小学奥数同余问题.doc

1、。同余问题（一）在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如：现在时刻是 7 时 30 分，再过 52 小时是几时几分？我们知道一天是24 小时，也就是说 52 小时里包含两个整天再加上4 小时，这样就在 7时 30 分的基础上加上 4 小时，就是 11 时 30 分。很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。1. 同余的表达式和特殊符号37 和 44 同除以 7，余数都是 2 ，把除数 7 称作“模 7 ”，37 、44 对于模7同余。记作：（ mod7 ）“”读作同余。一般地，两个整数 a 和 b ，除以大于 1 的自然数 m 所得的余数相同，就称 a、b 对于模 m 同余，记作：

2、2. 同余的性质（1）（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。）（2）若，那么（这称作同余的对称性）（3）若，则（这称为同余的传递性）-可编辑修改 -。（4）若，则（）（这称为同余的可加性、可减性）（称为同余的可乘性）（5）若，则，n 为正整数，同余还有一个非常有趣的现象：如果那么（的差一定能被 k 整除）这是为什么呢？k 也就是的公约数，所以有下面我们应用同余的这些性质解题。【例题分析】-可编辑修改 -。例 1. 用 412 、133 和 257 除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？分析与解答：假设这个自然数是a，因为 412 、133 和 257 除以 a 所得的余

3、数相同，所以，说明 a 是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。所以 a 最大是 31 。例 2.除以 19 ，余数是几？分析与解答：如果把三个数相乘的积求出来再除以19 ，就太麻烦了， 利用同余思想解决就容易了。所以此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。-可编辑修改 -。例 3. 有一个 1997 位数，它的每个数位都是2 ，这个数除以 13 ，商的第 100 位是几？最后余数是几？分析与解答：这个数除以 13 ，商是有规律的。商是 170940 六个数循环，那么，即，我们从左向右数“ 170940 ”的第 4 个数就是我们找的那个数“9”，所以商的第 10

4、0 位是 9。余数是几呢？则所以商的个位数字应是“ 170940 ”中的第 4 个，商应是 9，相应的余数是 5 。【模拟试题】 （答题时间： 20 分钟）-可编辑修改 -。1. 求下列算式中的余数。（1）（2）（3）（4）2. 6254 与 37 的积除以 7 ，余数是几？3. 如果某数除 482 ， 992 ，1094 都余 74 ，这个数是几？同余问题（二）【例题分析】例 1.除以 7 ，余数是几？分析与解答：-可编辑修改 -。例 2. 一个自然数除以 3 余 2 ，除以 5 余 3，除以 7 余 1，这个自然数最小是几？分析：假设这个自然数为a那么这道题考虑的困难是它们的余数不相同。如

5、果把这道题改一下， 使它们的余数相同， 利用整除的知识， 便容易考虑了，先看下面一道题：一个自然数除以3 余 2 ，除以 5 余 2，除以 7 余 2 ，那么，这个自然数若减去 2 ，便同时是 3， 5， 7 的倍数，这样的自然数有：105 ，210 ，315 ， 分别被 3，5，7 除余 2 的数是2， 107 ，212 ，317 ， 最小的自然数是2。回过头来看刚才的题，能不能把它也变为余数相同的数呢？稍加变式，可以写成：-可编辑修改 -。这样同时是 3， 5， 7 倍数的数有 105 ，210 ，315 ， 那么同时被 3， 5， 7 余 8 的数有：8， 113 ，218 ，323 ，

6、 其中最小的自然数为8。例 3.在求 51173526被 7 除的余数时，小明这样做：所以余数是 5刘老师说，小明的算法不仅正确， 而且巧妙迅速，你知道其中的道理吗？分析与解答：看了下面的算式，你就会明白的。小明用的这种方法，有比较广泛的应用，常称之为“拼凑法”在解关于用几除的余数的问题时，常常“拼凑”出显然是几的倍数的部分，对于这部分，简直可以“置之不理”，这样可以使解答过程简化。例 4.除以 3 的余数是几？为什么？分析与解答：在上式的加项中，显然可以被 3 整除，因此只须计算被 3 除余数是几。-可编辑修改 -。由于因此由此可知，只须计算被 3 除的余数，它又等于被 3 除的余数。由于，

7、所以所以余数是 1【模拟试题】1. 今天是星期日，再过天又是星期几？2. 求除以 3 所得的余数。3. 某数除 680 ，970 和 1521 ，余数相同，这个数最大是几？4. 有一列数排成一行，其中第一个数是 3 ，第二个数是 7，从第三个数开始，每个数恰好是前两个数的和，那么，第1997 个数被 3 除，余数是几？5. 若将一批货物共千克装入纸箱，每箱装10 千克，最后余多少千克？若每箱装 17 千克，最后还余多少千克？6 、 1309 被一个质数相除，余数是21 ，求这个质数。-可编辑修改 -。7 、 1796 被一个质数相除，余数是24 ，求这个质数。8 、求 2001 2000 除以

8、 7 的余数。9 、求 123 345+234456 除以 11 的余数。10 、有一个大于1 的整数，它除1000 、1975 、2001 都得到相同的余数，那么这个整数是多少？11 、有三个数1989 、901 和 306 被同一个自然数除，得到相同的余数，求这个自然数。12 、两个自然数相除，商15 ，余 3 ，被除数、除数、商、余数的和是853 ，求被除数。8 、两数相除商40 余 7 ，被除数、除数、余数和商的和是710 ，求被除数。-可编辑修改 -。13 、有一个数除以3 余 1 ，除以 4 余 2 ，问这个数除以12 ，余数是几？14 、一个数除以5 余 1 ，除以 6 余 3

