数值分析插值法

1、上页上页下页下页 在工程技术与科学研究中，常会遇到函数表达在工程技术与科学研究中，常会遇到函数表达 式过于复杂而不便于计算，且又需要计算众多点处式过于复杂而不便于计算，且又需要计算众多点处 的函数值；或已知由实验（测量）得到的某一函数的函数值；或已知由实验（测量）得到的某一函数 y=f(x)在区间在区间a,b中互异的中互异的n+1个个xi ( i=0, 1, . ,n)处处 的值的值yi=f(xi) (i=0,1,.,n), 需要构造一个需要构造一个简单易算的简单易算的 函数函数P(x)作为作为y=f(x)的近似表达式的近似表达式 y=f(x)P(x) , 使得使得 P(xi)= f(xi)

2、= yi (i=0,1, ., n) 这类问题就称为这类问题就称为插值问题插值问题， P(x)称为称为插值函数插值函数， P(x)一般取最简单又便于计算得函数。一般取最简单又便于计算得函数。 第第2章章 插插 值值 法法 上页上页下页下页 x0 x1x2x3x4x P(x) f(x) f(x) y=f(x)P(x) , 使得使得 P(xi)= f(xi) = yi (i=0,1, ., n) 其它点其它点 P(x) f(x) = y 上页上页下页下页 2.1.1 插值问题插值问题 设设 y= f(x) 是区间是区间a , b 上的一个实函数上的一个实函数, xi ( i=0, 1, . ,n)

3、是是a,b上上n+1个互异实数个互异实数,已知已知 y=f(x) 在在 xi 的的 值值 yi=f(xi) (i=0,1,.,n), 求一个求一个次数不超过次数不超过n的多项式的多项式 Pn(x)使其满足使其满足 Pn(xi)=yi (i=0,1, ., n) (5-1) 这就是这就是多项式插值问题多项式插值问题. 2.1 引言引言 上页上页下页下页 其中其中Pn(x) 称为称为 f(x) 的的n次插值多项式次插值多项式, f(x) 称为称为被插函被插函 数数, xi(i=0,1, .,n)称为称为插值节点插值节点, (xi, yi) (i=0,1, ,n) 称为称为 插值点插值点, a,b

4、称为称为插值区间插值区间, 式式(5-1)称为称为插值条件插值条件。 从几何意义来看从几何意义来看,上上 述问题就是要求一条多述问题就是要求一条多 项式曲线项式曲线 y=Pn(x), 使它使它 通过已知的通过已知的n+1个点个点 (xi,yi) (i=0,1, ,n),并用并用 Pn(x)近似表示近似表示f(x). 上页上页下页下页 即即 P(x)=a0+a1x+a2x2+.+anxn 其中其中ai为实数，就称为实数，就称P(x) 为为 插值多项式插值多项式，相应的插，相应的插 值法称为值法称为多项式插值多项式插值，若，若P(x)为分段的多项式，就为分段的多项式，就 称为称为分段插值分段插值，

5、若，若P(x)为三角多项式为三角多项式,就称为就称为三角插三角插 值值，本章只讨论插值多项式与分段插值。，本章只讨论插值多项式与分段插值。 本章主要研究如何求出本章主要研究如何求出插值多项式插值多项式，分段插值分段插值 函数函数，样条插值函数样条插值函数；讨论插值多项式；讨论插值多项式P(x)的的存在存在 唯一性唯一性、收敛些收敛些及及误差估计误差估计等。等。 上页上页下页下页 定理定理1 设节点设节点 xi (i=0,1, ,n)互异互异, 则满足插值条件则满足插值条件 Pn(xi)=yi (i=0,1, ., n)的次数不超过的次数不超过n的多项的多项 式存在且唯一式存在且唯一. 证证 设

6、所求的插值多项式为设所求的插值多项式为 Pn(x)=a0+a1x+a2x2+.+anxn (5-2) 则由插值条件式则由插值条件式Pn(xi)=yi (i=0,1, ., n) 可得可得关于系数关于系数 a0 ,a1 , ,an的线性代数方程组的线性代数方程组 2.1.2 插值多项式的存在性和唯一性插值多项式的存在性和唯一性 上页上页下页下页 n n nnn n n n n yxaxaa yxaxaa yxaxaa 10 11110 00010 此方程组有此方程组有n+1个方程个方程, n+1个未知数个未知数, 其系数行列式是其系数行列式是 范德蒙范德蒙(Vandermonde)行列式：行列式

7、： （5-3） 2 000 2 111 2 1 1 ()0 1 n n ji j i n nnn xxx xxx xx xxx 由克莱姆法则知方程组由克莱姆法则知方程组 (5-3) 的解存在唯一的解存在唯一. 证毕。证毕。 上页上页下页下页 考虑最简单、最基本的插值问题考虑最简单、最基本的插值问题. 求求n次插值多项式次插值多项式 l i(x) (i=0,1, ,n), 使其满足使其满足插值条件插值条件 0, ()(0,1, ) 1, ij ji l xjn ji 2.2.1 基函数基函数 可知可知, 除除 xi点外点外, 其余都是其余都是 li(x)的零点的零点, 故可设故可设 Lagran

