xkxxkxm 写成矩阵形式:写成矩阵形式: 0 KxxM 其中:其中:
4、2 1 0 0 m m M 322 221 kkk kkk K T xx 21 x 实例:实例: 振动力学8 0 21211111 xkxkxm 0 22212122 xkxkxm 找x1与x2同步运动的解: )(),( 2211 tfuxtfux 代入方程得:代入方程得: 2221 1211 322 221 kk kk kkk kkk K ,令 1121 kkk, 21122 kkk。 2232 kkk 0)()()( 21211111 tfukuktfum 0)()()( 22212122 tfukuktfum 22 222121 11 212111 )( )( um ukuk um uk
5、uk tf tf 振动力学9 与单自由度振动的方程一样,要有振动,必须为正实数。 0)()(tftf 代入方程得:代入方程得: 0)( 21211 2 11 ukumk 0)( 2 2 2221 121 2 112 mkk kmk )sin()(tCtf而且解为: 为初相位角。为振动频率,为任意常数,其中:C )2 , 1()sin()(itCutfux iii , 0)( 22 2 22121 umkuk 振动力学10 0)( 2 2 2221 121 2 112 mkk kmk 0)()( 2 122211 2 112221 4 21 2 kkkkmkmmm 21 2 122211 2 2
6、1 112221 21 112221 2 2 2 1 4)( 2 1 2 1 mm kkk mm kmkm mm kmkm 2 12 2 232212211 )(kkkkkkkk )2 , 1(0 2 i i 频率。为正实根,即两个固有)2 , 1( i i ,得到:代入方程每个)101 . 4( i 0)( 21211 2 11 ukumk i 2 2 22 12 12 1 2 11 1 2 mk k k mk u u i i 振动力学11 2 2 122 12 12 1 2 111 )1( 1 )1( 2 1 mk k k mk u u r 得: 2 2 222 12 12 1 2 211
7、 )2( 1 )2( 2 2 mk k k mk u u r 1 )1( 1 )1( 2 )1( 1)1( 1 r u u u u得矩阵: 2 )2( 1 )2( 2 )2( 1)2( 1 r u u u u )151 . 4(a )151 . 4(b 。、量,分别对应于称为振型向量或模态向、 21 )2()1( uu )2 , 1( )sin( )sin( )( 2 )( 2 )( 1 )( 1 i tuCx tuCx ii i i i ii i i i i , , :对每个 振动力学12 )sin( 1 )( )( )( )( 11 1 11 )1( )1( 2 )1( 1)1( t r
8、Ctf tx tx tux得:)161 . 4(a )161 . 4(b 实际振动为: 由初始条件确定。、和、其中 2121 CC )sin( 1 )( )( )( )( 22 2 22 )2( )2( 2 )2( 1)2( t r Ctf tx tx tux )()()( )2()2( tttxxx )171 . 4()sin( 1 )sin( 1 22 2 211 1 1 t r Ct r C 振动力学13 m1m2 k1k2 k3 x1x2 解:方程解:方程 0 KxxM 其中:其中: m m 20 0 M kk kk 3 2 K 例例4.1-1: ,mmmm2, 21 kkkkk2 3
9、21 , 。求固有频率和固有振型 0 23 2 )( 2 2 2 2 2221 121 2 112 mkk kmk mkk kmk 0572)( 22422 kmkm mk mk m k 2/5 / 10) 2 7 ( 2 1 4 7 2 2 2 2 1 m k m k 2 5 , 21 振动力学14 m1m2 k1k2 k3 x1x2 m k m k m k 5811. 1 2 5 , 21 1 2 12 1 2 111 )1( 1 )1( 2 1 k kk k mk u u r 得: 5 . 0 2/52 12 1 2 211 )2( 1 )2( 2 2 k kk k mk u u r 1
10、 1 )1( 1 )1( 2 )1( 1)1( u u u u得固有振型: 5 . 0 1 )2( 1 )2( 2 )2( 1)2( u u u u )1( u 11 m k 1 )2( u 1 -0.5 m k 2 5 2 节点 振动力学15 解:方程解:方程 0 KxxM 其中:其中: m m 20 0 M kk kk 3 2 K 例例4.1-2: ,mmmm2, 21 kkkkk2 321 , 。求固有频率和固有振型 0 23 2 )( 2 2 2 2 2221 121 2 112 mkk kmk mkk kmk 0572)( 22422 kmkm mk mk m k 2/5 / 10)
