点的坐标与向量坐标

1、一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系 二、向量及其线性运算的坐标表示二、向量及其线性运算的坐标表示 三、向量的模、方向角与投影三、向量的模、方向角与投影 四、小结四、小结 作业作业 第二节第二节 点的坐标与向量坐标点的坐标与向量坐标 x横轴横轴 y纵轴 纵轴 z竖轴竖轴 定点定点o 空间直角坐标系空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向三个坐标轴的正方向 符合符合右手系右手系. 一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系 1. 空间直角坐标系的建立空间直角坐标系的建立 笛卡儿（笛卡儿（1596-16901596-1690）-著名的法国哲著名的法国哲 学家、数学家、物理学家，解析几何学奠学家、数学家、物理学

2、家，解析几何学奠 基人之一。基人之一。 黑格尔称他为黑格尔称他为“现代哲学之父现代哲学之父”。 1637年，笛卡儿发表了年，笛卡儿发表了几何学几何学。几何学几何学一一 书提出了解析几何学的主要思想和方法，标志着解析几书提出了解析几何学的主要思想和方法，标志着解析几 何学的诞生。解析几何的出现，改变了自古希腊以来代何学的诞生。解析几何的出现，改变了自古希腊以来代 数和几何分离的趋向，把相互对立着的数和几何分离的趋向，把相互对立着的“数数”与与“形形” 统一了起来。此后，人类进入变量数学阶段。笛卡儿的统一了起来。此后，人类进入变量数学阶段。笛卡儿的 这一天才创见，更为微积分的创立奠定了基础，从而开

3、这一天才创见，更为微积分的创立奠定了基础，从而开 拓了变量数学的广阔领域。拓了变量数学的广阔领域。 x yo z xoy面面 yoz面面 zox面面 空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限 空间的点空间的点有序数组有序数组),(zyx 11 ),(zyxM x y z o )0 , 0 ,(xP )0 , 0(yQ ), 0 , 0(zR 2. 点的表示点的表示 x y z o 1 M PN Q R 2 M ? 21 MMd , 2 2 22 1 2 NMPNPMd 3. 空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式 , 121 xxPM , 12 yyPN , 122 zzNM 2

4、 2 22 1 NMPNPMd . 2 12 2 12 2 1221 zzyyxxMM 空间两点间距离公式空间两点间距离公式 x y z o 1 M PN Q R 2 M 0000 (1) (,)Mxy z求求到到定定点点的的距距离离为为定定长长的的点点的的 轨轨迹迹。 00001111 (2) (,)(,)Mxy zMxy z求求到到、两两点点距距离离 相相等等的的点点的的轨轨迹迹。 问题：问题： (3) 写出点写出点),(cba关于各坐标面、坐标轴及坐标关于各坐标面、坐标轴及坐标 原点的对称点的坐标。原点的对称点的坐标。 二、向量及其线性运算的坐标表示二、向量及其线性运算的坐标表示 1.

5、1. 向量的坐标表示向量的坐标表示 a 0 M M设设 0000 ,(,),( , , )Mxy zM x y z起起点点终终点点 000 -,-, -x xyy z z将将分分别别称称为为 0 M M,xy在在 轴轴轴轴 z轴轴上上的的投投影影。 000 -, -, - xyz x xayyaz za记记 (, , ), , xyzxyz aaaaaaa a 称称为为向向量量 的的坐坐标标表表达达式式, ,称称 为为向向量量 的的坐坐标标（或或分分量量） x y z o 1 M PN Q R 2 M PN Q R 1 M 2 M x y z o xyz aa ia ja k x轴轴y轴轴z轴

6、轴 上上的的分分向向量量a 在 在 . , , kajaiaa a zyxkji zyx 的坐标分解式的坐标分解式 则有向量则有向量称为直角坐标系下的称为直角坐标系下的 轴正向同向的单位向量轴正向同向的单位向量表示与表示与通常以通常以 标准单位向量，标准单位向量， （标准分解式）（标准分解式） 000 (-, -, -)x xyyz z 0 M M),( zyx aaaa 记记 :),(),(则可得则可得若若 zyxzyx bbbbaaaa ),(. 1 zzyyxx babababa ),(. 2 zyx aaaa z z y y x x zyxzyx a b a b a b aaabbb