8、ge 法法1736- -1813 0 ( )()() in l xA xxxx 11 ()() ii xxxx 2.2 拉格朗日插值拉格朗日插值 上页上页下页下页 其中其中A为常数为常数, 由由li(xi)=1可得可得 )()()( 1 110niiiiii xxxxxxxx A 称之为称之为拉格朗日基函数拉格朗日基函数, 都是都是n次多项式次多项式 。 0 0 ()() ( ) ()() (0,1, ) n i iin xxxx l x xxxx in 11 ()() ii xxxx 11 ()() iiii xxxx 0 ( )()() in l xA xxxx 11 ()() ii xx

9、xx n ij j ji j xx xx 0 上页上页下页下页 n=1时的时的一次基函数一次基函数为为: 0 x 1 x y 1 O x )( 0 xl y 1 0 x 1 x )( 1 xl O x .)(,)( 01 0 1 10 1 0 xx xx xl xx xx xl 上页上页下页下页 即已知函数即已知函数 f(x)在点在点x0和和x1点的函数值点的函数值 y0=f(x0)，y1=f(x1). 求线性函数求线性函数 L(x)=a0+ a1x 使满足条件：使满足条件： L(x0)=y0 , L(x1)=y1. . )()( 0 01 01 0 xx xx yy yxL 此为两点线性插值

10、问题此为两点线性插值问题 上页上页下页下页 或用或用直线的两点式表示为：直线的两点式表示为： 0 01 1 () () xx x x ll 则则 称称 ： 叫叫 做做 点点 的的 一一 次次 插插 值值 基基 函函 数数 为为 点点 的的 一一 次次 插插 值值 基基 函函 数数 插值基函数的特点插值基函数的特点： x0 0 x1 1 l0 01 10 0 l1 10 01 1 1 x0 x1 l0 0 l1 1 .)(,)( 01 0 1 10 1 0 xx xx xl xx xx xl 记记 .)( 01 0 1 10 1 01 xx xx y xx xx yxL 上页上页下页下页 12

11、0 0102 ()() ( ), ()() xxxx lx xxxx n=2时的时的二次基函数二次基函数为为 : 02 1 1012 ()() ( ), ()() xxxx l x xxxx 01 2 2021 ()() ( ). ()() xxxx lx xxxx 上页上页下页下页 0 01 1 0 ( )( )( )( )( ) n nn ni i i L xy lxy l xy lxy l x 可知其满足可知其满足 2.2.2 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式 利用拉格朗日基函数利用拉格朗日基函数l i(x), 构造次数构造次数不超过不超过n的多项式的多项式 njyxL jjn ,

12、1 , 0)( )()(xLxP nn 称为称为拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式,再由插值多项式的唯一性再由插值多项式的唯一性, 得得 特别地特别地, 当当 n =1时又叫时又叫线性插值线性插值,其几何意义为其几何意义为 过两点的直线过两点的直线. 当当 n =2时又叫时又叫抛物（线）插值抛物（线）插值, 其几其几 何意义为过三点的抛物线何意义为过三点的抛物线. 上页上页下页下页 1)( 0 n i i xl 注意注意 : (1) 对于插值节点对于插值节点,只要求它们互异只要求它们互异,与大小次序无关与大小次序无关; 以以 xi (i=0,1,n)为插值节点为插值节点, 函数函数 f(x)

13、 1作插值多作插值多 项式项式, 由插值多项式的唯一性即得由插值多项式的唯一性即得基函数的一个性质基函数的一个性质 (2) 插值基函数插值基函数l i(x) 仅由插值节点仅由插值节点xi (i=0,1, ,n)确定确定, 与被插函数与被插函数 f(x)无关无关; (3) 插值基函数插值基函数l i(x) 的顺序与插值节点的顺序与插值节点xi (i=0,1, ,n) 的顺序一致的顺序一致. 上页上页下页下页 1)( 0 n i i xl 这是因为若取这是因为若取 (x)=xk (k=0,1,n),由插值多项式的唯由插值多项式的唯 一性有一性有 0 ( ),0,1, n kk ii i l x x

14、xkn 特别当特别当k=0k=0时时, ,就得到就得到 上页上页下页下页 所以所以 01 9141 ( )(9), ( )(4) 495945 xx lxxlxx 10 01 1 11 ( )( )( )2(9)3(4) 55 L xy lxy l xxx 1 13 7(7)2.6 5 L 01 ,4,9,yx xx 7 例例1 已知已知 用线性插值用线性插值(即一次插即一次插 值多项式值多项式)求求 的近似值。的近似值。 01 2,3,yy 基函数分别为基函数分别为:解解 插值多项式为插值多项式为 23 (9)(4) 55 xx 1 (6) 5 x ( ) 上页上页下页下页 4, 3, 1,

