广义胡克定律之欧阳家百创编

1、欧阳家百创编10.4空间应力状态及广义胡克定律欧阳家百一 空间应力状态简介当单元体上三个主应力均不为零时的应力状态称为空间应力状态，也称为三向应力状态。本节只讨论在己知主应力6、6、6的条件下，单元体的最大正应力和最大剪应力。先研究一个与6平行的斜i面上的应力情况，如图10-16(a)所示。该斜面上的应力0、工与6无关，只由主应力6、6决定。于是, 可由02、6确定的应力圆周上的点来表示平行于6某个斜面上 的正应力和剪应力。同理，在平行于02或03的斜廂上的应力T ,也可分别由(6、6)或(6、02)确定的应力圆来表 示。这样作出的3个应力圆称作三向应力圆，如图10-16 (d) 所示。当与三

2、个主应力均不平行的任意斜廂上的正应力和剪应 力必然处在三个应力圆所围成的阴影范围之内的某一点D。D点 的纵横坐标值即为该斜廂上的正应力和剪应力。由于D点的确 定比较复杂且不常用，在此不作进一步介绍。欧阳家百创编图10-16空间应力状态及英应力圆二、最大.最小正应力和最大剪应力从图10-16(d)看出，在三个应力圆中，由6、6所确定的 应力圆是三个应力圆中最大的应力圆，又称极限应力圆。画阴 影线的部分内，横坐标的极大值为A1点，而极小值为B1点， 因此，单元体正应力的极值为：单元体中任意斜上的应力一定在6和之间。而最大剪应力则等于最大应力圆上G1点的纵坐标，即等于 该应力圆半径：G1点在由6和6

3、所确定的圆周上，此圆周上各点的纵横坐标就是与6轴平行的一组斜直上的应力，所以单元体的最大剪应力所在的平面与02轴平行，且与6和6主平面交45o三.广义胡克定律在研究单向拉伸与压缩时，己经知道了在线弹性范围内, 应力与应变成线性关系，满足胡克定律欧阳家百创编b=E$(a)此外，轴向变形还将引起横向尺寸的变化，横向线应变根据材料的泊松比可得出：在纯剪切的情况下，根据实验结果，在剪应力不超过剪切 比例极限时，剪应力和剪应变之间的关系服从剪切胡克定律， 即_ TZy 或 r = G(c)对于复杂受力情况，描述物体一点的应力状态，通常需要9 个应力分量，如图10所示。根据剪应力互等定律，Txy=- Ty

4、x, Txz=-Tzx, Tyz= - Tzy,因而，在这9个应力分量中只有6个 是独立的。这种情况可以看成杲三组单向应力(图10-17)和三 组纯剪切的组合。对于各向同性材料，在线弹性范围内，处于 小变形时，线应变只与正应力有关，与剪应力无关；而剪应变 只与剪应力有关，与正应力无关，并且剪应力只能引起与其相 对应的剪应变分量的改变，而不会影响其它方向上的剪应变。 因此，求线应变时，可不考虑剪应力的影响，求剪应变时不考 虑正应力的影响。于是只要利用(a) .(b) .(c)三式求出与各个应力分量对应的应变分量，然后进行叠加即可。图10-17应力分解如在正应力ox单独作用时(图10-17(b),

5、单元体在x方向欧阳家百创编在cry单独作用时(图10-17(c),单元体在x方向的线应变在gz单独作用时(图10-17 (d),单元体在x方向的线应变在ox、cry、bz共同作用下，单元体在x方向的线应变 为：同理，可求出单元体在y和z方向的线应变 y和s z。最 后得右心+6)(10_9)对于剪应变与剪应力之间，由于剪应变只与剪应力有关， 并且剪应力只能引起与其相对应的剪应变分量的改变，而不会 影响其它方向上的剪应变。因而仍然是(c)式所表示的关系。 这样，在xy、yz、zx三个面内的剪应变分别是_ 1 _2(1 + “)GTyz E Tyz(10-10)公式(109)和(10-10)就是三

6、向应力状态时的广义胡克定 律。当单元体的六个是主平时，使x、y. z的方向分别与主 应力6、6、6的方向一致，这时有广义胡克定律化为：欧阳家百创编01、2、3方向分别与主应力6、02、6的方向一致，称为 点处的主应变。三个主应变按代数值的大小排列，Si S2 83,其中，和“分别是该点处沿各方向线应变的最大值和最 小值。图10-18主应力单四.体积应变单位体积的改变称为体积应变(体应 变)。图10-18所示的主单元体，边长分 别是dx、dy和dzo在3个互相垂直的廂 上有主应力6、6和6。单元体变形前的体积为：v = dxdydz;变形后的体积为:vi= (dx +idx)(dy +2dy)(

7、dz +?dz)则体积应变为：略去高阶微量，得(10-12)将广义胡克定律式(10-11)代入上式，得到以应力表示的体积应 变1一2“(6+b2 + bJ)(10-13)(10-14)6 =(6+b2 + 6)欧阳家百创编导出变形比能的计算公式为在复杂应力状态下的单元体的变形比能为将将广义胡克定律(10.11)式代入上式，经过整理后得出：=秩* + 疋 + 分 一2“(b|b2 + b26 + 66)(0 6)式(10-16)就是在复杂应力状态下杆件的弹性变形比能计算公 式。由于单元体的变形包括体积改变和形状改变，所以变形比 能也可以看成由体积改变比能和形状改变比能这两部分的组 合。式中：为体积改变比能，叫为形状改变比能。对于图(10-19 (c)中的单元体，各面上的正应力为：%=严+6 + 6),将小代入式(10.16)得体积改变比能：=铮(6+6 + 6)26E(10-17)形状改变比能:訥2)2+d)2+d)2(10-18)例107如图10-20所示钢梁，在梁的A点处测得线应变 -400x10“，20x10,试求：A点处沿X、y方向的正应力和 Z方向的线