7、ababa ),(),( ,/,0. 3 或或 即即相当于相当于时时当当 2. 2. 向量线性运算的坐标表示向量线性运算的坐标表示 例例4 4、 ., 1 ),(),( 222111 MBAMMAB zyxBzyxA 使使上求点上求点在直线在直线 以及实数以及实数和和已知两点已知两点 x o z y A M B 例例5 5、.)4, 2, 0(),5 , 4 , 3(),1, 0 , 1(:共线共线三点三点证明证明 CBA 1 1、向量的模、向量的模 模为模为1 1的向量称为的向量称为单位向量单位向量， ),( a a a a a a a a e z y x a 即有即有 三三. . 向量的模

8、、方向角与投影向量的模、方向角与投影 的模：的模：向量向量 ),( zyx aaaa 222 zyx aaaa PN Q R 1 M 2 M x y z o 例例6 6、 . )3 , 2 , 5(),2 , 1 , 7(),1 , 3 , 4( 321 个等腰三角形个等腰三角形点为顶点的三角形是一点为顶点的三角形是一 三三求证以求证以MMM 例例7 7、 . )2, 5 , 3()7 , 1 , 4( 距离相等的点距离相等的点 和和轴上求与两点轴上求与两点在在 BAz 例例8 8、 . ),3 , 1 , 7()5 , 0 , 4( e ABBA 方向相同的单位向量方向相同的单位向量 求与求

9、与和和已知两点已知两点 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角，方向角， ,0 ,0 .0 x y z o 1 M 2 M 分别记为分别记为cos ,cos,方方向向角角的的余余弦弦 cosa 叫叫做做 的的方方向向余余弦弦。 2 2、向量的方向角与方向余弦、向量的方向角与方向余弦 x y z o 1 M 2 M 则则cos, | x a a cos, | y a a cos. | z a a 1coscoscos 222 且且 (,), xyz aaaa 若若则则 (,) | | | y zx aa a aaa 1 (,) axyz a eaaa aa

10、 (cos ,cos,cos ) aa 以以 的的方方向向余余弦弦作作为为坐坐标标的的向向量量是是与与 同同向向的的单单位位向向量量。任任何何非非零零向向量量可可以以表表示示为为 它它的的模模与与同同向向单单位位向向 结结论论： 量量的的数数乘乘。 a a a a a a z y x cos ,cos ,cos 1coscoscos 222 )cos,cos,(cos a e 例例9 9、 ., ),0 , 3 , 1()2, 2 , 2( 和方向余弦和方向余弦方向角方向角的模的模 计算向量计算向量和和已知两点已知两点 MN NM 例例1010、 . , 6, 43 , )(, 的坐标的坐标求

11、点求点 且且和和轴的夹角依次为轴的夹角依次为轴轴与与 起点在原点的向量起点在原点的向量向径向径卦限卦限位于第位于第设点设点 A OAyxOA A 0coscos)3( ; 1cos)2( ; 0cos)1( : ,11 其方向余弦分别满足其方向余弦分别满足 标面有何关系时标面有何关系时、当向量与坐标轴或坐、当向量与坐标轴或坐例例 3 3、向量的投影、向量的投影(projection) ., ,),( , 0 , 上的投影向量上的投影向量在在为为则称则称点点 上的投影上的投影在在为为夹角夹角 其其向量向量如右图如右图 baMO bMMba ONbOMa o M N a b M bb eaeOMM

12、O )cos()cos( 则则 .jPr, cosabaa b 记为记为上的投影上的投影在在为向量为向量称数称数 cosjPraa b u a b c .,jPr也可为零也可为零可正可负可正可负是一个数是一个数a b 注：注： 向量线性运算的坐标表示式向量线性运算的坐标表示式 向量的表示形式：向量的表示形式： 几何形式，坐标形式，分解表达式几何形式，坐标形式，分解表达式 向量的模与方向余弦向量的模与方向余弦 四、小结四、小结 向量的投影向量的投影 练练 习习 题题 ., , ,. 3 .)5 , 3, 4(. 2 .),2 , 1 , 1( )7 , 4, 5(),1, 2 , 3(. 1 写出它各顶点的坐标写