第5章自动控制原理课件胡寿松[教育研究]

1、第5章第1页 EXIT 第5章第2页 EXIT 5.1 5.1 频率特性的基本概念频率特性的基本概念 5.2 5.2 幅相频率特性及其绘制幅相频率特性及其绘制 5.3 5.3 对数频率特性及其绘制对数频率特性及其绘制 5.4 5.4 奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据 5.5 5.5 控制系统的相对稳定性控制系统的相对稳定性 5.6 5.6 利用开环频率特性分析系统的性能利用开环频率特性分析系统的性能 5.7 5.7 闭环系统频率特性闭环系统频率特性 第5章第3页 EXIT 控制系统的时域分析法是研究系统在典型输入信号控制系统的时域分析法是研究系统在典型输入信号 作用的性能，对于一阶、二阶系统可

2、以快速、直接地求出作用的性能，对于一阶、二阶系统可以快速、直接地求出 输出的时域表达式、绘制出响应曲线，从而利用时域指标输出的时域表达式、绘制出响应曲线，从而利用时域指标 直接评价系统的性能。因此，时域法具有直观、准确的优直接评价系统的性能。因此，时域法具有直观、准确的优 点。然而，工程实际中有大量的高阶系统，要通过时域法点。然而，工程实际中有大量的高阶系统，要通过时域法 求解高阶系统在外输入信号作用下的输出表达式是相当困求解高阶系统在外输入信号作用下的输出表达式是相当困 难的，需要大量计算，只有在计算机的帮助下才能完成分难的，需要大量计算，只有在计算机的帮助下才能完成分 析。析。此外，在需要

3、改善系统性能时，采用时域法难于确定此外，在需要改善系统性能时，采用时域法难于确定 该如何调整系统的结构或参数。该如何调整系统的结构或参数。 第5章第4页 EXIT l在工程实践中在工程实践中, 往往并不需要准确地计算系统响应的全往往并不需要准确地计算系统响应的全 部过程，而是希望避开繁复的计算，简单、直观地分析出部过程，而是希望避开繁复的计算，简单、直观地分析出 系统结构、参数对系统性能的影响。系统结构、参数对系统性能的影响。因此，主要采用两种因此，主要采用两种 简便的工程分析方法来分析系统性能，这就是根轨迹法与简便的工程分析方法来分析系统性能，这就是根轨迹法与 频率特性法，频率特性法，本章将

4、详细介绍控制系统的频率特性法。本章将详细介绍控制系统的频率特性法。 l控制系统的频率特性分析法是利用系统的控制系统的频率特性分析法是利用系统的频率特性（元频率特性（元 件或系统对不同频率正弦输入信号的响应特性）件或系统对不同频率正弦输入信号的响应特性）来分析系来分析系 统性能的方法，统性能的方法，研究的问题仍然是控制系统的稳定性、快研究的问题仍然是控制系统的稳定性、快 速性及准确性等，是工程实践中广泛采用的分析方法，也速性及准确性等，是工程实践中广泛采用的分析方法，也 是经典控制理论的核心内容。是经典控制理论的核心内容。 第5章第5页 EXIT 频率特性分析法频率特性分析法 ，又称为频域分析法

5、，又称为频域分析法，是一种图解是一种图解 的分析方法，它不必直接求解系统输出的时域表达式，的分析方法，它不必直接求解系统输出的时域表达式，不不 需要求解系统的闭环特征根需要求解系统的闭环特征根，具有较多的优点。如：，具有较多的优点。如： 根据系统的开环频率特性能揭示根据系统的开环频率特性能揭示闭环闭环系统的动态性系统的动态性 能和稳态性能能和稳态性能, , 得到定性和定量的结论，可以简单迅速地得到定性和定量的结论，可以简单迅速地 判断某些环节或者参数对系统闭环性能的影响判断某些环节或者参数对系统闭环性能的影响, ,并提出改进并提出改进 系统的方法。系统的方法。 时域指标和频域指标之间有对应关系

6、，而且频率特时域指标和频域指标之间有对应关系，而且频率特 性分析中大量使用简洁的曲线、图表及经验公式，性分析中大量使用简洁的曲线、图表及经验公式，简化简化控控 制系统的分析制系统的分析与设计与设计。 频率特性分析法频率特性分析法的特点的特点 第5章第6页 EXIT 具有明确的物理意义，它可以通过实验的方法，借助频具有明确的物理意义，它可以通过实验的方法，借助频 率特性分析仪等测试手段直接求得元件或系统的频率特性，率特性分析仪等测试手段直接求得元件或系统的频率特性， 建立数学模型作为分析与设计系统的依据，这对难于用理建立数学模型作为分析与设计系统的依据，这对难于用理 论分析的方法去建立数学模型的

7、系统尤其有利。论分析的方法去建立数学模型的系统尤其有利。 频率分析法使得控制系统的分析十分方便、直观，并且频率分析法使得控制系统的分析十分方便、直观，并且 可以拓展应用到某些非线性系统中。可以拓展应用到某些非线性系统中。 本章重点介绍本章重点介绍频率特性的基本概念、幅相频率特性与对频率特性的基本概念、幅相频率特性与对 数频率特性的绘制方法、奈奎斯特稳定判据、控制系统的数频率特性的绘制方法、奈奎斯特稳定判据、控制系统的 相对稳定性、利用开环频率特性分析系统闭环性能的方法。相对稳定性、利用开环频率特性分析系统闭环性能的方法。 第5章第7页 EXIT 第5章第8页 EXIT 5.1.1 频率响应频率