9、，除以 7 余 4，这个数最小是几？15 、 3867 4253 1644 351 ，求里的数。4937 6845 3379 765 ，求里的数。16 、两个自然数相除，商8 余 16 ，被除数、除数、商与余数的和为265 ，求除数是多少？17 、写出除以8 所得的商和余数（不为0 ）相同的所有的数。-可编辑修改 -。18 、 2002 2002-2001除以 9 的余数是多少？19 、当 2002 和 1781 除以某一个自然数，余数分别是2 和 1 ，那么这个数最大是多少？20 、一个数除以17 的余数是5 ，被除数扩大2 倍，余数是多少？21 、有一个数，除以3 余数是 1 ，除以 4

10、余数是 3 。这个数除以12 ，余数是多少。22 、 570 被一个两位数除，余数是15 ，这个两位数是多少？23 、有一个数加上22 的和被 9 除余 3 ，这个数加上35 的和被 9 被余几？-可编辑修改 -。B 组24 、有一个整数，用它去除45 ， 53 ， 143 得到的 3 个伤痕的和是20 ，这个数是多少？25 、有一个数用它去除100 ，余数是1 ，用它去除50 ，余数是6 ，求这个数。26 、把几十个苹果平均分成若干份，每份9 个余 8 个，每份8 个余 7 个每份 4 个余 3 个。这堆苹果共有多少个？27 、有一个数被5 和 11 整除均余4，被 3 正好整除，这个数最小

11、是几？28 、求被 4 除余 2，被 6 除余 2，被 9 除余 5 的两位数。29 、一个数能被3 、 5、7 整除，若用11 去除则余7 ，这个数最小是几？-可编辑修改 -。30 、小红收数学学习小组买奥数练习本的钱，她只记下四组各交的钱，第一组6.3 元，第二组 7.7 元，第三组6.3 元，第四组9.1 元，又知道每本练习本价格都超过1 角，求数学学习小组共有多少人？（提示：练习本单价是总价的公约数。）31 、五年级两个班的学生一起排队出操，如果 8 人排一行， 多出一个人； 如果 11 人排一行，同样多出一个人。这两个班最小共有多少人？（提示：如果减去一人那么人数就能被8 和11 整

12、除了。）32 、一个数被4 除余 3 ，被 5 除余 4 ，被 6 除余 5，这样的数中最小的是几？（提示：余数与除数有什么关系？）33 、一筐苹果，如果按5 个一堆放，最后多出3 个；如果按6 个一堆放，最后多出4 个；如果按 7 个一堆放，还多出1 个；这筐苹果至少有多少个？（提示：先满足被7 除余 1 ，再从中找出被6 除余 4 ）-可编辑修改 -。竞赛题精选1 、若 2836 ， 4582 ，5164 ， 6522四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为（）。（2001 小学数学奥林匹克试题决赛B 卷）2、一个自然数除以3 余 2，除以 5 余 2，除以

13、 7 余 5 ，除以 9 余 5，除以 11 余 4，则满足这些条件的最小自然数是（）。（ 1996 年我爱数学少年冬令营试题）3 、某数除以11 余 8 ，除以 13 余 10 ，除以 17 余 12 ，那么这个数的最小可能值是（）。（1998 年小学数学奥林匹克试题预赛A 卷）-可编辑修改 -。4 、一个小于200 的数，它除以11 余 8 ，除以 13 余 10 ，那么这个数是（）。（ 1998年小学数学奥林匹克试题预赛B 卷）5 、在一道有余数的除法算式中，被除数、除数，商和余数的和是599 ，已知商是15 ，余数是 12 ，请问，题目中的除数是多少？（厦门实小2000-2001学年第

14、二学期数学科竞赛卷B组）同余问题提高训练1、求 437 309 1993 被 7 除的余数。2、求被 3 除余 2，被 5 除余 3，被 7 除余 5 的最小三位数-可编辑修改 -。3、分别求满足下列条件的最小自然数（1）用 3 除余 1，用 5 除余 1，用 7 除余 1。（2）用 3 除余 2，用 5 除余 1，用 7 除余 1。（3）用 3 除余 1，用 5 除余 2，用 7 除余 2。4、有一个整数 ,除 300 、 262 、205 得到相同的余数 .这个整数是几 ?5、今天是星期四，过143 89 天后是星期几？-可编辑修改 -。6.试一试：粮库有 771 千克大米，用每袋50 千

15、克的袋子装，最后余下多少千克？7、 数 2001 ，2232 除以整数 n ，得到相同的余数，而且这个余数是合数，求n.8、用一个自然数去除715 和 903 所得余数相同，且商相差4.求这个数 .9、若 2836 ，4582 ，5146 ，6522 四个自然数被一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为多少？10 、有三个不同的三位数，它们分别除以a ，得到的余数相同而且是最大二位偶数，当 a 为两位数时，这三个数最小的和是多少？-可编辑修改 -。11 、某年级有将近400 名学生。有一次演出节目排队时出现：如果每8 人站成一列则多余 1 人；如果改为每9 人站成一列则仍多余1 人；结果发现现成每10人结成一列，结果还是多余1 人；聪名的你知道该年级共有学生多少名吗？12 、希望小学六年级和五年级去春游，每辆车可乘 36 人.六年级先坐满几车， 剩下的 16 人与五年级坐满一车， 五年级又坐满若干车 .到达目的地后， 每一个五年级的学生和每一个六年级学生合影一张，每个胶卷可拍36 张.全部学生照相完毕，最后一个胶卷还剩几张未拍？13 、甲、乙、丙、丁四个学校分别有69 人、 85 人、 93 人、 97 人旅行 .现在要把这四校学生分别进行分组，并使每组的人数尽可能多，以便乘车参