15、 1 3210 xxxx )4)(3)(1( 40 1 )41)(31)(11( )4)(3)(1( )( 0 xxx xxx xl )4)(3)(1( 12 1 )41)(31)(11( )4)(3)(1( )( 1 xxx xxx xl )4)(1)(1( 8 1 )43)(13)(13( )4)(1)(1( )( 2 xxx xxx xl )3)(1)(1( 15 1 )34)(14)(14( )3)(1)(1( )( 3 xxx xxx xl 例例2 求过点求过点(- -1,- -2), (1,0), (3,- -6), (4,3)的抛物线插值的抛物线插值(即即 三次插值多项式三次插值

16、多项式). 解解 以以以为节点的基函数以为节点的基函数 分别为分别为: 上页上页下页下页 )()()()()( 332211003 xlyxlyxlyxlyxL ) 3)(1)(1( 15 1 3)4)(1)(1( 8 1 )6( )4)(3)(1( 12 1 0)4)(3)(1( 40 1 ) 2( xxxxxx xxxxxx )3)(1)(1( 5 1 )4)(1)(1( 4 3 )4)(3)(1( 20 1 xxx xxxxxx 34 23 xx () 则拉格朗日的三次插值多项式为则拉格朗日的三次插值多项式为 上页上页下页下页 截断误差截断误差Rn(x)=f (x) - -Ln(x)也称

17、为也称为n n次次LagrangeLagrange插插 值多项式的余项值多项式的余项。以下为。以下为拉格朗日余项定理拉格朗日余项定理。 定理定理2 设设 f (x) 在区间在区间 a ,b上存在上存在 n+1 阶导数阶导数, xi a, b (i=0,1, , n) 为为 n+1个互异节点个互异节点, 则对任何则对任何 x a ,b, 有有 (1) 1 ( ) ( )( )( )( ) (1)! n nnn f R xf xL xx n 2.2.3 插值余项插值余项 ( , )a b 且与且与x有关有关) 1 0 ( )() n ni i xxx 其其中中 上页上页下页下页 证证 由插值条件和

18、由插值条件和 n+1(x) 的定义的定义, 当当x=xk 时时 , 式子显式子显 然成立然成立, 并且有并且有 n+1(xk)=0 ( k=0,1,n ), 这表明这表明x0 , x1, , xn 都是函数 都是函数 n+1(x) 的零点的零点, 从而从而 n+1(x) 可表示为可表示为 1 ( )( )( )( )( ) nn tf tL tK xt (1) 1 ( ) ( )( )( )( ) (1)! n nnn f R xf xL xx n 1 ( )( )( )( )( ) nnn Rxf xLxK xx 其中其中K(x)是是待定函数待定函数。 对于对于任意固定的任意固定的x a,b

19、, x xk ,构造自变量构造自变量 t 的辅的辅 助函数助函数 上页上页下页下页 1 ( )( )( )( )( ) nn tf tL tK xt 由式由式 n+1(xk)=0 和式和式 Ln(xk)=yk ( k=0,1,n ),以及以及 1 ( )( )( )( )( ) nnn Rxf xLxK xx 可知：可知：x0 , x1, , xn 和 和 x 是是 (t) 在区间在区间a,b上的上的 n+2个个 互异零点互异零点, 因此根据罗尔因此根据罗尔 (Rolle) 定理定理, 至少存在一点至少存在一点 = (x) (a,b),使使 (1) ( )0 n (1) ( ) ( ) (1)

20、! n f K x n 即即 (1) 1 ( ) ( )( )( )( ) (1)! n nnn f R xf xL xx n 所以所以 上页上页下页下页 一般来说一般来说,外推比内插效果差外推比内插效果差,在估计误差时下列在估计误差时下列 不等式很有用。不等式很有用。 ),(, )( )!1( )( 0 1 baxxx n M xR n i i n n 或或 ),(, )(max )!1( )( 0 1 baxxx n M xR n i i bxa n n 。其中：其中：)(max )1( 1 xfM n bxa n n i i n nn xx n f xLxfxR 0 ) 1( )( )!

21、1( )( )()()( 上页上页下页下页 25. 0)4(, 4 . 0)5 . 2(, 5 . 0)2( 210 fyfyfy )45 . 2)(25 . 2( )4)(2( 4 . 0 )42)(5 . 22( )4)(5 . 2( 5 . 0)( 2 xxxx xL )5 . 24)(24( )5 . 2)(2( 25. 0 xx 15. 1425. 005. 0 2 xx , 1 )( x xf ，节节点点4, 5 . 2, 2 210 xxx)(xf求求 的抛物插值多项式的抛物插值多项式,且计算且计算f (3)的近似值并估计误差。的近似值并估计误差。 例例3 设设 解解 插值多项式

22、为插值多项式为 上页上页下页下页 , 6 )( 4 x xf 8 3 | )2(| )(|max 4, 2 3 fxfM x 2 1 3 |(3)| |(3)(3)|(32)(32.5)(34)| 6 8 0.03125 RfL 因为因为 故故 | )4)(5 . 2)(2( | 8 3 6 1 | )4)(5 . 2)(2( | !3 | )(| 3 3 xxx xxx M xR 325. 0)3()3( 2 Lf于是于是 另见书另见书p29的例的例1. 上页上页下页下页 用二次插值计算用二次插值计算ln11.25ln11.25的近似值的近似值, ,并估计误差并估计误差. . 例例4 给定函