8、响应 频率响应是时间响应的特例，是控制系统对正频率响应是时间响应的特例，是控制系统对正 弦输入信号的稳态正弦响应。弦输入信号的稳态正弦响应。即即一个稳定的线性定常一个稳定的线性定常 系统，在正弦信号的作用下，稳态时输出仍是一个与系统，在正弦信号的作用下，稳态时输出仍是一个与 输入同频率的正弦信号，且稳态输出的幅值与相位是输入同频率的正弦信号，且稳态输出的幅值与相位是 输入正弦信号频率的函数。输入正弦信号频率的函数。 下面用用一个简单的实例来说明频率响应的概下面用用一个简单的实例来说明频率响应的概 念：念： 第5章第9页 EXIT 示例：示例： 如图所示一阶如图所示一阶RC网络，网络，ui(t)

9、与与uo(t)分别为输入与输出信分别为输入与输出信 号，其传递函数为号，其传递函数为 R C RC网络网络 ui(t) u0(t) i(t) G(s)= 1 10 Ts+ = (s)U (s)U i 其中其中T=RC，为电路的时间常数，单位为，为电路的时间常数，单位为s。 第5章第10页 EXIT 在零初始条件下，当输入信号为一正弦信号，即在零初始条件下，当输入信号为一正弦信号，即 ui(t)=Uisin t Ui与与 分别为输入信号的振幅与角频率分别为输入信号的振幅与角频率，可以运用时域，可以运用时域 法求电路的输出。法求电路的输出。 输出的拉氏变换为：输出的拉氏变换为： Uo(s)= 22

10、 1 1 i U Ts+s + 对上式进行拉氏反变换可得输出的时域表达式：对上式进行拉氏反变换可得输出的时域表达式： 第5章第11页 EXIT 输出与输入相位差为：输出与输入相位差为： = -arctanT 22 1 1 A + T 输入信号为输入信号为 ui(t)=Uisin t 二者均仅与输入频率二者均仅与输入频率 ，以及系统本身的结构与参数，以及系统本身的结构与参数 有关。有关。 稳态输出与输入幅值比为：稳态输出与输入幅值比为： 22 limsinarctansin() 1 im oo t U uttTUt +T 第5章第12页 EXIT 实际上，频率响应的概念具有普遍意义。对于实际上，

11、频率响应的概念具有普遍意义。对于稳定稳定 的的线性定常系统（或元件），当输入信号为正弦信号线性定常系统（或元件），当输入信号为正弦信号 r（t）=sin t 时，过渡过程结束后，系统的稳态输出必时，过渡过程结束后，系统的稳态输出必 为为 Css（t）=Asin（t+ ），如图所示。，如图所示。 线性定常线性定常 系统系统 sin t Asin（t+ ） t r（t） Css（t） 线性系统及频率响应示意图线性系统及频率响应示意图 第5章第13页 EXIT 5.1.2 频率特性频率特性 1、基本概念、基本概念 对系统的频率响应作进一步的分析，稳态输出与输入的幅值比对系统的频率响应作进一步的分析，

12、稳态输出与输入的幅值比A 与相位差与相位差 只与系统的结构、参数及输入正弦信号的频率只与系统的结构、参数及输入正弦信号的频率有关。在有关。在 系统结构、参数给定的前提下，幅值比系统结构、参数给定的前提下，幅值比A与相位差与相位差 仅是仅是的函数，的函数， 可以分别表示为可以分别表示为A（）与与 （）。）。因此，频率特性可定义为：因此，频率特性可定义为： 线性定常系统（或元件）在零初始条件下，当输入信号的频率线性定常系统（或元件）在零初始条件下，当输入信号的频率 在在0的范围内连续变化时，系统稳态输出与输入信号的幅值比的范围内连续变化时，系统稳态输出与输入信号的幅值比 与相位差随输入频率变化而呈

13、现的变化规律为系统的频率特性。与相位差随输入频率变化而呈现的变化规律为系统的频率特性。 频率特性可以反映出系统对不同频率的输入信号的跟踪能力，频率特性可以反映出系统对不同频率的输入信号的跟踪能力，在在 频域内全面描述系统的性能。频域内全面描述系统的性能。只与系统的结构、参数有关，是线性只与系统的结构、参数有关，是线性 定常系统的固有特性。定常系统的固有特性。 第5章第14页 EXIT A（）反映幅值比随频率而变化的规律，称为幅频）反映幅值比随频率而变化的规律，称为幅频 特性，它描述在稳态响应不同频率的正弦输入时在幅值上特性，它描述在稳态响应不同频率的正弦输入时在幅值上 是放大（是放大（A1）还

14、是衰减（）还是衰减（A1）。）。 而而 （）反映相位差随频率而变化的规律，称为相）反映相位差随频率而变化的规律，称为相 频特性，它描述在稳态响应不同频率的正弦输入时在相位频特性，它描述在稳态响应不同频率的正弦输入时在相位 上是超前（上是超前（ 0）还是滞后（）还是滞后（ 0）。）。 系统的频率特性包含幅频特性与相频特性两方面，并系统的频率特性包含幅频特性与相频特性两方面，并 且强调频率且强调频率是一个变量。是一个变量。 第5章第15页 EXIT 对于上例所举的一阶电路，对于上例所举的一阶电路， 其幅频特性和相频特性的表达其幅频特性和相频特性的表达 式分别为：式分别为： A（）= （）= -ar

15、ctanT 22 1 1 +T R C RC网络网络 ui(t) u0(t) i(t) G(s)= 1 10 Ts+ = (s)U (s)U i 第5章第16页 EXIT 2、频率特性的复数表示方法、频率特性的复数表示方法 对于线性定常系统，当输入一个正弦信号对于线性定常系统，当输入一个正弦信号 r（t）=Rsint时，则系统的稳态输出必为时，则系统的稳态输出必为 Css（t）= A()Rsin（t+ （） 由于输入、输出信号均为正弦信号，因此可以利用电路理论将其表示为由于输入、输出信号均为正弦信号，因此可以利用电路理论将其表示为 复数形式，则输入输出之比为复数形式，则输入输出之比为 j()

