极限的定义与性质.ppt

1、 第二章第二章 三、极限的性质三、极限的性质 二、函数的极限二、函数的极限 第一节第一节 极限的定义与性质极限的定义与性质 一、数列的极限一、数列的极限 四、无穷小与无穷大四、无穷小与无穷大 一、数列的极限一、数列的极限 1 1、数列、数列 无穷多个实数按一定次序排成一列无穷多个实数按一定次序排成一列 12 , n x xx 称为无穷数列（简称数列），记成称为无穷数列（简称数列），记成, n x其中其中 n x称为称为 数列的第数列的第 n 项或项或。 数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列. .可看作一动可看作一动 点在数轴上依次取点点在数轴上依次取点: :., 21 n xxx

2、1 x 2 x 3 x 4 x n x 数列是整标函数数列是整标函数(). n xfnn Z 数列的几何意义数列的几何意义. . n =19n = 32 n = 42n = 50 . )1( 1 1 n x n n . )1( 1 1 时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 n n n 问题问题: : 1) 1) 当当 n 无限增大时无限增大时, , 数列数列 xn 是否无限接近是否无限接近 于某一确定的数值于某一确定的数值? ? 如果是如果是, , 如何用数学语如何用数学语 言描述言描述? ? 2) “2) “无限接近无限接近”意味着什么意味着什么? ?如何用数学如何用数学 语言刻划它

3、语言刻划它. . . 1 )1( 1, 1 无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当 n xn n n 1 n x nn n 11 )1( 1 随着随着n的增加，的增加，1/ /n会越来越小。会越来越小。 我们可用两个数之间的我们可用两个数之间的距离距离来刻化两个数的接近程来刻化两个数的接近程 度度 1 )1( 1 1 n n ,1000时时只要只要 n, 1000 1 1 n x有有 , 1000 1 给定给定 , 10000 1 1 n x有有,10000时时只要只要 n, 10000 1 给给定定 , 100 1 给定给定, 100 11 n 由由,100时时只要只要 n , 100

4、 1 1 n x有有 , 0 任任意意给给定定 ,) 1 (时时只要只要 Nn.1成成立立有有 n x 只要只要n无限增大，无限增大，xn 就会与就会与1无限靠近。无限靠近。 Nn 确保 1 n x 引入符号引入符号 N 和和 来刻化无限增大和无限接近。来刻化无限增大和无限接近。 定义定义2.2 2.2 给定数列给定数列 , n x如果存在常数如果存在常数a，使得，使得 0 （无论它多么小），（无论它多么小）， ,N + Z 使得当使得当nN 时，时， 绝对值不等式绝对值不等式 | n xa 恒成立，恒成立，则称数列则称数列 n x以以 a 为极限为极限 ，记为，记为lim, n n xa 或

5、者或者 (). n xan 若数列存在极限，则称此数列收敛，否则称此若数列存在极限，则称此数列收敛，否则称此 数列发散或不收敛。数列发散或不收敛。 例如, , 1 , 4 3 , 3 2 , 2 1 n n 1 n n xn)(1n , ) 1( , 4 3 , 3 4 , 2 1 ,2 1 n n n n n x n n 1 ) 1( )(1n ,2,8,4,2 n n n x2)(n ,) 1( ,1,1,1 1 n 1 ) 1( n n x 趋势不定趋势不定 收收 敛 敛 发发 散 散 1N ）、此定义称为数列极限的定义；）、此定义称为数列极限的定义； lim 0,0,. n n n x

6、a NnNxa 使时 恒有使时 恒有 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 用数学语言给出极限的定义：用数学语言给出极限的定义： 2 (0) n xa kk 2 2）、是充分小的正数，它刻画与的接近程度， 可以）、是充分小的正数，它刻画与的接近程度， 可以 任意给定，但一经给出后应看成固定不变的； 可以任意给定，但一经给出后应看成固定不变的； 可以 换成常数 ，等.换成常数 ，等. N N N N n xa 3 3）、 是正整数，它刻画与的接近时刻，随的变化）、 是正整数，它刻画与的接近时刻，随的变化 而变化，但并非函数关系。我们关心的是 的存在性，而变化，但并非函数关系

7、。我们关心的是 的存在性， 一般不必找最小的 。一般不必找最小的 。 x 1 x 2 x 2 N x1 N x 3 x 几何解释几何解释: 2 a a a .)( ,),(, 落在其外落在其外个个至多只有至多只有只有有限个只有有限个 内内都落在都落在所有的点所有的点时时当当 N aaxNn n 由此可知，改变数列的有限项不会影响其敛散性由此可知，改变数列的有限项不会影响其敛散性. 例例1 1. 1 )1( lim 1 n n n n 证明证明 证证1 n x1 )1( 1 n n n n 1 , 0 任给任给,1 n x要要, 1 n 只要只要, 1 n或或 所以所以, , , 1 N取取,时