11、 2 7 ( 2 1 4 7 2 2 2 2 1 m k m k 2 5 , 21 振动力学16 例例4.1-2:求扭转振动系统的固有频率和固有振型:求扭转振动系统的固有频率和固有振型 两圆盘两圆盘 转动惯量转动惯量 , 21,I I 轴的扭转刚度轴的扭转刚度 k 1 I 2 2 I k 1 11 I )( 21 k 22 I )( 21 k 建立方程:建立方程: )( )( 2122 1211 kI kI 0 0 2122 2111 kkI kkI )sin( )sin( 22 11 t t 设 代入微分方程组,得 振动力学17 1 I 2 2 I k 1 特征方程:特征方程: 0)( 0)
12、( 22 2 1 211 2 Ikk kIk :相应的振幅比 ,这里10 11 r 0)( 2 2 2 1 2 kIkIk 0)( 2 21 4 21 IIkII 特征根:特征根: , 0 21 21 2 2 2 1 II II k 2 11 2 2 )2( 1 )2( 2 2 I I k Ik r , 1 1 2 1 )1( 1 )1( 2 1 k Ik r ,轴段无变形。振动时,转角是相同的说明以 1 不是振动。这实际上是刚体转动, 振动力学18 1 I 2 2 I k 1 21 1 2 21 2 1 ,: II lI l II lI l 节面的位置 特性。改变该扭振系统的振动在节面处进行
13、固定,不 节面处始终保持不动。节面处始终保持不动。 节面 1 2 2 1 I I l l :振动时,固有振型如图以 2 1 2 1 I I l 1 l 2 l 向扭振的单自个以同一频率按相反方即该扭振系统可看成两 由度系统。 振动力学19 k1 k2 A BCO a l1 l2 O0 x 振动力学20 22 2 1 2 1 CcC IxmT 22 Jaxm 2 1 )( 2 1 k1 k2 A BCO a l1 l2 O0 x sinaxxc axxc 振动力学21 2 2 2 1BA xkxkV 2 1 2 1 2 22 2 11 )( 2 1 )( 2 1 lxklxk k1 k2 A B
14、CO a l1 l2 O0 x sin 1 lxxA sin 2 lxxB 1 lxxA 2 lxxB 振动力学22 )21(, iQ q L q L dt d i ii 2个 自由度系统的拉格朗日方程:自由度系统的拉格朗日方程: i q :广义坐标:广义坐标 :拉格朗日函数:拉格朗日函数LVTL i Q:对应于非保守广义力:对应于非保守广义力 22 JaxmT 2 1 )( 2 1 2 22 2 11 )( 2 1 )( 2 1 lxklxkV 此处为x和。 自由振动时,Qi为0。 代入拉格朗日方程,得:代入拉格朗日方程,得: 1 )()(Qlklkxkkmaxm 112221 2 2 22
15、 2 111122 2 QlklkxlklkmaJxma)()()( 振动力学23 代入拉格朗日方程,得:代入拉格朗日方程,得: 矩阵形式:矩阵形式: 2 1 2 22 2 111122 112221 2 Q Qx lklklklk lklkkkx maJma mam 存在惯性耦合存在惯性耦合 存在弹性耦合存在弹性耦合 1 )()(Qlklkxkkmaxm 112221 2 2 22 2 111122 2 QlklkxlklkmaJxma)()()( )21(, iQ q L q L dt d i ii 2个自由度系统的拉格朗日方程:自由度系统的拉格朗日方程: 22 JaxmT 2 1 )(
16、2 1 2 22 2 11 )( 2 1 )( 2 1 lxklxkV 振动力学24 如果如果O点选在质心点选在质心C: 只存在弹性耦合,而不出现惯性耦合只存在弹性耦合,而不出现惯性耦合 0a 21 QQ、:作用在质心上的外力合力和合力矩:作用在质心上的外力合力和合力矩 2 1 2 22 2 111122 112221 2 Q Qx lklklklk lklkkkx maJma mam 2 1 2 22 2 111122 112221 Q Qx lklklklk lklkkkx J m 0 0 振动力学25 如果如果O点选在这样一个特殊位置,使得:点选在这样一个特殊位置,使得: 只存在惯性耦合
17、,而不出现弹性耦合只存在惯性耦合,而不出现弹性耦合 1 2 2 1 k k l l 2 1 2 22 2 111122 112221 2 Q Qx lklklklk lklkkkx maJma mam 2 1 2 22 2 11 21 2 0 0 Q Qx lklk kkx maJma mam 这个特殊位置称为系统的刚度中心这个特殊位置称为系统的刚度中心 振动力学26 m1m2 k1k2 m3 k3 x1x2x3 2 33 2 22 2 11 2 1 2 1 2 1 xmxmxmT 2 233 2 122 2 11 )( 2 1 )( 2 1 2 1 xxkxxkxkV 设某一瞬时:设某一瞬时
18、: 321 mmm、 321 xxx、分别有位移分别有位移 321 xxx、速度为速度为 振动力学27 i Q:对应于非保守广义力:对应于非保守广义力自由振动时,Qi为0。 代入拉格朗日方程:代入拉格朗日方程: )3 , 2 , 1( iQ q L q L dt d i ii VTL 2 33 2 22 2 11 2 1 2 1 2 1 xmxmxmT 11221111 )(Qxxkxkxm 2 233 2 122 2 11 )( 2 1 )( 2 1 2 1 xxkxxkxkV 223312222 )()(Qxxkxxkxm 323333 )(Qxxkxm 得:得: 振动力学28 11221