16、j() 0 A()Re () e() Re j AGj 可见，输出输入的复数比恰好表示了系统的频率特性，可见，输出输入的复数比恰好表示了系统的频率特性， 其幅值与相角分别为幅频特性、相频特性的表达式其幅值与相角分别为幅频特性、相频特性的表达式。 第5章第17页 EXIT 若用一个复数若用一个复数G（j）来表示，则有）来表示，则有 G（j）= G（j） ej G（j）=A（ （）ej 指数表示法指数表示法 G（j）=A() () 幅角表示法幅角表示法 G（j）就是频率特性通用的表示形式，是）就是频率特性通用的表示形式，是的函数。的函数。 当当是一个特定的值时，可以是一个特定的值时，可以 在复平面

17、上用一个向量去表示在复平面上用一个向量去表示G （j）。向量的长度为）。向量的长度为A()，向量，向量 与正实轴之间的夹角为与正实轴之间的夹角为 ()，并并 规定逆时针方向为正，即相角超前；规定逆时针方向为正，即相角超前； 规定顺时针方向为负，即相角滞后。规定顺时针方向为负，即相角滞后。 第5章第18页 EXIT 另外还可以将向量分解为实数部分和虚数部分，即另外还可以将向量分解为实数部分和虚数部分，即 G（j）=R（）+jI（） R（）称为实频特性，）称为实频特性，I（）称为虚频特性。）称为虚频特性。由复变函由复变函 数理论可知：数理论可知： )()()( 22 IRA )( )( arcta

18、n)( R I )(cos)()(AR )(sin)()(AI 第5章第19页 EXIT 以上函数都是以上函数都是的函数，可以用曲线表示它的函数，可以用曲线表示它 们随频率变化的规律，使用曲线表示系统的频率们随频率变化的规律，使用曲线表示系统的频率 特性，具有直观、简便的优点，应用广泛。特性，具有直观、简便的优点，应用广泛。 并且并且A()与与R（）为为的偶函数，的偶函数， ()与与I （）是）是的奇函数。的奇函数。 第5章第20页 EXIT 三、频率特性的实验求取方法三、频率特性的实验求取方法 向待求元件或系统输入一个频率可变的正弦信号向待求元件或系统输入一个频率可变的正弦信号 r（t）=R

19、sint 在在0的范围内不断改变的范围内不断改变的取值，并测量与每一个的取值，并测量与每一个 值对应的系统的稳态输出值对应的系统的稳态输出 Css（t）= A()Rsin（t+ （） 测量并记录相应的稳态输出输入幅值比与相角差。测量并记录相应的稳态输出输入幅值比与相角差。 根据所得数据绘制出幅值比与相角差随根据所得数据绘制出幅值比与相角差随的变化曲线，并的变化曲线，并 据此求出元件或系统的幅频特性据此求出元件或系统的幅频特性A()与相频特性与相频特性 （） 的表达式，便可求出完整的频率特性表达式。的表达式，便可求出完整的频率特性表达式。 第5章第21页 EXIT 5.1.3由传递函数求取频率特

20、性由传递函数求取频率特性 （重要）（重要） 实际上，由于微分方程、传递函数、频率特性为描述实际上，由于微分方程、传递函数、频率特性为描述 系统各变量之间相互关系的数学表达式，都是控制系统系统各变量之间相互关系的数学表达式，都是控制系统 的数学模型。和微分方程与传递函数之间可以相互转换的数学模型。和微分方程与传递函数之间可以相互转换 类似，系统的频率特性也可以由已知的传递函数通过简类似，系统的频率特性也可以由已知的传递函数通过简 单的转换得到，这种求取方法称为解析法。单的转换得到，这种求取方法称为解析法。 系统的输出分为两部分，第一部分为瞬态分量，对应系统的输出分为两部分，第一部分为瞬态分量，对

21、应 特征根；第二部分为稳态分量，它取决于输入信号的形特征根；第二部分为稳态分量，它取决于输入信号的形 式。对于一个稳定系统，系统所有的特征根的实部均为式。对于一个稳定系统，系统所有的特征根的实部均为 负，瞬态分量必将随时间趋于无穷大而衰减到零。因此，负，瞬态分量必将随时间趋于无穷大而衰减到零。因此， 系统响应正弦信号的稳态分量必为同频率的正弦信号。系统响应正弦信号的稳态分量必为同频率的正弦信号。 第5章第22页 EXIT 输出信号的拉氏变换为：输出信号的拉氏变换为： 12n N(s)R C(s)= (s+p )(s+p ).(s+p ) (s+ j)(s- j) nc-c12 12n KKKK

22、K =+.+ s+ ps+ p(s+ p )(s+ j)(s- j) 对输出求拉氏反变换可得对输出求拉氏反变换可得 为简化分析，假定系统的特征根全为不相等的负实根。为简化分析，假定系统的特征根全为不相等的负实根。 输入信号为输入信号为 r(t)=Rsint 设设n阶系统的传递函数为阶系统的传递函数为 12 ( ) n N(s)N(s) G s D(s)(s+ p )(s+ p ).(s+ p ) 第5章第23页 EXIT )()()( 21 21 tj c tj c tp n tptp eKeKeKeKeKtc n css(t) =Kce-jt+K-cejt 系数系数Kc和和K-c由留数定理确

23、定，可以求出由留数定理确定，可以求出 css(t)= A()Rsint+ () A( ()= | G（s）| s=j =| G（j）| ( ()=G（j） 输入信号为输入信号为 r(t)=Rsint A( ()是系统的输出与输入幅值比，为系统的幅频特性表达是系统的输出与输入幅值比，为系统的幅频特性表达 式。式。 ( ()是系统的输出与输入幅值比，为系统的相频特性表是系统的输出与输入幅值比，为系统的相频特性表 达式。系统的频率特性为达式。系统的频率特性为 G（j）= G（s）|s=j= = A( ()ej j 重要重要 第5章第24页 EXIT 线性定常系统，传递函数为线性定常系统，传递函数为G

