295660029567数学分析上下册华东师范大学数学系52

1、一、导数的四则运算 导数很有用，但 全凭定义来计算导数是不 方便的. 为此要建立一些 有效的求导法则, 使导数 运算变得较为简便. 2 求导法则 数学分析 第五章 导数和微分 二、反函数的导数 三、复合函数的导数 四、基本求导法则与公式 *点击以上标题可直接前往对应内容 2 求导法则 数学分析 第五章 导数和微分 高等教育出版社 导数的四则运算 反函数 的导数 复合函数的导数 基本求导法 则与公式 定理5.6 定理5.5 导数的四则运算 在点在点 x0 也可导也可导, , 且且 在点在点 x0 也可导也可导, , 且且 若函数若函数 在点在点 x0 可导可导, , 则函数则函数 若函数若函数

2、在点在点 x0 可导可导, , 则函数则函数 后退 前进 目录 退出 2 求导法则导数的四则运算 2 求导法则 数学分析 第五章 导数和微分 高等教育出版社 导数的四则运算 反函数 的导数 复合函数的导数 基本求导法 则与公式 推论 定理定理 5.6 可推广到任意有限个函数相乘的情形可推广到任意有限个函数相乘的情形, , 如如 下面证明乘积公式下面证明乘积公式 (2), 请读者自行证明公式请读者自行证明公式 (1) . 证证 (2) 按定义可得按定义可得 若若 u (x) 在点在点 x0 可导可导, ,c 是常数是常数，则则 导数的四则运算 2 求导法则 数学分析 第五章 导数和微分 高等教育

3、出版社 导数的四则运算 反函数 的导数 复合函数的导数 基本求导法 则与公式 注意注意: ,: ,千万不要把导数乘积公式千万不要把导数乘积公式 (2) 记错了记错了. . 导数的四则运算 2 求导法则 数学分析 第五章 导数和微分 高等教育出版社 导数的四则运算 反函数 的导数 复合函数的导数 基本求导法 则与公式 例例1 解解 因此因此, 对于多项式对于多项式 f 而言而言, 总是比总是比 f 低一个幂次低一个幂次. . 例例2 解解 由公式由公式 (2)，得，得 导数的四则运算 2 求导法则 数学分析 第五章 导数和微分 高等教育出版社 导数的四则运算 反函数 的导数 复合函数的导数 基本

4、求导法 则与公式 定理5.7 在点在点 x0 也可导也可导，且且 若函数若函数 在点在点 x0 可导可导, , 导数的四则运算 2 求导法则 数学分析 第五章 导数和微分 高等教育出版社 导数的四则运算 反函数 的导数 复合函数的导数 基本求导法 则与公式 证证 由于由于 在点在点 x0 可导可导, , 因此因此 导数的四则运算 (5) 2 求导法则 数学分析 第五章 导数和微分 高等教育出版社 导数的四则运算 反函数 的导数 复合函数的导数 基本求导法 则与公式 对对 应用公式应用公式 (2) 和和 (5), 得得 导数的四则运算 2 求导法则 数学分析 第五章 导数和微分 高等教育出版社

5、导数的四则运算 反函数 的导数 复合函数的导数 基本求导法 则与公式 例例3 求下列函数的导数：求下列函数的导数： 解解 导数的四则运算 2 求导法则 数学分析 第五章 导数和微分 高等教育出版社 导数的四则运算 反函数 的导数 复合函数的导数 基本求导法 则与公式 同理可得同理可得 同理可得同理可得 导数的四则运算 2 求导法则 数学分析 第五章 导数和微分 高等教育出版社 导数的四则运算 反函数 的导数 复合函数的导数 基本求导法 则与公式 定理5.8 证证 由由假设假设, , 在点在点的某邻域内连续的某邻域内连续, , 反函数的导数 则则 在点在点 可导可导, 且且 某邻域内连续，严格单

6、调某邻域内连续，严格单调, 且且 反函数 的导数 设设 为为 的反函数，在点的反函数，在点 的的 2 求导法则 数学分析 第五章 导数和微分 高等教育出版社 导数的四则运算 反函数 的导数 复合函数的导数 基本求导法 则与公式 便可证得便可证得注意到注意到 且严格单调且严格单调, , 从而有从而有 反函数 的导数 2 求导法则 数学分析 第五章 导数和微分 高等教育出版社 导数的四则运算 反函数 的导数 复合函数的导数 基本求导法 则与公式 解解 上的反函数，故上的反函数，故 反函数 的导数 例例4 求下列函数的导数：求下列函数的导数： 2 求导法则 数学分析 第五章 导数和微分 高等教育出版