19、111 )(Qxxkxkxm 223312222 )()(Qxxkxxkxm 323333 )(Qxxkxm 写成矩阵形式:写成矩阵形式: QKxxM 其中:其中: 3 2 1 00 00 00 m m m M 33 3322 221 0 0 kk kkkk kkk K T xxx 321 x T QQQ 321 Q 振动力学29 受力分析:受力分析: Q1(t) k1x1 k2(x1-x2) 11x m m1 Q2(t) k2(x1-x2) 22x m m2 k3(x2 x3) 设某一瞬时:设某一瞬时: 321 mmm、 321 xxx、 分别有位移分别有位移 321 xxx 、 加速度为加
20、速度为 m1m2 k1k2 m3 k3 x1x2x3 Q3(t) k3(x2-x3) 33x m m3 振动力学30 Q1(t) k1x1 k2(x1-x2) 11x m m1 Q2(t) k2(x1-x2) 22x m m2 k3(x2 x3) Q3(t) k3(x2-x3) 33x m m3 12121111 )(Qxxkxkxm 232321222 )()(Qxxkxxkxm 332333 )(Qxxkxm 写成矩阵形式:写成矩阵形式: QKxxM 其中:其中: 3 2 1 00 00 00 m m m M 33 3322 221 0 0 kk kkkk kkk K T xxx 321
21、x T QQQ 321 Q 振动力学31 QKqqM 的平衡。和非保守力、惯性力即弹性恢复力QqMKq ),.,2 , 1()( 1 niQqkqm i n j jijjij ),.,(niQqk i n j jij 21 1 振动力学32 ),.,(niQqk i n j jij 21 1 振动力学33 m1m2 k1k2 m3 k3 x1x2x3 令令 T 001x 2111 kkk 221 kk 0 31 k 令令 T 010 x 212 kk 3222 kkk 332 kk 令令 T 100 x0 13 k 323 kk 333 kk 得刚度矩阵:得刚度矩阵: 33 3322 221
22、0 0 kk kkkk kkk K 振动力学34 QKqqM 考虑考虑M: n Rq 假设系统受到外力作用的瞬时,只产生加速度而不产生任何位移假设系统受到外力作用的瞬时,只产生加速度而不产生任何位移 即:即: q = 0 QqM 则有:则有: nj j j nnnjn nj nj n m m m mmm mmm mmm Q Q Q Q 2 1 1 2221 1111 2 1 0 0 1 0 0 . . . . 有了刚度矩阵,还需要质量矩阵,才能写出作用力方程:有了刚度矩阵,还需要质量矩阵,才能写出作用力方程: 若只有qj =1,其它q= 0 振动力学35 使系统只在第使系统只在第j个坐标个坐标
23、 上产生单位加速度,上产生单位加速度, 而在其他坐标上不产而在其他坐标上不产 生加速度所施加的一生加速度所施加的一 组外力,正是质量矩组外力,正是质量矩 阵阵M的第的第j列列 。 结论:质量矩阵结论:质量矩阵M中的元素中的元素 是使系统仅在第是使系统仅在第j个坐标上产生个坐标上产生 单位加速度而相应于第单位加速度而相应于第i个坐标上所需施加的力个坐标上所需施加的力 ij m 根据其物理意义可以直接求出根据其物理意义可以直接求出质量影响系数质量影响系数mij和和刚度影响系数刚度影响系数 kij。然后写出矩阵。然后写出矩阵 M 和和 K,从而建立作用力方程,这种方法称,从而建立作用力方程,这种方法
24、称 为为影响系数方法影响系数方法 。 nj j j nnnjn nj nj n m m m mmm mmm mmm Q Q Q Q 2 1 1 2221 1111 2 1 0 0 1 0 0 . . . . 振动力学36 m1m2 k1k2 m3 k3 x1x2x3 令令 T 001 x 111111 mmxmQ 0 21 m0 31 m 令令 T 010 x 121 0mQ 2222 mmQ 0 32 m 令令 T 100 x 0 13 m 0 23 m 333 mm 得质量矩阵:得质量矩阵: 3 2 1 00 00 00 m m m M 质量矩阵质量矩阵M中的元素中的元素mij是使系统仅在
25、第是使系统仅在第j个坐标上产生单位加个坐标上产生单位加 速度而相应于第速度而相应于第i个坐标上所需施加的力个坐标上所需施加的力Qi。 有了刚度矩阵和质有了刚度矩阵和质 量矩阵就可以写出量矩阵就可以写出 动力学方程。动力学方程。 振动力学37 柔度矩阵 将动力学方程: QKqqM 各项左乘K的逆阵K-1: QKKqKqMK 111 FQqqD 其中,F=K-1称为系统的柔度矩阵柔度矩阵,其元素fij(i,j=1,2,n)称为 柔度影响系数柔度影响系数。 D=FM称为系统的系统的动力矩阵动力矩阵。 考虑在静变形时,各广义加速度均为考虑在静变形时,各广义加速度均为0,方程变为:,方程变为: FQq