24、（s） G（jj）= = G（s）|s=j = = A( () )ej j Rsint A()Rsint+ () A( ()是幅频特性，是幅频特性， 是相频特性是相频特性 可推得一个十分重要的结论：可推得一个十分重要的结论：系统的频率特性可由系统的传递函数系统的频率特性可由系统的传递函数 G（s）将）将j代替其中的代替其中的s而得到。而得到。由拉氏变换可知，传递函数的复变量由拉氏变换可知，传递函数的复变量s =+j。当。当=0时，时，s = j。所以。所以G（j）就是）就是=0时的时的G（s）。即当传递）。即当传递 函数的复变量函数的复变量s用用j代替时，传递函数转变为频率特性，这就是求取频率

25、代替时，传递函数转变为频率特性，这就是求取频率 特性的解析法。特性的解析法。 因此，在求已知传递函数系统的正弦稳态响应时，可以避开时域法因此，在求已知传递函数系统的正弦稳态响应时，可以避开时域法 需要求拉氏变换及反变换的繁琐计算，直接利用频率特性的物理意义简需要求拉氏变换及反变换的繁琐计算，直接利用频率特性的物理意义简 化求解过程。化求解过程。 第5章第25页 EXIT 对于上例所举的一阶电路，对于上例所举的一阶电路， 其幅频特性和相频特性的表达其幅频特性和相频特性的表达 式分别为：式分别为： A（）= （）= -arctanT 22 1 1 +T R C RC网络网络 ui(t) u0(t)

26、 i(t) G(s)= 1 10 Ts+ = (s)U (s)U i 1 () 1 G j j T 第5章第26页 EXIT 第5章第27页 EXIT 频率特性的物理意义频率特性的物理意义 1.在某一特定频率下，系统输入输出的幅值比与相位差是确定在某一特定频率下，系统输入输出的幅值比与相位差是确定 的数值，不是频率特性。当输入信号的频率的数值，不是频率特性。当输入信号的频率在在0的范围内的范围内 连续变化时，则系统输出与输入信号的幅值比与相位差随输入连续变化时，则系统输出与输入信号的幅值比与相位差随输入 频率的变化规律将反映系统的性能，才是频率特性频率的变化规律将反映系统的性能，才是频率特性

27、。 2.频率特性反映系统本身性能，取决于系统结构、参数，与外频率特性反映系统本身性能，取决于系统结构、参数，与外 界因素无关。界因素无关。 3. 频率特性随输入频率变化的原因是系统往往含有电容、电感、频率特性随输入频率变化的原因是系统往往含有电容、电感、 弹簧等储能元件，导致输出不能立即跟踪输入，而与输入信号弹簧等储能元件，导致输出不能立即跟踪输入，而与输入信号 的频率有关。的频率有关。 4.频率特性表征系统对不同频率正弦信号的跟踪能力，一般有频率特性表征系统对不同频率正弦信号的跟踪能力，一般有 “低通滤波低通滤波”与与“相位滞后相位滞后”作用。作用。 第5章第28页 EXIT 频率特性的数学

28、意义频率特性的数学意义 频率特性是描述系统固有特性的数学模型频率特性是描述系统固有特性的数学模型,与微分方与微分方 程、传递函数之间可以相互转换。程、传递函数之间可以相互转换。 以上三种数学模型以不同的数学形式表达系统的运以上三种数学模型以不同的数学形式表达系统的运 动本质，并从不同的角度揭示出系统的内在规律，是经动本质，并从不同的角度揭示出系统的内在规律，是经 典控制理论中最常用的数学模型。典控制理论中最常用的数学模型。 微分方程微分方程 （以（以t为变量）为变量） 传递函数传递函数 （以（以s为变量）为变量） 频率特性频率特性 （以（以为变量）为变量） 控制系统数学模型之间的转换关系控制系

29、统数学模型之间的转换关系 s dt d js 第5章第29页 EXIT 5.1.4常用频率特性曲线常用频率特性曲线 频率特性是稳态输出量与输入量的幅值比和相位差频率特性是稳态输出量与输入量的幅值比和相位差 随频率变化的规律。在实际应用中，为直观地看出幅值随频率变化的规律。在实际应用中，为直观地看出幅值 比与相位差随频率变化的情况，是将幅频特性与相频特比与相位差随频率变化的情况，是将幅频特性与相频特 性在相应的坐标系中绘成曲线，并从这些曲线的某些特性在相应的坐标系中绘成曲线，并从这些曲线的某些特 点来判断系统的稳定性、快速性和其它品质以便对系统点来判断系统的稳定性、快速性和其它品质以便对系统 进

30、行分析与综合。进行分析与综合。 系统系统(或环节或环节)的频率响应曲线的表示方法很多的频率响应曲线的表示方法很多,其本其本 质都是一样的质都是一样的,只是表示的形式不同而已。频率特性曲线只是表示的形式不同而已。频率特性曲线 通常采用以下三种表示形式：通常采用以下三种表示形式： 第5章第30页 EXIT 1.幅相频率特性曲线（幅相频率特性曲线（奈氏曲线奈氏曲线），图形常用名为奈奎斯特），图形常用名为奈奎斯特 图或奈氏图，坐标系为极坐标。奈氏图反映图或奈氏图，坐标系为极坐标。奈氏图反映A()与与 () 随随变化的规律变化的规律。 2.对数频率特性曲线，包括：对数频率特性曲线，包括： 对数幅频特性曲

