辽宁省高中新课程省级培训

1、 微积分的产生和发展被誉为微积分的产生和发展被誉为“近代技术文明产生的关近代技术文明产生的关 键事件之一，它引入了若干极其成功的、对以后许多键事件之一，它引入了若干极其成功的、对以后许多 数学的发展起决定性作用的思想数学的发展起决定性作用的思想.”恩格斯称之为恩格斯称之为“17 世纪自然科学的三大发明之一世纪自然科学的三大发明之一.” 微积分的建立，无论是对数学还是对其他科学以至于微积分的建立，无论是对数学还是对其他科学以至于 技术的发展都产生了巨大的影响，充分显示了数学对技术的发展都产生了巨大的影响，充分显示了数学对 于人的认识发展、改造世界的能力的巨大促进作用于人的认识发展、改造世界的能力

2、的巨大促进作用. 整体介绍整体介绍 2为研究变量和函数提供了重要的方法和手段：为研究变量和函数提供了重要的方法和手段： 欧氏几何也好，上古和中世纪的代数学也好，都是欧氏几何也好，上古和中世纪的代数学也好，都是 一种常量数学，微积分才是真正的变量数学，是数学中的一种常量数学，微积分才是真正的变量数学，是数学中的 大革命大革命. 学习微积分，学生的数学和思维水平都将进入一个新学习微积分，学生的数学和思维水平都将进入一个新 的阶段，能切实地训练学生的辨证思维的阶段，能切实地训练学生的辨证思维.毫不夸张地说，毫不夸张地说， 不学或未学懂微积分，学生思维难以达到较高的水平，不学或未学懂微积分，学生思维难

3、以达到较高的水平， 难以适应难以适应21世纪对高中学生素质的要求世纪对高中学生素质的要求. 高中学生，不论他将来是否进入高校学习，都应学习导高中学生，不论他将来是否进入高校学习，都应学习导 数及其应用的内容，并应用它考察和理解实际现象中的数及其应用的内容，并应用它考察和理解实际现象中的 变化，或者在遇到相关问题向数学求助变化，或者在遇到相关问题向数学求助.作为现代社会成作为现代社会成 员的一项科学文化素质要求，是高中阶段学习导数及其员的一项科学文化素质要求，是高中阶段学习导数及其 应用的首要目标应用的首要目标. 一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过一门科学的创立决不是某一个人的业绩

4、，他必定是经过 多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由 某个人或几个人总结完成的某个人或几个人总结完成的.微积分也是这样微积分也是这样. 5.合作学习意识的引导与强化合作学习意识的引导与强化: 二、编写的指导思想二、编写的指导思想 越过极限理论和连续函数，直取导数，然后快速攻进微越过极限理论和连续函数，直取导数，然后快速攻进微 积分的核心积分的核心微积分基本定理微积分基本定理. 没有从数学定义的角度讲极限，可以避免学生难以克服没有从数学定义的角度讲极限，可以避免学生难以克服 极限概念的理解这个问题，从而将更多的精力关注于导极限概念的理解

5、这个问题，从而将更多的精力关注于导 数和定积分概念本质的理解上，而不单单地将导数和定数和定积分概念本质的理解上，而不单单地将导数和定 积分理解为一种特殊的极限积分理解为一种特殊的极限. 虽然没有给出极限的定义，但是自始至终都体现出了极虽然没有给出极限的定义，但是自始至终都体现出了极 限的思想，以让学生在学习的过程中以具体内容为载体，限的思想，以让学生在学习的过程中以具体内容为载体， 逐步体会和感受极限思想，从而为大学阶段学习严格的逐步体会和感受极限思想，从而为大学阶段学习严格的 极限定义打好基础极限定义打好基础. 牛顿和莱布尼兹创立微积分学后，他们并没有解决无穷小牛顿和莱布尼兹创立微积分学后，

6、他们并没有解决无穷小 量问题量问题.牛顿对无穷小量究竟是不是零曾作过三种不同解释：牛顿对无穷小量究竟是不是零曾作过三种不同解释： 有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼兹曾有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼兹曾 试图用和无穷小量成比例的有限量的差分来代替无穷小量，试图用和无穷小量成比例的有限量的差分来代替无穷小量， 但是他也没有找到从有限量过渡到无穷小量的桥梁但是他也没有找到从有限量过渡到无穷小量的桥梁. 直到直到19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对 微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来微积分的理论进行了认真研

7、究，建立了极限理论，后来 又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极 限理论成为了微积分的坚定基础，才使微积分进一步的限理论成为了微积分的坚定基础，才使微积分进一步的 发展开来发展开来 . 两个极限典例两个极限典例 中国刘徽的中国刘徽的“割圆术割圆术”：“割之弥细，割之弥细， 所失弥少所失弥少 ，割之又割，以至不可割，则，割之又割，以至不可割，则 与圆合体而无所失矣与圆合体而无所失矣”. 外国的阿基里斯追龟永不及：外国的阿基里斯追龟永不及： 努力揭示数学对象努力揭示数学对象 的发展过程与本质，领会其中的数学思想方法的发展过程与本质，领会其中