26、),.,2 , 1(: 1 niqQf i n j jij 即 这又称为这又称为位移方程位移方程 振动力学38 ),.,2 , 1( 1 niqQf i n j jij 因此,因此,柔度影响系数柔度影响系数fij可理解为:对系统仅施加与可理解为:对系统仅施加与qj坐标坐标 对应的单位广义力时,沿对应的单位广义力时,沿qi坐标所产生的位移。坐标所产生的位移。 柔度矩阵也是对称矩阵,它与刚度矩阵互为逆阵,若刚度柔度矩阵也是对称矩阵,它与刚度矩阵互为逆阵,若刚度 矩阵正定,柔度矩阵也正定。矩阵正定,柔度矩阵也正定。 但动力矩阵但动力矩阵D=FM通常不是对称矩阵。通常不是对称矩阵。 若令若令Q=0,得
27、到保守系统自由振动的另一种形式的动力学,得到保守系统自由振动的另一种形式的动力学 方程。方程。 0qqD 振动力学39 对对3个自由度的质量个自由度的质量弹簧系统,可以利用柔度影响系数弹簧系统,可以利用柔度影响系数 的物理意义求出柔度矩阵。的物理意义求出柔度矩阵。 m1m2 k1k2 m3 k3 x1x2x3 ) 3 , 2 , 1( 3 1 iqQf i j jij 令:令:0, 1 321 QQQ 1 111 1 k xf 1 221 1 k xf 1 331 1 k xf 令:令: 0, 1 312 QQQ 1 112 1 k xf 21 222 11 kk xf 21 332 11 k
28、k xf ii xf 1 振动力学40 令:令:0, 1 213 QQQ 1 113 1 k xf 21 223 11 kk xf 321 333 111 kkk xf 得到柔度矩阵:得到柔度矩阵: 321211 21211 111 111111 11111 111 kkkkkk kkkkk kkk F 1 111 1 k xf 1 221 1 k xf 1 331 1 k xf 1 112 1 k xf 21 222 11 kk xf 21 332 11 kk xf m1m2 k1k2 m3 k3 x1x2x3 振动力学41 动力矩阵:动力矩阵: ) 111 () 11 ( ) 11 ()
29、11 ( 321 3 21 2 1 1 21 3 21 2 1 1 1 3 1 2 1 1 kkk m kk m k m kk m kk m k m k m k m k m FMD 柔度影响系数更容易通过实验得出。柔度影响系数更容易通过实验得出。 弹性梁的柔度影响系数可直接引自材料力学公式。弹性梁的柔度影响系数可直接引自材料力学公式。 这个动力矩阵就不是对称矩阵。这个动力矩阵就不是对称矩阵。 振动力学42 若上例最左边一个弹簧取消,则刚度矩阵变为:若上例最左边一个弹簧取消,则刚度矩阵变为: k1 m1m2 k2 m3 k3 x1x2x3 ) 3 , 2 , 1( 3 1 ixQf i j ji
30、j 令:令:0, 1 321 QQQ 33 3322 22 0 0 kk kkkk kk K 这时,这时, 0K 即刚度矩阵为奇异阵,其逆矩阵即柔度矩阵不存在。即刚度矩阵为奇异阵,其逆矩阵即柔度矩阵不存在。 其实,由于左端的约束取消其实,由于左端的约束取消 后,系统处于游离状态。对后,系统处于游离状态。对 任一个物块施加外力,各静任一个物块施加外力,各静 位移均是不定值,即求不得位移均是不定值,即求不得 柔度影响系数。柔度影响系数。 其弹性位移其弹性位移xi均不能确定。均不能确定。 这种系统称为这种系统称为半正定系统半正定系统。 振动力学43 各质量上作用垂直力为Pi,垂直位移为xi (i=1
31、,2,3) 。 忽略梁的质量,求柔度矩阵。忽略梁的质量,求柔度矩阵。 (质量连续分布的弹性梁的简化(质量连续分布的弹性梁的简化 ) 假设假设 321 PPP、是常力是常力 以准静态方式作用在梁上以准静态方式作用在梁上 梁只产生位移(即挠度),不产生加速度。梁只产生位移(即挠度),不产生加速度。 321 mmm、 321 xxx、取质量取质量的静平衡位置为坐标的静平衡位置为坐标的原点。的原点。 再来看弹性梁问题再来看弹性梁问题 x1 m1 x3 m3 P1 P3 x2 m2 P2 ll ll 弹性梁跨度为4l,抗 弯刚度为EI,均布3个 集中质量mi(i=1,2,3) , 振动力学44 11 3
32、 1 12 9 f EI l xm1 位移:位移: 21 3 2 12 11 f EI l x m2 位移:位移: 时、01 321 PPP(1) 时、10 231 PPP(2) f11f21 P1=1 f31 m3 位移:位移: 31 3 3 12 7 f EI l x m1 位移:位移: 12 3 1 12 11 f EI l x 22 3 2 12 16 f EI l xm2 位移:位移: m3 位移:位移: 32 3 3 12 11 f EI l x f12f22 P2=1 f32 (3)利用对称性: 113332233113 ffffff, 振动力学45 得到柔度矩阵: 9117 1