31、线和对数相频对数幅频特性曲线和对数相频 特性曲线。图形常用名为特性曲线。图形常用名为对数坐标图或波德图对数坐标图或波德图，坐标系，坐标系 为半对数坐标。波德图反映为半对数坐标。波德图反映L()=20lg A()与与 ()随随lg 变化的规律。变化的规律。 3.对数幅相频率特性曲线，图形常用名尼柯尔斯图或对数幅对数幅相频率特性曲线，图形常用名尼柯尔斯图或对数幅 相 图 ， 坐 标 系 为 对数幅相 坐 标 。 尼 柯 尔 斯 图 反 映相 图 ， 坐 标 系 为 对数幅相 坐 标 。 尼 柯 尔 斯 图 反 映 L()=20lg A()随随 ()的变化规律，主要用于求取闭环频的变化规律，主要用于

32、求取闭环频 率特性。率特性。 第5章第31页 EXIT 第5章第32页 EXIT 5.2.1 幅相频率特性曲线（奈氏图）基本概念幅相频率特性曲线（奈氏图）基本概念 绘制奈氏图的坐标系是极坐标与直角坐标系的重合。绘制奈氏图的坐标系是极坐标与直角坐标系的重合。 取极点为直角坐标的原点取极点为直角坐标的原点,极坐标轴为直角坐标的实轴。极坐标轴为直角坐标的实轴。 由于系统的频率特性表达式为由于系统的频率特性表达式为 G（j）=A（）ej 对于某一特定频率对于某一特定频率i下的下的G（ji）总可以用复平面上）总可以用复平面上 的一个向量与之对应，该向量的长度为的一个向量与之对应，该向量的长度为A（i），

33、与正实），与正实 轴的夹角为轴的夹角为 （i）。）。 第5章第33页 EXIT 由于由于A( )和和 ( )是频率的函数，是频率的函数，当当在在0的范围内的范围内 连续变化时，向量的幅值与相角均随之连续变化，不同连续变化时，向量的幅值与相角均随之连续变化，不同 下的向量的端点在复平面上扫过的轨迹即为该系统的幅下的向量的端点在复平面上扫过的轨迹即为该系统的幅 相频率特性曲线（奈氏曲线），如图所示相频率特性曲线（奈氏曲线），如图所示。 G (j 2) Re ( 1) ( 2) A ( 1) A ( 2) G (j 1) 极坐标图的表示方法极坐标图的表示方法 Im 在绘制奈氏图时，在绘制奈氏图时，

34、常把常把作为参变量，标作为参变量，标 在曲线旁边，并用箭头在曲线旁边，并用箭头 表示频率增大时曲线的表示频率增大时曲线的 变化轨迹，以便更清楚变化轨迹，以便更清楚 地看出该系统频率特性地看出该系统频率特性 的变化规律。的变化规律。 第5章第34页 EXIT 前面已经指出，系统的幅频特性与实频特性是前面已经指出，系统的幅频特性与实频特性是 的偶函数，而相频特性与虚频特性是的偶函数，而相频特性与虚频特性是的奇函数，即的奇函数，即 G（j）与）与G（-j）互为共轭。因此，假定）互为共轭。因此，假定可为负可为负 数，当数，当在在-0的范围内连续变化时，的范围内连续变化时，相应的奈氏相应的奈氏 图曲线图

35、曲线G（j）必然与）必然与G（-j）对称于实轴。）对称于实轴。取负取负 数虽然没有实际的物理意义，但是具有鲜明的数学意数虽然没有实际的物理意义，但是具有鲜明的数学意 义，主要用于控制系统的奈氏稳定判别中。义，主要用于控制系统的奈氏稳定判别中。 第5章第35页 EXIT 当系统或元件的传递函数已知时，可以采用解析的方法先求当系统或元件的传递函数已知时，可以采用解析的方法先求 取系统的频率特性，取系统的频率特性，再求出系统幅频特性、相频特性或者实频再求出系统幅频特性、相频特性或者实频 特性、虚频特性的表达式，再逐点计算描出奈氏曲线特性、虚频特性的表达式，再逐点计算描出奈氏曲线。具体步。具体步 骤如

36、下：骤如下： 1.用用j代替代替s，求出频率特性，求出频率特性G（j） 2.求出幅频特性求出幅频特性A()与相频特性与相频特性 （）的表达式，）的表达式，也可求也可求 出实频特性与虚频特性，帮助判断出实频特性与虚频特性，帮助判断G（j）所在的象限。）所在的象限。 3.在在0的范围内选取不同的的范围内选取不同的，根据根据A()与与 （）表达）表达 式计算出对应值式计算出对应值，在坐标图上描出对应的向量在坐标图上描出对应的向量G（j）， 将所有将所有G（j）的端点连接描出光滑的曲线即可得到所求）的端点连接描出光滑的曲线即可得到所求 的奈氏曲线。的奈氏曲线。 也可以用实验的方法求取。也可以用实验的方

37、法求取。 第5章第36页 EXIT 5.2.2典型环节的奈氏图典型环节的奈氏图 1、比例环节、比例环节 用用j 替换替换s，可可 求得比例环节的频求得比例环节的频 率特性表达式为率特性表达式为 G(j )=K Im Re0 K 0 比例环节的幅相频率特性比例环节的幅相频率特性 传递函数为传递函数为 ：G(s)=K 幅频特性幅频特性 A()= | K |= K 相频特性相频特性 （）=0 第5章第37页 EXIT 比例环节的幅频特性、相频特性均与频比例环节的幅频特性、相频特性均与频 率率 无关。所以当无关。所以当 由由0变到变到 ,G(j )始终为始终为 实轴上一点，实轴上一点，说明比例环节可以