7、社 导数的四则运算 反函数 的导数 复合函数的导数 基本求导法 则与公式 同理有同理有 的反函数，故的反函数，故 上上 反函数 的导数 2 求导法则 数学分析 第五章 导数和微分 高等教育出版社 导数的四则运算 反函数 的导数 复合函数的导数 基本求导法 则与公式 定理5.9 在点在点 x0 可导，可导，且且 这个定理一般用有限增量公式来证明这个定理一般用有限增量公式来证明，但为了与但为了与 复合函数的导数 证法证法, 为此需要先证明一个引理为此需要先证明一个引理. 今后学习向量函数相联系今后学习向量函数相联系，这里采用另一种新的这里采用另一种新的 复合函数的导数 2 求导法则 数学分析 第五

8、章 导数和微分 高等教育出版社 导数的四则运算 反函数 的导数 复合函数的导数 基本求导法 则与公式 引理引理 f 在点在点 x0 可导的充要条件是可导的充要条件是: : 证证 设设 f (x) 在点在点 x0 可导可导, , 且令且令 复合函数的导数 在在 x0 的的某邻某邻 2 求导法则 数学分析 第五章 导数和微分 高等教育出版社 导数的四则运算 反函数 的导数 复合函数的导数 基本求导法 则与公式 得得 f (x) 在点在点 x0 可导可导, , 根据极限根据极限 复合函数的导数 2 求导法则 数学分析 第五章 导数和微分 高等教育出版社 导数的四则运算 反函数 的导数 复合函数的导数

9、 基本求导法 则与公式 同理，同理， 则存在一个在点则存在一个在点 x0 于是当于是当 有有 由引理的必要性由引理的必要性 且且连续的函连续的函 数数 下面证明定理下面证明定理 5.9 ( 公式公式 (7) ) . 知存在一知存在一 复合函数的导数 连续，连续， 2 求导法则 数学分析 第五章 导数和微分 高等教育出版社 导数的四则运算 反函数 的导数 复合函数的导数 基本求导法 则与公式 若将若将公式公式(7)改写为改写为 理的充分性理的充分性, 这样就容易理解这样就容易理解 “链链”的的 复合函数求导公式复合函数求导公式 (7) 又称为又称为 “链式法则链式法则”. 根据引根据引 复合函数

10、的导数 意义了意义了. 且且 在链式法则中一定要区分在链式法则中一定要区分 2 求导法则 数学分析 第五章 导数和微分 高等教育出版社 导数的四则运算 反函数 的导数 复合函数的导数 基本求导法 则与公式 例例5 解解分解成分解成 这两个这两个 于是由链式法则于是由链式法则, 有有基本初等函数的复合，基本初等函数的复合， 复合函数的导数 2 求导法则 数学分析 第五章 导数和微分 高等教育出版社 导数的四则运算 反函数 的导数 复合函数的导数 基本求导法 则与公式 例例6 解解 复合而成复合而成, 复合函数的导数 2 求导法则 数学分析 第五章 导数和微分 高等教育出版社 导数的四则运算 反函

11、数 的导数 复合函数的导数 基本求导法 则与公式 解解 运用复合求导法则运用复合求导法则, , 分别计算如下分别计算如下: : 复合函数的导数 例例7求下列函数的导数求下列函数的导数: : 2 求导法则 数学分析 第五章 导数和微分 高等教育出版社 导数的四则运算 反函数 的导数 复合函数的导数 基本求导法 则与公式 复合函数的导数 2 求导法则 数学分析 第五章 导数和微分 高等教育出版社 导数的四则运算 反函数 的导数 复合函数的导数 基本求导法 则与公式 例例8 8 求下列函数的导数求下列函数的导数: : 解解 复合函数的导数 2 求导法则 数学分析 第五章 导数和微分 高等教育出版社

12、导数的四则运算 反函数 的导数 复合函数的导数 基本求导法 则与公式 所以所以 在在 处不可导处不可导. . 复合函数的导数 2 求导法则 数学分析 第五章 导数和微分 高等教育出版社 导数的四则运算 反函数 的导数 复合函数的导数 基本求导法 则与公式 化某些连乘、连除式的求导化某些连乘、连除式的求导. 对数求导法对数求导法 均可导，均可导， 对数求导法不仅对幂指函数对数求导法不仅对幂指函数有效有效, ,也能简也能简 复合函数的导数 则则 2 求导法则 数学分析 第五章 导数和微分 高等教育出版社 导数的四则运算 反函数 的导数 复合函数的导数 基本求导法 则与公式 解解 先对函数两边取对数先对函数两边取对数, 得得 再对上式两边求导再对上式两边求导, 又得又得 于是得到于是得到 例例9 复合函数的导数 2 求导法则 数学分析 第五章 导数和微分 高等教育出版社 导数的四则运算 反函数 的导数 复合函数的导数 基本求导法 则与公式 求导法则：求导法则： 基本