33、11611 7119 12 3 EI l F x1 m1 x3 m3 P1 P3 x2 m2 P2 ll ll 用质量影响系数的物理意义可求出质量矩阵。 令令 T 001 x 11111 mxmQ 0 21 m0 31 m 令令 T 010 x 121 0mQ 2222 mmQ 0 32 m 令令 T 100 x 131 0mQ0 23 m 333 mm 质量矩阵质量矩阵M中的元素中的元素mij是使系统仅在第是使系统仅在第j个坐标上产生单位加个坐标上产生单位加 速度而相应于第速度而相应于第i个坐标上所需施加的力个坐标上所需施加的力Qi。 振动力学46 9117 111611 7119 12 3
34、 EI l F x1 m1 x3 m3 P1 P3 x2 m2 P2 ll ll 3 2 1 00 00 00 m m m M 321 321 321 3 9117 111611 7119 12 mmm mmm mmm EI l FMD 可以写出动力学方程: FQqqD T PPP 321 Q 321 321 321 3 9117 111611 7119 12 PPP PPP PPP EI l FQ 振动力学47 动力学方程可统一表示为:动力学方程可统一表示为: QXKXM 位移向量位移向量 加速度向量加速度向量 质量矩阵质量矩阵 刚度矩阵刚度矩阵 激励力向量激励力向量 若系统有若系统有 n
35、个自由度,则各项皆为个自由度,则各项皆为 n 维维 质量矩阵、刚度矩阵、柔度矩阵的对称性、正定性质量矩阵、刚度矩阵、柔度矩阵的对称性、正定性 本节小结:本节小结: FQqqD 振动力学48 本节作业:本节作业: 5.1;5.2 振动力学49 例例1:双质量弹簧系统,两质量分别受到激振力:双质量弹簧系统,两质量分别受到激振力 不计摩擦和其他形式的阻尼不计摩擦和其他形式的阻尼 试建立系统的动力学方程试建立系统的动力学方程 m1m2 k3k1k2 x1x2 P1(t) P2(t) 振动力学50 解:解: , 1 x 2 x 21,m m的原点分别取在的原点分别取在 的静平衡位置的静平衡位置 建立坐标
36、:建立坐标: 设某一瞬时:设某一瞬时: 21 mm、 、 1 x 2 x上分别有位移上分别有位移 21 xx 、 加速度加速度 受力分析:受力分析: P1(t) k1x1 k2(x1-x2) 11x m m1 P2(t) k2(x1-x2) 22x m m2 k3x2 m1m2 k3k1k2 x1x2 P1(t) P2(t) 振动力学51 建立方程:建立方程: )()( )()( 23321222 12121111 tPxkxxkxm tPxxkxkxm 矩阵形式:矩阵形式: )( )( 0 0 2 1 2 1 322 221 2 1 2 1 tP tP x x kkk kkk x x m m
37、 牛顿定理牛顿定理 坐标间的耦合项坐标间的耦合项 P1(t) k1x1 k2(x1-x2) 11x m m1 P2(t) k2(x1-x2) 22x m m2 k3x2 振动力学52 例例2:转动运动:转动运动 两圆盘两圆盘 转动惯量转动惯量 21,I I 轴的三个段的扭转刚度轴的三个段的扭转刚度 321 , kkk 试建立系统的动力学方程试建立系统的动力学方程 1 k 1 I 2 2 I 2 k 3 k )( 1 tM)( 2 tM 1 )(),( 21 tMtM外力矩外力矩 振动力学53 解:解: 建立坐标:建立坐标: 角位移角位移 21, 设某一瞬时:设某一瞬时: 角加速度角加速度 21
38、, 受力分析:受力分析: 11 k 11 I )( 1 tM )( 212 k 22 I )( 2 tM 33 k )( 122 k 1 k 1 I 2 2 I 2 k 3 k )( 1 tM)( 2 tM 1 振动力学54 建立方程:建立方程: )()( )()( 2332222 12121111 1 tMkkI tMkkI 矩阵形式:矩阵形式: )( )( 0 0 2 1 2 1 322 221 2 1 2 1 tM tM kkk kkk I I 坐标间的耦合项坐标间的耦合项 11 k 11 I )( 1 tM )( 212 k 22 I )( 2 tM 33 k )( 122 k 振动力
39、学55 )( )( 0 0 2 1 2 1 322 221 2 1 2 1 tP tP x x kkk kkk x x m m )( )( 0 0 2 1 2 1 322 221 2 1 2 1 tM tM kkk kkk I I 多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同 如同在单自由度系统中做过的那样,在多自由度系统中如同在单自由度系统中做过的那样,在多自由度系统中 也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。 m1m2 k3k1k2 P1(t)P2(t) 1 k 1 I 2 I 2 k
40、3 k )( 1 tM )( 2 tM 振动力学56 小结:小结: )( )( 0 0 2 1 2 1 322 221 2 1 2 1 tP tP x x kkk kkk x x m m )( )( 0 0 2 1 2 1 322 221 2 1 2 1 tM tM kkk kkk I I 可统一表示为:可统一表示为: )(tPXKXM 例例1: 例例2: 作用力方程作用力方程 位移向量位移向量 加速度向量加速度向量 质量矩阵质量矩阵 刚度矩阵刚度矩阵 激励力向量激励力向量 若系统有若系统有 n 个自由度,则各项皆为个自由度,则各项皆为 n 维维 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度