38、完全、真实说明比例环节可以完全、真实 地复现任何频率的输入信号，幅值上有放大地复现任何频率的输入信号，幅值上有放大 或衰减作用；或衰减作用； ( )=0,表示输出与输入同相表示输出与输入同相 位，既不超前也不滞后。位，既不超前也不滞后。 第5章第38页 EXIT 2、积分环节、积分环节 积分环节的传递函数为积分环节的传递函数为 s sG 1 )( 积分环节的频率特性为积分环节的频率特性为 11 )(j j jG 幅频特性为幅频特性为 A( )=|1/ |=1/ ，与角频率，与角频率 成反比成反比 相频特性为相频特性为 ( )=-90 0 0Re 积分环节的幅相频率特性积分环节的幅相频率特性 I

39、m 第5章第39页 EXIT 积分环节的幅相频率特性如图所示，在积分环节的幅相频率特性如图所示，在0 的范围内的范围内, ,幅频特性与负虚轴重合。幅频特性与负虚轴重合。 积分环节的奈氏图表明积分环节是低通滤波积分环节的奈氏图表明积分环节是低通滤波 器，放大低频信号、抑制高频信号，输入频率器，放大低频信号、抑制高频信号，输入频率 越低，对信号的放大作用越强；并且有相位滞越低，对信号的放大作用越强；并且有相位滞 后作用，输出滞后输入的相位恒为后作用，输出滞后输入的相位恒为9090。 第5章第40页 EXIT 3、微分环节、微分环节 理想微分环节的理想微分环节的 传递函数为传递函数为 G(s)=s

40、频率特性为频率特性为 G(j )=j 故幅频特性为故幅频特性为: A( )=| |= ，与，与 成正比。成正比。 相频特性为相频特性为 ： ( )=90。 第5章第41页 EXIT 理想微分环节的奈氏图如图所示，在理想微分环节的奈氏图如图所示，在0 的范围内的范围内, ,其奈氏图与正虚轴重合。其奈氏图与正虚轴重合。 可见，理想微分环节是高通滤波器，输入可见，理想微分环节是高通滤波器，输入 频率越高，对信号的放大作用越强；并且有相频率越高，对信号的放大作用越强；并且有相 位超前作用，输出超前输入的相位恒为位超前作用，输出超前输入的相位恒为9090，说，说 明输出对输入有提前性、预见性作用。明输出

41、对输入有提前性、预见性作用。 第5章第42页 EXIT 4、惯性环节、惯性环节 1 1 )( Ts sG 11 1 1 1 )( 2222 T T j TjT jG 根据实频特性与虚频特性根据实频特性与虚频特性 表达式，可以判断出实频特性恒表达式，可以判断出实频特性恒 0，而虚频特性恒，而虚频特性恒0，由此可，由此可 见惯性环节的奈氏图必在坐标系见惯性环节的奈氏图必在坐标系 的第四象限。的第四象限。 2 1 ( ) 1 () ( )arctan A T T 第5章第43页 EXIT 当当 从从0变到变到 时时,可以根据幅频特性与相频特性表达式描点绘可以根据幅频特性与相频特性表达式描点绘 制奈氏

42、图，例如可以绘出三个点，制奈氏图，例如可以绘出三个点， 是一个位于第四象限的半圆，圆心为是一个位于第四象限的半圆，圆心为(1/2,0),直径为直径为1。 若惯性若惯性 环节的比例系数变为环节的比例系数变为K，则幅频特性成比例扩大，则幅频特性成比例扩大K倍，而相频特性倍，而相频特性 保持不变，即奈氏图仍为一个半圆，但圆心为保持不变，即奈氏图仍为一个半圆，但圆心为(K/2,0),直径为直径为K。 由惯性环节的奈氏图可知，惯性环节为低通滤波器，且输出滞由惯性环节的奈氏图可知，惯性环节为低通滤波器，且输出滞 后于输入，相位滞后范围为后于输入，相位滞后范围为 0- 90。 第5章第44页 EXIT 5、

43、一阶微分环节、一阶微分环节 可见一阶微分环节的实频特性恒为可见一阶微分环节的实频特性恒为1，而虚频特性与输入频率，而虚频特性与输入频率 成正比。成正比。 当当 从从0变到变到 时时,可以根据幅频特性与相频特性表达式描点绘制可以根据幅频特性与相频特性表达式描点绘制 奈氏图，可以绘出三个点，见表奈氏图，可以绘出三个点，见表 ) 1()(jjG 2 )(1)(AG(s)=( s+1) ( )=arctan() 第5章第45页 EXIT 由一阶微分环节的奈氏图可知，一阶微分环节具有放大高频由一阶微分环节的奈氏图可知，一阶微分环节具有放大高频 信号的作用，输入频率信号的作用，输入频率 越大，放大倍数越大

44、；且输出超前于越大，放大倍数越大；且输出超前于 输入，输入，相位超前范围为相位超前范围为090，输出对输入有提前性、预见性，输出对输入有提前性、预见性 作用。作用。 一阶微分环节的典型实例是控制工程中常用的比例微分控制一阶微分环节的典型实例是控制工程中常用的比例微分控制 器（器（PD控制器），控制器），PD控制器常用于改善二阶系统的动态性能，控制器常用于改善二阶系统的动态性能， 但存在放大高频干扰信号的问题。但存在放大高频干扰信号的问题。 根据这些数据绘根据这些数据绘 出幅相频率特性，出幅相频率特性， 是平行于正虚轴是平行于正虚轴 向上无穷延伸的向上无穷延伸的 直线。直线。 第5章第46页 E

45、XIT 6、二阶振荡环节、二阶振荡环节 以以 为参变量为参变量,计算不同频率计算不同频率 时的幅值和相角时的幅值和相角, 其中其中 几个重要的特征点见表。几个重要的特征点见表。 12 1 )( 22 TssT sG 22222222 22 22 )2()1 ( 2 )2()1 ( 1 21 1 )( TT T j TT T TTj jG 2222 )2()1 ( 1 )( TT A 22 1 2 arctan)( T T 可以判断出虚频特性恒可以判断出虚频特性恒0，故曲线必位于第三与第四象限。，故曲线必位于第三与第四象限。 第5章第47页 EXIT 在极坐标上画出在极坐标上画出 由由0变到变到

