二项式定理完美PPT学习教案

1、会计学1 二项式定理完美二项式定理完美 2.通项公式 式中的 叫做二项展开式的通项，用 表示。即 rrnr n baC 1r T rrnr nr baCT 1 注意： （1）表示第r+1项； （2）通项公式中的a与b的位置不能换. （3）要得到 即在(a+b)n中，有r个因式取b， 余下n-r个因式取a。 3.二项式系数与某项系数的区别： 二项式系数是 ，某项的系数包括二项式系数 和二项式中a,b系数及常数展出部分。 r n C rrnr n baC 第第 项项1r 第1页/共28页 4.二项式系数的性质 （1）对称性：到首末距离相等的两项的二项式系数 相等，即 （2）增减性即最大值 （3）二

2、项式系数和为 奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和等 于2n-1,即 rn n r n CC 上是减函数。在上是增函数在,;, 0)( 22 nCrf nn r n 2 )()( 2max n n n Cfrfn为偶数时，当 2 1 2 1 )()()( 2 1 2 1 max nn nn nn CCffrfn为奇数时，当 nn nnnn CCCC2 210 1531420 2 n nnnnnn CCCCCC 第2页/共28页 B 第3页/共28页 2.2.计算并求值计算并求值 12 (1) 1 242 nn nnn CCC 5432 (2)(1)5(1)10(1)10(1)xxxx 5(

3、1)x 011222 112122 nnnn n nnnn CCCC 原 式 (1 2)3 nn （1） 第4页/共28页 05 5 (1)C x 14 5( 1)C x 23 5 (1)C x 32 5( 1)C x 4 5( 1)C x 5 5 C 5 5 C 5 (1) 11x 5 1x (2)(2)原式原式 第5页/共28页 A 第6页/共28页 答案：答案：60 第7页/共28页 二、题型与方法 通项公式中含有通项公式中含有a，b，n，r，Tr15个元素，只要知道了其中的个元素，只要知道了其中的4个元素，就可以求出第个元素，就可以求出第5个元素，在求展开式中的指定项问题时，一般是利用

4、通项公式，把问题转化为解方程个元素，在求展开式中的指定项问题时，一般是利用通项公式，把问题转化为解方程(或方程组或方程组)这里必须注意隐含条件这里必须注意隐含条件n，r均为非负整数且均为非负整数且rn. 考点一考点一通项公式的应用通项公式的应用 第8页/共28页 已知在已知在 的展开式中，第的展开式中，第6项为常数项为常数 项。项。 n x x) 2 1 ( 3 3 (1)求求n； (2)求含求含x2的项的系数；的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项求展开式中所有的有理项 第9页/共28页 变式变式 求求 展开式中的有理项展开式中的有理项 9 3 xx 第10页/共28页 (2)求二项展开

5、式中的有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解若求二项展开式中的整式项，则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项的方式一致求二项展开式中的有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解若求二项展开式中的整式项，则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项的方式一致 第11页/共28页 已知已知 的展开

6、式的二项式系数和比的展开式的二项式系数和比 的展开式的二项式系数和大的展开式的二项式系数和大992，求，求 的展开的展开 式中：式中： n xx 223 )（ n x) 13 （ n x x 2 ) 1 2 （ 第12页/共28页 第13页/共28页 1根据二项式系数的性质，根据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二项式系数最大，为奇数时中间两项的二项式系数最大，n为偶数时中间一项的二项式系数最大为偶数时中间一项的二项式系数最大 2求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项不同，求展开式中系数最大项的步骤是：先假定第求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项不同，求展开式中系数最大项的步骤是：先

7、假定第r1项系数最大，则它比相邻两项的系数都不小，列出不等式组并求解此不等式组求得项系数最大，则它比相邻两项的系数都不小，列出不等式组并求解此不等式组求得 【规律小结规律小结】 第14页/共28页 考点二考点二 二项式定理展开式的应用二项式定理展开式的应用 利用二项展开式可以解决如整除、近似计算、不等式证明、含有组合数的恒等式证明，以及二项式系数性质的证明等问题利用二项展开式可以解决如整除、近似计算、不等式证明、含有组合数的恒等式证明，以及二项式系数性质的证明等问题 第15页/共28页 第16页/共28页 A 第17页/共28页 【规律小结规律小结】 对二项式展开式中系数、系数和问题，常用对二

8、项式展开式中系数、系数和问题，常用赋值法，赋值法，一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x0得常数项，令得常数项，令x1可得所有项系数和，令可得所有项系数和，令x1可得奇数次项系数之和与偶数次项系数之和的差，而当二项展开式中含负值项时，令可得奇数次项系数之和与偶数次项系数之和的差，而当二项展开式中含负值项时，令x1则可得各项系数绝对值之和则可得各项系数绝对值之和 第18页/共28页 考点三考点三 二项式定理的灵活应用二项式定理的灵活应用 求 的展开式的常数项。 10 1 2 1 x x 第19页/共28页 变式：（变式：（1）求（）求（x2

9、+x+1)13展开式中展开式中x5的系数；的系数； （2）求（）求（2x-1)6(3+x)5展开式中展开式中x3的系数的系数. 第20页/共28页 考点四考点四 整除或余数问题整除或余数问题 的余数除以求1009192 求证：求证： 能被能被7整除。整除。 15151 第21页/共28页 求求 的近似值，使误差小于的近似值，使误差小于 6 998. 0001. 0 第22页/共28页 （1）整除性问题，余数问题，主要根据二项式定理的）整除性问题，余数问题，主要根据二项式定理的 特点，进行添项或减项，凑成能整除的结构，展开后特点，进行添项或减项，凑成能整除的结构，展开后 观察前几项或后几项观察前

10、几项或后几项,再分析整除性或余数。这是解此再分析整除性或余数。这是解此 类问题的最常用技巧。余数要为正整数类问题的最常用技巧。余数要为正整数 第23页/共28页 n n nnn n xxxx CCC .1)1 ( 2 21 x n n xxx,., 32 nxx n 1)1 ( 2 2 ) 1( 1)1 (x nn nxx n 第24页/共28页 这个公式所表示的定理叫做二项式定理， 右边的多项式叫做（a+b)n的二项展开式， 其中 叫做二项式系数 ), 2 , 1 , 0(nrC r n NnbCbaCbaCaCba nn n rrnr n n n n n n , 1110 一般地，对于任意

11、正整数n 一、知识梳理 1.二项式定理二项式定理 特点： （1）共n+1有项； （2）二项式系数是从n个不同元素中取出0，1，2， 3，n个元素的组合数，即 （3）a按降幂排列，b按升幂排列，每一项中a与b的 指数和为n。 ., 10n nnn CCC 第25页/共28页 这个公式所表示的定理叫做二项式定理， 右边的多项式叫做（a+b)n的二项展开式， 其中 叫做二项式系数 ), 2 , 1 , 0(nrC r n NnbCbaCbaCaCba nn n rrnr n n n n n n , 1110 一般地，对于任意正整数n 一、知识梳理 1.二项式定理二项式定理 特点： （1）共n+1有项； （2）二项式系数是从n个不同元素中取出0，1，2， 3，n个元素的组合数，即 （3）a按降幂排列，b按升幂排列，每一项中a与b的 指数和为n。 ., 10n nnn CCC 第26页/共28页 这个公式所表示的定理叫做二项式定理， 右边的多项式叫做（a+b)n的二项展开式， 其中 叫做二项式系数 ), 2 , 1 , 0(nrC r n NnbCba