41、系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 振动力学57 刚度矩阵和质量矩阵 当当 M、K 确定后,系统动力方程可完全确定确定后,系统动力方程可完全确定 M、K 该如何确定?该如何确定? )(tPKXXM 作用力方程:作用力方程: n RX 先讨论先讨论 K 加速度为零加速度为零 0X )(tKPX 则:则: 假设外力是以准静态方式施加于系统假设外力是以准静态方式施加于系统 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 振动力学58 )(tPKXXM 作用力方程:作用力方程: n RX )(tPKX 假设作用于系统的是这样一组外力,它们使系统只在第假设作
42、用于系统的是这样一组外力,它们使系统只在第 j 个个 坐标上产生单位位移,而在其他各个坐标上不产生位移坐标上产生单位位移,而在其他各个坐标上不产生位移 即即 : TT njjj xxxxx0,.,0 , 1 , 0,.,0,.,., 111 X nj j j nnnjn nj nj n k k k kkk kkk kkk tP tP tP t 2 1 1 2221 1111 2 1 0 0 1 0 0 . . . . )( )( )( )(P代入,有代入,有 : 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 振动力学59 nj j j nnnjn nj
43、 nj n k k k kkk kkk kkk tP tP tP t 2 1 1 2221 1111 2 1 0 0 1 0 0 . . . . )( )( )( )(P 所施加的这组外力数值上正是刚度矩阵所施加的这组外力数值上正是刚度矩阵 K 的第的第 j 列列 ij k(i=1n) :在第 在第 i 个坐标上施加的力个坐标上施加的力 结论:刚度矩阵结论:刚度矩阵 K 中的元素中的元素 kij 是使系统仅在第是使系统仅在第 j 个坐标上产生个坐标上产生 单位位移而相应于第单位位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力个坐标上所需施加的力 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力
44、学方程多自由度系统的动力学方程 振动力学60 )(tPKXXM 作用力方程:作用力方程: n R X 讨论讨论 M 假设系统受到外力作用的瞬时,只产生加速度而不产生任何位移假设系统受到外力作用的瞬时,只产生加速度而不产生任何位移 即:即: X = 0 )(tPXM 则有:则有: nj j j nnnjn nj nj n m m m mmm mmm mmm tP tP tP t 2 1 1 2221 1111 2 1 0 0 1 0 0 . . . . )( )( )( )(P 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 振动力学61 nj j j n
45、nnjn nj nj n m m m mmm mmm mmm tP tP tP t 2 1 1 2221 1111 2 1 0 0 1 0 0 . . . . )( )( )( )(P 使系统只在第使系统只在第j个坐标上产生单位加速度,而在其他坐标上不产个坐标上产生单位加速度,而在其他坐标上不产 生加速度所施加的一组外力,正是质量矩阵生加速度所施加的一组外力,正是质量矩阵M的第的第j列列 结论:质量矩阵结论:质量矩阵M中的元素中的元素 是使系统仅在第是使系统仅在第j个坐标上产生单个坐标上产生单 位加速度而相应于第位加速度而相应于第i个坐标上所需施加的力个坐标上所需施加的力 ij m 、 ij
46、m ij k 又分别称为又分别称为质量影响系数质量影响系数和和刚度影响系数刚度影响系数。根据它们的物理。根据它们的物理 意义可以直接写出矩阵意义可以直接写出矩阵 M 和和 K,从而建立作用力方程,这种方,从而建立作用力方程,这种方 法称为法称为影响系数方法影响系数方法 。 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 振动力学62 例:写出例:写出 M 、 K 及及 运动微分方程运动微分方程 m1 m2k3k1k2 P1(t) P2(t) m3 k4 k5 k6 P3(t) 解:解:先只考虑静态先只考虑静态 令令 T 001 X 2111 kkk 22