46、 时的矢量端点的轨迹时的矢量端点的轨迹,便可得到振荡环节便可得到振荡环节 的幅相频率特性的幅相频率特性,如图所示，且如图所示，且 1 2。且振荡环节与负虚轴的交点频率。且振荡环节与负虚轴的交点频率 为为 =1/T，幅值为，幅值为1/(2 )。 由奈氏图可知，振荡环节具有相位滞后的作用，输出由奈氏图可知，振荡环节具有相位滞后的作用，输出 滞后于输入的范围为滞后于输入的范围为0-180；同时；同时 的取值对曲线形状的取值对曲线形状 的影响较大，可分为以下两种情况的影响较大，可分为以下两种情况 第5章第48页 EXIT 1. 0.707 幅频特性幅频特性A( )随随 的增大而单调减小，如图的增大而单

47、调减小，如图5-12中中 1 所对应曲线，此刻环节有低通滤波作用。当所对应曲线，此刻环节有低通滤波作用。当 1时，振荡时，振荡 环节有两个相异负实数极点，若环节有两个相异负实数极点，若 足够大，一个极点靠近原足够大，一个极点靠近原 点，另一个极点远离虚轴（对瞬态响应影响很小），奈氏点，另一个极点远离虚轴（对瞬态响应影响很小），奈氏 曲线与负虚轴的交点的虚部为曲线与负虚轴的交点的虚部为1/(2 )0，奈氏图近似于半，奈氏图近似于半 圆，即圆，即振荡环节近似于惯性环节振荡环节近似于惯性环节，如图所示。，如图所示。 第5章第49页 EXIT 2.0 0.707 当当 增大时，幅频特性增大时，幅频特性

48、A( )并不是单调减小，而是先增大，并不是单调减小，而是先增大， 达到一个最大值后再减小直至衰减为达到一个最大值后再减小直至衰减为0，这种现象称为，这种现象称为谐振谐振。 奈氏图上距离原点最远处所对应的频率为谐振频率奈氏图上距离原点最远处所对应的频率为谐振频率 r，所，所 对应的向量长度为谐振峰值对应的向量长度为谐振峰值Mr= A( r) = A( r)/ A(0) 。谐振。谐振 表明系统对频率表明系统对频率 r下的正弦信号的放大作用最强。下的正弦信号的放大作用最强。 第5章第50页 EXIT 可得振荡环节的谐振角频率可得振荡环节的谐振角频率 谐振峰值为谐振峰值为 22 2121 1 nr T

49、 2 12 1 )( rr AM 可见随可见随 的减小的减小,谐振峰值谐振峰值Mr增大，谐振频率增大，谐振频率 r也越接近也越接近 振荡环节的无阻尼自然振荡频率振荡环节的无阻尼自然振荡频率 n。谐振峰值。谐振峰值Mr越大，表明越大，表明 系统的阻尼比系统的阻尼比 越小，系统的相对稳定性就越差，单位阶跃越小，系统的相对稳定性就越差，单位阶跃 响应的最大超调量响应的最大超调量%也越大。当也越大。当 =0时，时， r n，Mr ，即即 振荡环节处于等幅振荡状态。振荡环节处于等幅振荡状态。 由幅频特性由幅频特性A( )对频率对频率 求导数求导数,并令其等于零并令其等于零, 可求得谐振角频率可求得谐振角

50、频率 r和谐振峰值和谐振峰值Mr， 第5章第51页 EXIT 7、延迟环节、延迟环节 幅频特性为幅频特性为：A( )=1 相频特性为：相频特性为： ( )=- 单位为弧度（单位为弧度（rad）。）。 或者或者 ( )= 3 .57 14.3 180 G(s)=e- s G(j )=e- j 第5章第52页 EXIT = 时，时， ( )=- ，即输出相位滞后输入为无即输出相位滞后输入为无 穷大穷大。当。当 从从0 0连续变化至连续变化至 时，奈氏曲线沿原点作半时，奈氏曲线沿原点作半 径为径为1 1的无穷次旋转，的无穷次旋转，越大，转动速度越大。越大，转动速度越大。 故延迟环节的奈氏图是一个以原

51、点为圆心故延迟环节的奈氏图是一个以原点为圆心, ,半径半径 为为1 1的圆。的圆。即延迟环节可以不失真地复现任何频率的即延迟环节可以不失真地复现任何频率的 输入信号，但输出滞后于输入，而且输入信号频率越输入信号，但输出滞后于输入，而且输入信号频率越 高，延迟环节的输出滞后就越大。高，延迟环节的输出滞后就越大。 第5章第53页 EXIT 在低频区，频率特性表达式根据泰勒公式展开为在低频区，频率特性表达式根据泰勒公式展开为 n j j n jjj e )( ! 1 )( ! 3 1 )( ! 2 1 1 1 32 当当 很小时很小时，有有 j e j 1 1 即在低频区，延迟环节的频率特性近似于惯

52、性环节。即在低频区，延迟环节的频率特性近似于惯性环节。 从奈氏图也可见，二者的曲线在低频区基本重合。从奈氏图也可见，二者的曲线在低频区基本重合。 第5章第54页 EXIT 延迟环节与其他典型环节相结合不影响幅频特性，延迟环节与其他典型环节相结合不影响幅频特性， 但会使相频特性的最大滞后为无穷大。但会使相频特性的最大滞后为无穷大。如某系统传递函如某系统传递函 数是惯性环节与延迟环节相结合，传递函数为数是惯性环节与延迟环节相结合，传递函数为 1 G(s) Ts e s 1 )G(j jT e j 1)( 1 )()( 2 T jGA Tarctan3 .57)( 单位为度（单位为度（） 第5章第5