8、时则当则当Nn 1 )1( 1 n n n 就有就有. 1 )1( lim 1 n n n n 即即 注注: : 用定义证明数列极限存在时用定义证明数列极限存在时, ,关键是从关键是从主要主要 不等式出发不等式出发, ,由由0,0,找到使找到使主要不等式成立的主要不等式成立的 N( (并不在乎并不在乎N N是否最小是否最小).).有时找有时找N比较困难，可比较困难，可 把不等式适当变形、放大。把不等式适当变形、放大。 例例2(2(常用结论常用结论) ). 1, 0lim qq n n 其中其中证明证明 证证, 0 任给任给 ,0 n n qx,lnln qn , ln ln q N 取取,时时

9、则当则当Nn ,0 n q就有就有. 0lim n n q , 0 q若若; 00limlim n n n q则则 , 10 q若若 , ln ln q n 思考：思考： | 1lim n n qq 当时，？当时，？ 1q 1, 1q ,不存在不存在 | 1q ， 二、函数的极限二、函数的极限 定义定义2.3 . 2.3 . 设函数设函数( ) ,f xa 在区间 上有定义，在区间 上有定义，若存在若存在 ,Ma正数正数,xM 当时 总有当时 总有0 ,A 常数 ，使得常数 ，使得 ( ),f xA ( )xf xA 则称时，函数以 为极限，记作则称时，函数以 为极限，记作 + lim( )

10、x f xA ( )(+)f xAx或当或当 + lim( ) x f xA 0,0, | ( )| .MxMf xA当时当时 1 1、自变量趋向、自变量趋向时函数的极限时函数的极限 M A A ox y )(xfy A （2 2）几何解释）几何解释: : 直线直线 y = = A 为曲线为曲线)(xfy 的水平渐近线的水平渐近线 说明说明： 定义为函数极限的定义为函数极限的 定义。定义。 M (1)(1) 类似地可以定义下面两种情况类似地可以定义下面两种情况 : : lim( ) x f xA 0 , 0 ,M当当x M 时时, , 有有 ( )f xA lim( ) x f xA 0 ,

11、0 ,M当当 xM 时时, , 有有 ( )f xA + lim( ) x f xA 0,0, | ( )| 0 ( ), x 使当时 有使当时 有( )0f x ( ( )0).f x 则存在则存在( A 0 , ,( ),U 总总存存在在 U( )x 当时，总有当时，总有 ( )f xx 则称函数为当时的则称函数为当时的不定号无穷大不定号无穷大， lim( ). x f x 若在定义中将若在定义中将 式改为式改为 ( )f xM 记作记作lim( ) x f x (lim( ) x f x 记作记作 ( ( ) ,f xM ( )f xx 则称函数当为正无穷大则称函数当为正无穷大 （负无穷

12、大）（负无穷大） 当当 例如例如 : : 1 1 lim, 1 x x 函数函数 1 1x 当当 1x时为无穷大时为无穷大; ; 0 lim ln, x x 函数函数 ln x 0 x 时为负无穷大时为负无穷大; ; lim1, x x 函数函数 1x 当当 x 时为正无穷大时为正无穷大. . 说明说明: : 1.无穷大不是很大的数无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态它是描述函数的一种状态. 2.2.一个变量是否为无穷大，与极限过程有关一个变量是否为无穷大，与极限过程有关. . 1 1 x y 若若 lim( ), xa f x 则直线则直线xa 为曲线为曲线)(xfy 的铅直渐近线的

13、铅直渐近线 . . 渐近线渐近线 1 一般地，一般地， x y o 3 3、无穷小与无穷大的关系、无穷小与无穷大的关系 (1)(1)若若)(xf为无穷大为无穷大, , )( 1 xf 为无穷小为无穷小 ; ; (2) (2)若若)(xf为无穷小为无穷小, , 且且,0)(xf 则则 )( 1 xf 为无穷大为无穷大. . 则则 据此定理据此定理 , , 关于无穷大的问题都可转化为关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论无穷小来讨论. . 定理定理2.3. 2.3. 在自变量的同一变化过程中在自变量的同一变化过程中, , 说明说明: : 定义定义2.5.2.5. ( ) lim0 , ( ) x g x f x 若若 ( )( ( );g xo f x 记作记作 ( ),( )xf xg x 设时，为无穷小，设时，为无穷小， 4 4、无穷小的比较、无穷小的比较 ( )( ),g xf x则称是比高阶的无穷小则称是比高阶的无穷小 ( ) lim, ( ) x g x f x 若若 ( )( ),g xf x则称是比低阶的无穷小则称是比低阶的无穷小 ( ) lim0 , ( ) x g x C f x 若若( )( ),g xf x则称是比同阶的无穷小则称是比同阶的无穷小 ( ) lim1 , ( ) x g x f x 若若 ( )( );g xf x记作记作 ( )