23、数表给定函数表 解解 取节点取节点x x0 0=10,x=10,x1 1=11,x=11,x2 2=12,=12,作二次插值有作二次插值有 302585. 2 )1210)(1110( )1225.11)(1125.11( 397895. 2 )1211)(1011( )1225.11)(1025.11( 484907. 2 )1112)(1012( )1125.11)(1025.11( 420426. 2 ln11.25ln11.25 L L2 2(11.25)(11.25) 上页上页下页下页 在区间在区间10,1210,12上上lnx lnx 的三阶导数的上限的三阶导数的上限M M3 3=

24、0.002,=0.002, 可得误差估计式可得误差估计式 00007. 0| )1225.11)(1125.11)(1025.11( | ! 3 )25.11( 3 2 M R 实际上实际上,ln11.25=2.420368,ln11.25=2.420368, |R |R2 2(11.25)|=0.000058.(11.25)|=0.000058. 上页上页下页下页 2.3.1 均差及其基本性质均差及其基本性质 定义定义1 称称 10 10 10 )()( , xx xfxf xxf 为为 f (x)在在x0、x1点的点的一阶均差一阶均差.一阶均差的均差一阶均差的均差(差商差商) 20 211

25、0 210 , , xx xxfxxf xxxf 称为函数称为函数f (x)在在x0、x1 、x2 点的点的二阶均差二阶均差. 英英1642-1727 2.3 均差与牛顿插值公式均差与牛顿插值公式 上页上页下页下页 一般地，一般地，n-1阶均差的均差阶均差的均差 n nnnn n xx xxxfxxxf xxxf 0 11120 10 , , 称为称为f (x)在在x0 , x1 , , xn点的点的 n 阶均差阶均差。 差商的计算步骤与结果可列成差商的计算步骤与结果可列成均差表均差表，如下，如下 一般一般f(xi) 称为称为f(x) 在在xi点的点的零阶均差零阶均差，记作，记作fxi。 上页

26、上页下页下页 表表5-1（均差表）（均差表） 上页上页下页下页 给出节点给出节点x x0 0,x,x1 1,x,xn n和函数值和函数值 (x(x0 0),), (x(x1 1),), (x(xn n),), 可按如下的差商表顺序逐次计算各阶差商值可按如下的差商表顺序逐次计算各阶差商值. . 上页上页下页下页 n knkkkkkk k n xxxxxxxx xf xxxf 0110 10 )()()( )( , 这一性质可以用数学归纳法证明，这一性质可以用数学归纳法证明，它表明均差与节它表明均差与节 点的排列次序无关点的排列次序无关，即，即 fx0 , x1 , x2 , ., xn= fx1

27、 , x0 , x2 , ., xn= = fx1 , x2 , ., xn , x0 性质性质1 均差可以表示为函数值的线性组合，即均差可以表示为函数值的线性组合，即 称之为称之为均差的对称性（也称为对称性质）均差的对称性（也称为对称性质）。 上页上页下页下页 性质性质2 由性质由性质1立刻得到立刻得到 或或 1 12020 10 , , nn nnnn n xx xxxfxxxf xxxf 01 0211 02110 , , xx xxxfxxxf xxxxfxxxf nnn nn 上页上页下页下页 性质性质3 n次多项式次多项式f(x)的的k阶阶差商差商, ,当当k n时是一个时是一个n

28、- -k 次多次多项式项式; ;当当kn时恒等于时恒等于0. 性质性质4 若若f(x)在在a,b上存在上存在n阶导数阶导数, 且节点且节点x0 , x1 , xna,b ,则至少存在一点则至少存在一点 a, b 满足下式满足下式 ! )( , )( 10 n f xxxf n n 例例1 f (x)=6x8+7x510, 求求f 1,2, ,9及及f 1,2, ,10. 解解 f (8)(x)=68 !, f 1,2, ,9=-6, f (9)(x)=0, f 1,2, ,10=0. 上页上页下页下页 2.3.2 牛顿插值多项式牛顿插值多项式 设设x是是a，b上一点，由一阶均差定义得上一点，由

29、一阶均差定义得 )(,)()( 000 xxxxfxfxf 同理，由二阶均差定义同理，由二阶均差定义 )(, 110100 xxxxxfxxfxxf 如此继续下去，可得一系列等式如此继续下去，可得一系列等式 0 0 0 )()( , xx xfxf xxf 1 100 10 , , xx xxfxxf xxxf 得得 得得 上页上页下页下页 01010 , ,() nnnn f x xxf xxxf x xxxx )(,)()( 000 xxxxfxfxf )(, 110100 xxxxxfxxfxxf )(, 221021010 xxxxxxfxxxfxxxf 依次把后式代入前式，最后得依次