53、5页 EXIT 可见随可见随 的增大，幅频特性的增大，幅频特性A(A( )单调减小，而相位单调减小，而相位 滞后单调增加，相频特性滞后单调增加，相频特性 ( )从从0一直变化到负无穷一直变化到负无穷 大大。故该系统的奈氏图是螺旋状曲线故该系统的奈氏图是螺旋状曲线，绕原点顺时针旋绕原点顺时针旋 转转 次次，最后终止于原点，与实轴、虚轴分别有无数个最后终止于原点，与实轴、虚轴分别有无数个 交点交点。 第5章第56页 EXIT 5.2.3 开环奈氏图的绘制开环奈氏图的绘制 1.定义：定义： 系统的频率特性有两种，由反馈点是否断开分为闭环频系统的频率特性有两种，由反馈点是否断开分为闭环频 率特性率特性

54、（j）与开环频率特性）与开环频率特性Gk（j），分别对应于系统），分别对应于系统 的闭环传递函数的闭环传递函数（s）与开环传递函数）与开环传递函数Gk（s）。）。由于系统的由于系统的 开环传递函数较易获取，并与系统的元件一一对应，在控制开环传递函数较易获取，并与系统的元件一一对应，在控制 系统的频率分析法中，分析与设计系统一般是基于系统的开系统的频率分析法中，分析与设计系统一般是基于系统的开 环频率特性。环频率特性。 第5章第57页 EXIT 12 21 11 22 1 22 1 ) 12() 1( ) 12() 1( )( )( n j n l lllj m k kkk m i i v k

55、TjTTj jj j K jG 对于由多个典型环节组合而成的系统（对于由多个典型环节组合而成的系统（延迟环节除外延迟环节除外），）， 其频率特性应该满足下面的规律其频率特性应该满足下面的规律（重要重要） n i i jGjG 1 )()( n i i AA 1 )()( n i i 1 )()( 系统的开环频率特性为系统的开环频率特性为 第5章第58页 EXIT 控制系统是由典型环节组成的，则系统频率特性的绘制控制系统是由典型环节组成的，则系统频率特性的绘制 与典型环节的频率特性的绘制方法是基本相同的。可根据复与典型环节的频率特性的绘制方法是基本相同的。可根据复 变函数的性质求出系统开环频率特

56、性的幅频特性变函数的性质求出系统开环频率特性的幅频特性A( )与相与相 频特性频特性 ( )的表达式，或由分母有理化求出实频特性与虚的表达式，或由分母有理化求出实频特性与虚 频特性，再由奈氏图的基本绘制方法求出系统的开环奈氏图。频特性，再由奈氏图的基本绘制方法求出系统的开环奈氏图。 第5章第59页 EXIT 2.开环奈氏图开环奈氏图基本绘制规律基本绘制规律 当系统开环传递函数为多个典型环节组合时，其开环当系统开环传递函数为多个典型环节组合时，其开环 奈氏图的绘制与根轨迹的绘制类似，具有一定的规律。可奈氏图的绘制与根轨迹的绘制类似，具有一定的规律。可 以先根据开环传递函数的某些特征绘制出近似曲线

57、，再利以先根据开环传递函数的某些特征绘制出近似曲线，再利 用用A( )与与 ( )等的表达式描点，在曲线的重要部分修正。等的表达式描点，在曲线的重要部分修正。 第5章第60页 EXIT (1)低频段的确定低频段的确定（ 0 0） v k j K jG )( )( v k K GA )()( Gk（j）的低频段表达式为）的低频段表达式为 12 21 11 22 1 22 1 ) 12() 1( ) 12() 1( )( )( n j n l lllj m k kkk m i i v k TjTTj jj j K jG ( )=-v90 根据向量相乘是幅值相乘、相位相加的原则，求出低根据向量相乘是

58、幅值相乘、相位相加的原则，求出低 频段幅频特性与相频特性表达式分别为频段幅频特性与相频特性表达式分别为 第5章第61页 EXIT v k K GA )()(90)( 可见低频段的形状（幅值与相位）可见低频段的形状（幅值与相位） 均与系统的型别均与系统的型别v与开环传递系数与开环传递系数K有有 关。关。 1.0型系统，型系统，v =0：A (0) =K， (0)=0 低频特性为实轴上的一点低频特性为实轴上的一点(K,0)。 2.型系统型系统，v =1：A (0) =， (0) = -90 3.型系统型系统，v =2：A (0) =， (0) = -180 第5章第62页 EXIT (2)高频段（

59、高频段（ ） 不失一般性，假定系统开环传递函数全为不相等的负不失一般性，假定系统开环传递函数全为不相等的负 实数极点与零点。实数极点与零点。 n j j mn m i i n j j m i i n j j m i i k Tj K jTj jK jTj jK jG 1 1 1 1 1 1 )()( )( lim )()( )( lim ) 1()( ) 1( lim)( m为分子多项式的阶数，为分子多项式的阶数， n为分母多项式的阶数为分母多项式的阶数，且一般且一般mn 90)(0 )( 0 lim )( lim)(mn jj K jG mnmn k n j j m i i T K K 1

60、1 )( )( 第5章第63页 EXIT 故故A( )=0,高频段终止于坐标原点；而最终相位为高频段终止于坐标原点；而最终相位为 ( )=- (n-m) 90 ， 由由n-m确定特性以什么角度进入坐标原点。确定特性以什么角度进入坐标原点。 0)(lim)( AA 90)()(lim)(mn ()lim () k n m K Gj j 第5章第64页 EXIT (n-m)=1,则则 ( )=-90 ,即幅相特性沿负虚轴进入坐标原点。即幅相特性沿负虚轴进入坐标原点。 (n-m)=2,则则 ( )=-180 ,即幅相特性沿负实轴进入坐标原点。即幅相特性沿负实轴进入坐标原点。 (n-m)=3,则则 (