47、1 kk 0 31 k 令令 T 010 X 212 kk 653222 kkkkk 332 kk 令令 T 100 X 0 13 k 323 kk 4333 kkk 刚度矩阵:刚度矩阵: 433 365322 221 0 0 kkk kkkkkk kkk K 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 振动力学63 只考虑动态只考虑动态 令令 T 001 X 111 mm 0 21 m0 31 m 有:有: 令令 T 010 X 0 12 m 222 mm 0 32 m 有:有: 令令 T 100 X 0 13 m 0 23 m 333 mm 有:
48、有: m1 m2k3k1k2 P1(t) P2(t) m3 k4 k5 k6 P3(t) 质量矩阵:质量矩阵: 3 2 1 00 00 00 m m m M 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 振动力学64 433 365322 221 0 0 kkk kkkkkk kkk K 3 2 1 00 00 00 m m m M )( )( )( 0 0 00 00 00 3 2 1 3 2 1 433 365322 221 3 2 1 3 2 1 tP tP tP x x x kkk kkkkkk kkk x x x m m m 运动微分方程:运
49、动微分方程: m1 m2k3k1k2 P1(t) P2(t) m3 k4 k5 k6 P3(t) )(tPKXXM 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 振动力学65 21,m m 21,c c 21,I I 例:双混合摆,两刚体质量例:双混合摆,两刚体质量 质心质心 绕通过自身质心的绕通过自身质心的 z 轴的转动惯量轴的转动惯量 21 、 求:求: 以微小转角以微小转角为坐标,为坐标,写出在写出在x-y平面内摆动的作用力方程平面内摆动的作用力方程 两刚体质量两刚体质量 1 I h1 C1 C2 h2 l x y 2 I 1 2 多自由度系统振
50、动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 振动力学66 受力分析受力分析 1 I h1 C1 C2 h2 l x y 2 I 1 2 111 hm gm1 gm2 11 I 22 I )( 2212 hlm x y 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 振动力学67 解:解:先求质量影响系数先求质量影响系数 令令01 21 , 2 2 2 1112122 2 11111 2221 )(lmhmImhllmhmIm lhmm 有:有: 令令10 21 , 2222222212 2 22222 )(lhmmhlhmI
51、m hmIm 有:有: y 1 I h1 C1 C2 h2 l x 2 I 1 2 111 hm gm1 gm2 11 I 22 I )( 2212 hlm 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 11h m 1 I lm2 1 1 11 m 21 m 0 2 2 I 22h m 0 1 12 m 22 m 1 2 振动力学68 令令01 21 , 2 2 2 1112122 2 11111 2221 )(lmhmImhllmhmIm lhmm 有:有: 令令10 21 , 2222222212 2 22222 )(lhmmhlhmIm hmIm
52、 有:有: 2 22222 22 2 2 2 111 hmIlhm lhmlmhmI M质量矩阵:质量矩阵: 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 振动力学69 求刚度影响系数求刚度影响系数 由于恢复力是重力,所以实际上是求重力影响系数由于恢复力是重力,所以实际上是求重力影响系数 令令01 21 ,0 21 kglmghmk 21111 有:有: 令令10 21 , 2222 ghmk0 222212 kghmk有:有: y 1 I h1 C1 C2 h2 l x 2 I 1 2 111 hm gm1 gm2 11 I 22 I )( 2212
53、 hlm 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 gm2 1 1 11 k 21 k gm1 0 2 0 1 12 k 22 k gm2 gm1 1 2 振动力学70 令令01 21 , 0 21 kglmghmk 21111 有:有: 令令10 21 , 2222 ghmk0 222212 kghmk有:有: 刚度矩阵:刚度矩阵: 22 211 0 0)( ghm glmhm K 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 振动力学71 22 211 0 0)( ghm glmhm K 2 22222