30、把后式代入前式，最后得 000 00100101 001001201 012012 ( )() ,() (),() ,()() (),(),()() ,()()() f xf xf x xxx f xf xxxxf x xxxxxx f xf xxxxf xx xxxxx f x xx xxxxxxx 上页上页下页下页 00100101 001001201 012012 ( )(),() ,()() (),(),()() ,()()() ( )( ) nn f xf xf x xxxf x x xxxxx f xf x xxxf x x xxxxx f x x x xxxxxxx N xR x

31、 001001201 0101 001 1 ( )( ) , () , ,()() , ,()() ( ) , , ( ) n nn n kk k N xf xf x x x xf x x xx xx x f x xxx xx x f xf x xxx 其中其中 001 01 ( ) ,()()() ,( ) nnn nn R xf x xxxxxxxx f x xxx 上页上页下页下页 ( )( )( ) nn f xN xR x 可见可见, Nn(x)为次数不超过为次数不超过n 的多项式的多项式,且易知且易知 Rn(xi)= 0 即即 Nn(xi)= yi , (i=0,1, ,n) 满足

32、插值条件满足插值条件, 故其为插值问题的解故其为插值问题的解, Nn(x)称为称为牛顿牛顿 插值多项式插值多项式。 001001201 001 ( )( ) ,() ,()() ,()() n nn N xf xf x xx xf x x xx xx x f xxx xx x 001 ( ) ,()()() nnn Rxf x xxxxxxxx Rn(x)称为称为牛顿型插值余项牛顿型插值余项。 上页上页下页下页 由插值多项式的唯一性知，它与拉格朗日插值多项式由插值多项式的唯一性知，它与拉格朗日插值多项式 是等价的是等价的,即即 Ln(x) Nn(x) 且有如下且有如下递推形式递推形式 )()(

33、,)()( 1001 nnnn xxxxxxfxNxN 和和余项公式余项公式 )()(,)( 010nnn xxxxxxxxfxR )()( )!1( )( 0 )1( n n xxxx n f 由此即得性质由此即得性质4。且。且 )()(, )()(,)( 0110 0101 nnn nnnn xxxxxxxxf xxxxxxxxfxR 上页上页下页下页 例例1 已知已知f(x)=shx的数表的数表,求二次牛顿插值多项式求二次牛顿插值多项式,并由并由 此计算此计算f(0.596)的近似值。的近似值。 )55. 0)(40. 0(2800. 0 )40. 0(1160. 141075. 0)(

34、 2 xx xxN 解解 由上表可得过前三点的二次牛顿插值多项式为由上表可得过前三点的二次牛顿插值多项式为 上页上页下页下页 632010. 0)596. 0()596. 0( 2 Nf 又又 1970. 0, 3210 xxxxf 可得过前四点的三次牛顿插值多项式可得过前四点的三次牛顿插值多项式 )65. 0)(55. 0)(40. 0(1970. 0)()( 23 xxxxNxN 故故 6319145. 0)596. 0()596. 0( 3 Nf故故 )55. 0)(40. 0(2800. 0 )40. 0(1160. 141075. 0)( 2 xx xxN )80. 0)(65. 0

35、)(55. 0)(40. 0(0344. 0)( 3 xxxxxR 可得可得N3(x)的截断误差的截断误差 6 3 1034. 0)596. 0( R 0344. 0, 40 xxf 上页上页下页下页 设函数设函数y=f(x)在在等距节点等距节点xi=x0+ih (i=0,1, ,n)上上 的函数值为的函数值为fi=f(xi)(h为为步长步长) 定义定义2 fi=fi+1-fi 和和 fi=fi-fi-1 分别称为函数分别称为函数f(x)在点在点xi处的处的一阶向前差分一阶向前差分和和一阶向一阶向 后差分后差分。 一般地一般地, f(x) 在点在点 xi 处的处的 m 阶向前差分阶向前差分和和

36、 m 阶向阶向 后差分后差分分别为分别为 mfi= m-1fi+1- m-1fi 和和 mfi= m-1fi - m-1fi-1 2.4 差分与等距节点插值差分与等距节点插值 2.4.1 差分及其性质差分及其性质 上页上页下页下页 构造构造差分表差分表5-2 上页上页下页下页 容易证明，差分有如下容易证明，差分有如下基本性质基本性质 性质性质1 各阶差分均可用函数值表示各阶差分均可用函数值表示. 即即 jin j n n j j i n n n innini n fcfcfcff 0 1 1 ) 1() 1( ji j n n j j ni n n n inii n fcfcfcff 0 1

37、1 ) 1() 1( 且有等式且有等式 nfi= nfi+n . 上页上页下页下页 性质性质3 均差与差分的关系式为均差与差分的关系式为 1 1 1 , ! 1 , ! m iii mi m m i mi mii m f x xxf m h f xxxf m h 性质性质2 函数值均可用各阶差分表示函数值均可用各阶差分表示. 即即 i n j jj ni nn niniin fcfcfcff 0 1 且有差分与微商的关系式为且有差分与微商的关系式为 ),()( )( nkk nn n n xxfhf 差分的其它性质参看本章差分的其它性质参看本章p59习题习题8，9，10，11. 上页上页下页下

38、页 代入牛顿插值公式代入牛顿插值公式 ,可得可得 )1()1( ! )1( ! 2 )()( 0 0 2 000 nttt n f tt f tffthxNxN n nn 称为称为牛顿向前插值公式牛顿向前插值公式，其，其余项余项为为 ),()( )!1( )()1( )()( 0 )1(1 0 n nn nn xxfh n nttt thxRxR 插值节点为插值节点为 xi=x0+ih (i=0,1, ,n), 如果要计算如果要计算 x0附近附近 点点 x 处的函数值处的函数值f(x), 可令可令 x=x0+th (0 t n) 2.4.2 等距节点差值公式等距节点差值公式 上页上页下页下页

39、类似地类似地, 若计算若计算 xn 附近的函数值附近的函数值 f(x), 可令可令 x=xn+th (- n t 0) ，可得，可得牛顿向后插值公式牛顿向后插值公式 )1()1( ! )1( ! 2 )()( 2 nttt n f tt f tffthxNxN n n n nnnnn ),(, )( )!1( )()1( )()( 0 )1(1 n nn nnn xxfh n nttt thxRxR 及其及其余项余项 上页上页下页下页 例例2 设设 y=f(x)=ex, xi=1, 1.5, 2, 2.5, 3, 用三次插值多项用三次插值多项 式求式求f(1.2) 及及f(2.8)的近似值的近

40、似值. 解解 相应的函数值及差分表如下相应的函数值及差分表如下: 上页上页下页下页 求求f(1.2)用用牛顿前插公式牛顿前插公式, 且由且由 1.2=1+0.5t, 得得t=0.4 3 1.14396 (1.2)(1.2)2.71828 1.76341 0.40.4 (0.4 1) 2! 0.74210 0.4 (0.4 1)(0.4 2)3.3338632 3! fN 上页上页下页下页 求求f(2.8)用用牛顿后插公式牛顿后插公式,且由且由 2.8=3+0.5t, 得得t= -0.4 3 (2.8)(2.8)fN 3.10962 20.08554 7.90305 ( 0.4)( 0.4) (

41、 0.4 1) 2! 1.22356 ( 0.4) ( 0.4 1)( 0.4 2)15.7680872 3! 求求f(1.8)呢呢? 上页上页下页下页 2.5.1 三次埃尔米特插值多项式三次埃尔米特插值多项式 设设 y=f(x)是区间是区间a, b上的实函数上的实函数, x0, x1 是是a, b上相异两点上相异两点, 且且 x0 x1, y=f (x) 在在xi上的函数值和一阶导数值分别为上的函数值和一阶导数值分别为 yi=f (xi) (i=0,1)和和mi = f (xi) (i=0,1), 求三次多项式求三次多项式 H3(x), 使其使其 满足：满足： 3 3 () (0,1) ()

42、 ii ii Hxy i Hxm H3(x)称为称为三次埃尔米特插值多项式三次埃尔米特插值多项式。 法法1822 -1901 2.5 埃尔米特埃尔米特(Hermite)插值插值 上页上页下页下页 构造三次埃尔米特插值多项式如下构造三次埃尔米特插值多项式如下: 定理定理3 满足条件式满足条件式 的三次埃尔米特插值多项式存在且唯一。的三次埃尔米特插值多项式存在且唯一。 33 (),()(0,1) iiii Hxy Hxm i 300110011 ( )( )( )( )( )Hxyxyxmxmx 上页上页下页下页 由由0)()( 1010 xx 可将它写成可将它写成 2 100 )()(xxxxb

43、ax 2 10 00 )( 1 1)( xx ax ，得得由由 ，所所以以 ）（ ，得得再再由由 3 10 00 2 0)( xx bx 2 10 1 01 0 0 )(21)( xx xx xx xx x 2 01 0 10 1 1 )(21)( xx xx xx xx x ）（将将同同理理 10 xx 上页上页下页下页 ，可令，可令同样由同样由0)()()( 101000 xxx 2 100 )()(xxxxcx ，再再由由1)( 00 x 2 10 )( 1 xx c 得得 ,)()( 2 10 1 00 xx xx xxx 2 01 0 11 )()( xx xx xxx 上页上页下页

44、下页 2 10 1 00 )()( xx xx xxx 2 01 0 11 )()( xx xx xxx 22 010000 22 101111 ( )12 ( ) ( )( )() ( ) ( )12 ( ) ( )( )() ( ) xlx lxxxx lx xlx lxxxx lx ,)(21 )( 2 10 1 01 0 0 xx xx xx xx x ,)(21 )( 2 01 0 10 1 1 xx xx xx xx x 即即 )(),( 10 xlxl插值点的插值点的Lagrange),(),( 1100 yxyx为为以以 一次基函数一次基函数. 上页上页下页下页 可得满足条件的

45、可得满足条件的三次埃尔米特插值多项式三次埃尔米特插值多项式为为 300110011 ( )( )( )( )( )Hxyxyxmxmx 22 0011 01 10010110 22 01 0011 0110 12()12() ()()()() xxxxxxxx yy xxxxxxxx xxxx m xxm xx xxxx 上页上页下页下页 定理定理4 设设f(x)在包含在包含x0、x1的区间的区间a,b内存在四阶内存在四阶 导数，则当导数，则当xa,b时有时有余项余项 (4)22 3301 1 ( )( )( )( )() () 4! R xf xH xfx xx x 设设)(max )4(