54、 22 2 2 2 111 hmIlhm lhmlmhmI M 0 0 0)( 2 1 22 211 2 1 2 22222 22 2 2 2 111 ghm glmhm hmIlhm lhmlmhmI 运动微分方程:运动微分方程: y 1 I h1 C1 C2 h2 l x 2 I 1 2 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 振动力学72 例:例: 21 、 求:求: 以微小转角以微小转角为坐标,为坐标,写出微摆动的运动学方程写出微摆动的运动学方程 每杆质量每杆质量 m 杆长度杆长度 l 水平弹簧刚度水平弹簧刚度 k 弹簧距离固定端弹簧距离
55、固定端 a 1 2 k a O1O2 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 振动力学73 解:解: 令:令: 则需要在两杆上施加力矩则需要在两杆上施加力矩 1 1 0 2 11 k 21 k 分别对两杆分别对两杆 O1、O2 求矩:求矩: 2 11 2 1 kamglk 2 21 kak 令:令: 则需要在两杆上施加力矩则需要在两杆上施加力矩 0 1 1 2 12 k 22 k 分别对两杆分别对两杆 O1、O2 求矩:求矩: 2 22 2 1 kamglk 2 12 kak 0 1 1 2 a O1O2 mgmg 1 ka 12 k 22 k
56、1 1 0 2 a O1O2 mg mg 1 ka 11 k 21 k 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 振动力学74 2 11 2 1 kamglk 2 21 kak 刚度矩阵:刚度矩阵: 2 22 2 1 kamglk 2 12 kak 22 22 2 1 2 1 kamglka kakamgl K 1 1 0 2 a O1O2 mg mg 1 ka 11 k 21 k 0 1 1 2 a O1O2 mgmg 1 ka 21 k 22 k 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 振动力学7
57、5 令:令: 则需要在两杆上施加力矩则需要在两杆上施加力矩 1 1 0 2 11 m 2 1111 3 1 mlIm 0 21 m 令:令: 则需要在两杆上施加力矩则需要在两杆上施加力矩 12 m 22 m 2 2222 3 1 mlIm 0 12 m 0 1 1 2 质量矩阵:质量矩阵: 2 2 3 1 0 0 3 1 ml ml M 21 m 1 1 0 2 a O1O2 mg mg 11 m 21 m k 0 1 1 2 a O1O2 mg mg 12 m 22 m k 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 振动力学76 22 22 2
58、1 2 1 kamglka kakamgl K 运动学方程:运动学方程: 2 2 3 1 0 0 3 1 ml ml M 0 0 2 1 2 1 3 1 0 0 3 1 2 1 22 22 2 1 2 2 kamglka kakamgl ml ml 1 2 k a O1O2 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 振动力学77 例:两自由度系统例:两自由度系统 摆长摆长 l,无质量,微摆动,无质量,微摆动 求:运动微分方程求:运动微分方程 x m1 k1 2 m k2 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动
59、力学方程 振动力学78 解:解:先求解刚度矩阵先求解刚度矩阵 令:令: 0 1x 212111 1)(kkkkk 0 21 k 令:令: 1 0 x 00)( 2112 kkk glmlgmk 2222 sin m 1 k 1 k 2 1x m 1 k 1 1 k 2 0 x12k 22k 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 振动力学79 212111 1)(kkkkk 0 21 k 00)( 2112 kkk glmlgmk 2222 sin 刚度矩阵:刚度矩阵: glm kk 2 21 0 0 K 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多
60、自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 振动力学80 求解质量矩阵求解质量矩阵 令:令:0 1 x 212111 )(mmxmmm lmlxmm 2221 )( 令:令:1 0 x lmlmm 2212 2 2 2 222 lmlmIm m 1 k 1 k 2 xm 2惯 惯 性性 力力 m1 k1 1 gm2 k2 0 x 12 m 22 m I lm 2 惯性力惯性力 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 振动力学81 212111 )(mmxmmm lmlxmm 2221 )( lmm 212 2 2 2 222 lmlmIm 质
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