46、4 10 xfM xxx 则当则当x(x0 , x1)时时, 余项有如下估计式（余项有如下估计式（误差限误差限） 4 4 3 384 )(h M xR 2.5.2 误差估计误差估计 ( , )a b 且与且与x有关有关) 上页上页下页下页 例例2 已知已知f(x)=x1/2及其一阶导数的数据见下表及其一阶导数的数据见下表,用埃尔用埃尔 米特插值公式计算米特插值公式计算1251/2的近似值的近似值,并估计其截断误差并估计其截断误差. 解解 2 3 121144 ( )1112 144121121144 xx Hx 2 144121 1212 121144144121 xx 2 1121144 2

47、2144121121144 xx 2 1144121 24121144144121 xx 上页上页下页下页 得得 3 125(125)11.18035H 由由 2/7 )4( 16 15 )( x xf 可求得可求得 22 3 3 2 3 151 (125)419 384 16 1519 0.000012 384 12111 R 22 3 33 22 22 1112 ( )22191442652121 2323 11 121144144121 22 2324 23 H xxxxx xxxx 上页上页下页下页 2.6 分段低次插值分段低次插值 先看下面的例子先看下面的例子 对对(x)=(1+25

48、x2)-1,在区间在区间-1,1上取等距节点上取等距节点 xi=- -1+ih, i=0,1,10,h=0.2,作作(x)关于节点关于节点 xi(i=0,1,10)的的10次插值多项式次插值多项式 L10(x), 如图所示如图所示 上页上页下页下页 x y o1-1 0.5 1 1.5 2 251 1 y y=L10(x) 这个现象被称为这个现象被称为Runge现象现象. 表明高次插值的不稳定性表明高次插值的不稳定性. 实际上实际上, 很少采用高于很少采用高于7次的插值多项式次的插值多项式. 上页上页下页下页 2.6.1 分段线性插值分段线性插值 01 ()(0,1,., ), iin yf

49、xinaxxxb 已已知知 求一个分段函数求一个分段函数P(x), 使其满足使其满足: P(xi)=yi (i=0,1, ., n); 在每个子区间在每个子区间xi，xi+1 上是线性函数上是线性函数. 称满足上述条件的函数称满足上述条件的函数P(x) (1)为为分段线性插值函数分段线性插值函数. 上页上页下页下页 ),.,1 , 0)(nixfy ii 分别作线性插值得分别作线性插值得 ,在每个子区间在每个子区间xi，xi+1已知已知 1 11 11 ( ), (0,1,1) ii iiii iiii xxxx P xyyxx x xxxx in 1 11 1 ( ), (0,1,1) ii

50、 iiii ii iii xxxx P xyyxx x hh hxxin 或或 上页上页下页下页 由线性插值的误差即得分段线性插值在区间由线性插值的误差即得分段线性插值在区间xi, xi+1 上的上的余项估计式余项估计式为为 1 1 22 ( ) ()()()() 2! max()max() 88ii ii i xxxaxb f f xP xxxxx hh fxfx 2 01 max,max() i inaxb hhMfx 因此因此,在插值区间在插值区间a,b上有余项上有余项 2 2 ()(), , 8 h f xP xMxa b 上页上页下页下页 2.6.2 分段抛物线插值分段抛物线插值 (

51、2) 在每个子区间在每个子区间xi-1, xi+1 上，上，L(x)是次数不超过是次数不超过2的的 多项式多项式. 称满足上述条件的函数称满足上述条件的函数L(x)为为分段抛物线插值函数分段抛物线插值函数. L(xi)=yi (i=0,1, ., n); 对对 01n axxxb 求一个分段函数求一个分段函数L(x), 使其满足使其满足: 即将区间即将区间a, b分为小区间分为小区间xi-1, xi+1 (i=1,2, ,n) 上页上页下页下页 2.6.3 分段三次分段三次Hermite插值插值 (),()(0,1, ), iiii yf xmfxin 已知已知 01n axxxb 求一个分段

52、函数求一个分段函数H(x), 使其满足使其满足: (2) 在每个子区间在每个子区间xi, xi+1 上，上，H(x)是次数不超过是次数不超过3的的 多项式多项式. 称满足上述条件的函数称满足上述条件的函数H(x)为为分段三次分段三次Hermite插值插值 函数函数. (1)(),()(0,1, ), iiii H xyHxmin 上页上页下页下页 22 11 1 22 1 11 ( )1 2()1 2() ()()()() iiii ii iiii ii iiii ii xxxxxxxx H xyy hhhh xxxx m xxmxx hh 22 1 11 33 22 1 11 22 ( )1

53、 2()()1 2()() ()()()() ii iiii ii ii iiii ii yy H xxxxxxxxx hh mm xxxxxxxx hh 1 (0,1,1) iii hxxin 或或 xi，xi+1上上 (),()(0,1, ), iiii yf xmfxin 得在每个子区间得在每个子区间 由由 上页上页下页下页 分段三次埃尔米特插值在区间分段三次埃尔米特插值在区间xi, xi+1上的上的 余项估计式余项估计式为为 1 (4) 22 1 4 (4) 1 ( ) ( )( )() () 4! max( ) , 384ii ii i ii xxx f f xH xxxxx h f

54、xxxx 因此，因此，在插值区间在插值区间a, b上有余项上有余项 4 4 ()(), , 384 h f xH xMxa b (4) 4 01 max,max( ) i inaxb hhMfx 上页上页下页下页 例例3 构造函数构造函数f(x)=lnx在在1x10上的数表上的数表, 应如何应如何 选取步长选取步长h,才能使利用数表进行分段插值时误差不才能使利用数表进行分段插值时误差不 超过超过0.510-4 。 解解 2 2 110 1 ( ),max( )1. x fxMfx x 欲使欲使 22 4 110 1 ( )( )max( )10 882 x hh f xP xfx 即进行分段线

55、性插值时，应取即进行分段线性插值时，应取h210-2，误差不，误差不 超过超过0.510-4。 2 2 10h 得得 上页上页下页下页 (4)(4) 4 4 110 6 ( ),max( )6. x fxMfx x 欲使欲使 44 (4)4 110 1 ( )( )max( )10 384642 x hh f xH xfx 14 2 210h 得得 即进行分段三次埃尔米特插值时即进行分段三次埃尔米特插值时,应取应取 误差不超过误差不超过0.510-4 。 14 2 210h 上页上页下页下页 2.7.1 问题的提出问题的提出 定义定义 给定区间给定区间a,b的一个划分的一个划分 a=x0 x1

56、xn=b， yi=f (xi) (i=0,1,n),如果函数如果函数S(x)满足：满足： S(xi )=yi (i=0,1,n); 在每个小区间在每个小区间xi, xi+1 (i=0,1,.,n-1)上是次数不超上是次数不超 过过3的多项式的多项式; (3) 在每个内节点在每个内节点xi (i=1,2,.,n-1)上具有上具有二阶连续导二阶连续导 数数, 则称则称 S(x) 为关于上述划分的一个为关于上述划分的一个三次多项式样三次多项式样 条条 函数函数，简称，简称三次样条三次样条。 2.7 三次样条插值三次样条插值 上页上页下页下页 S(x)在每个小区间在每个小区间xi , xi+1上是一个

57、次数不超过上是一个次数不超过 3的多项式的多项式, 因此需确定因此需确定四个待定常数四个待定常数, 一共有一共有n个小个小 区间区间,故应故应确定确定4n个系数个系数, S(x)在在n-1个内节点上个内节点上具有具有 二阶连续导数，应满足条件二阶连续导数，应满足条件 )1, 2 , 1( )0()0( )0()0( )0()0( ni xSxS xSxS xSxS ii ii ii 即有即有3n-3个连续条件，再加上个连续条件，再加上S(x) 满足的插值条件满足的插值条件 n+1个，共计个，共计4n-2个，因此还需要个，因此还需要2个条件才能确定个条件才能确定 S(x)，通常补充两个，通常补充

58、两个边界条件边界条件。 上页上页下页下页 2.7.2 三弯矩方程三弯矩方程 Mi来求来求S(x)的方法称为的方法称为三弯矩法三弯矩法。 ),.,1 , 0()(niMxS ii 为参数为参数,这种通过这种通过确定确定设设 i i i i i i h xx M h xx MxS 1 1 ) )( ( 在在xi , xi+1上是一次多项式上是一次多项式, 且可表示为且可表示为 )(x S 对对 积分两次并利用积分两次并利用S(xi)=yi和和S(xi+1)=yi+1定出积定出积 分常数得分常数得 )(x S 32 11 1 2 1 11 ()() ( )() 666 () , (0,1,1) 6

59、iiiii iii iii ii iii xxxxM hxx S xMMy hhh M h yxx xin h xx i 上页上页下页下页 32 11 1 2 1 11 ()() ( )() 666 () , (0,1,1) 6 iii ii iii iii ii iii xxx xMhxx S xMMy hhh M h yxx xin 对对S(x)求导得求导得 i ii i ii i i i i i i h MM h yy h xx M h xx MxS 6 2 )( 2 )( )( 11 2 1 2 1 1 ,(0,1,1) ii xx xin h xx i 上页上页下页下页 所以所以 1

60、 1 1 11 (0) 36 (0) 63 iiii iii i iiii iii i hhyy S xMM h hhyy S xMM h (i=1,2,.,n-1) )( () )( (00 ii xSxS由由 i ii i ii i i i i i i h MM h yy h xx M h xx MxS 6 2 )( 2 )( )( 11 2 1 2 1 1111 11 1 6336 iiiiiiii iiii ii hhyyhhyy MMMM hh 上页上页下页下页 1 11 11 11 11 1 6 6 , ii iii iiii iiii iiii iiii hh hhhh yyyy