8、的数学思想方法. 0 x y r y x 三、三、教材概述教材概述 通过直观说理学习微积分，而不是不说理；通过通过直观说理学习微积分，而不是不说理；通过 数值的近似计算理解微积分思想不讲极限，但数值的近似计算理解微积分思想不讲极限，但 是仍然用极限的符号去表述，只将极限作为一种是仍然用极限的符号去表述，只将极限作为一种 符号，而不考虑它的意义它的基本方法是无限符号，而不考虑它的意义它的基本方法是无限 细分，以直代曲，用微观驾驭宏观细分，以直代曲，用微观驾驭宏观 3.内容概述内容概述理科分为四个大节理科分为四个大节 第一大节：导数这一节通过具体实例，介绍函数的平第一大节：导数这一节通过具体实例，

9、介绍函数的平 均变化率、瞬时速度、瞬时变化率、导数的概念，结合均变化率、瞬时速度、瞬时变化率、导数的概念，结合 具体函数介绍导数的几何意义具体函数介绍导数的几何意义 要多举生活或学习中的实例，以体会研究过程中所体现要多举生活或学习中的实例，以体会研究过程中所体现 的极限思想引导学生在学习过程中要认真体会学习与的极限思想引导学生在学习过程中要认真体会学习与 研究的方法，加强数形结合思想的应用意识和字母运算研究的方法，加强数形结合思想的应用意识和字母运算 能力的强化能力的强化 第二大节：导数的运算这一节主要是学习基本初等函数第二大节：导数的运算这一节主要是学习基本初等函数 的求导方法和导数的四则运

10、算法则的求导方法和导数的四则运算法则. 要注意导数的运算法则与实数运算法则的联系与区别对要注意导数的运算法则与实数运算法则的联系与区别对 教材中给出的基本初等函数的导数表要能准确熟练的记忆，教材中给出的基本初等函数的导数表要能准确熟练的记忆， 并会用数学软件求简单基本初等函数的导数并会用数学软件求简单基本初等函数的导数 第三大节：导数的应用这一大节是本章学习与应用的重第三大节：导数的应用这一大节是本章学习与应用的重 点，包含利用导数判断函数的单调性、利用导数研究函数点，包含利用导数判断函数的单调性、利用导数研究函数 的极值、导数的实际应用三个方面的内容，充分体现了导的极值、导数的实际应用三个方

11、面的内容，充分体现了导 数在研究函数及在解决生产、生活实际问题中的作用数在研究函数及在解决生产、生活实际问题中的作用 利用直观的方法理解、体会函数的单调性、函数的极值、利用直观的方法理解、体会函数的单调性、函数的极值、 函数的最值与导数的关系，特别是函数的最值与函数的极函数的最值与导数的关系，特别是函数的最值与函数的极 值的联系与区别值的联系与区别 第四大节：定积分与微积分基本定理本节通过求曲边梯第四大节：定积分与微积分基本定理本节通过求曲边梯 形的面积和求变力作功介绍定积分的概念，通过具体问题形的面积和求变力作功介绍定积分的概念，通过具体问题 介绍微积分基本定理介绍微积分基本定理. 要通过本

12、节的学习了解微积分的科学价值、文化价值和基要通过本节的学习了解微积分的科学价值、文化价值和基 本思想，本节内容是本章的一个难点本思想，本节内容是本章的一个难点 四、应注意的几个问题四、应注意的几个问题 由于学生没有学习极限，而导数又作为一种特殊的极限，由于学生没有学习极限，而导数又作为一种特殊的极限， 我们如何处理这部分内容？我们如何处理这部分内容？ 导数及其应用在编排上更侧重于思想和概念的本质，不能导数及其应用在编排上更侧重于思想和概念的本质，不能 把导数作为一种特殊的极限（增量比的极限）来处理，而把导数作为一种特殊的极限（增量比的极限）来处理，而 是应通过实际的背景和具体应用事例，引导学生

13、经历由平是应通过实际的背景和具体应用事例，引导学生经历由平 均变化率到瞬时变化率的过程，认识和理解导数的概念，均变化率到瞬时变化率的过程，认识和理解导数的概念， 同时加强学生对导数几何意义的认识和理解，直观了解微同时加强学生对导数几何意义的认识和理解，直观了解微 积分基本定理的含义积分基本定理的含义. 由于没有学习极限，因此，我们不能过多地要求学生利用由于没有学习极限，因此，我们不能过多地要求学生利用 极限去求过于复杂的函数导数极限去求过于复杂的函数导数.只要求学生能根据导数定义只要求学生能根据导数定义 求基本幂函数的导数，能利用给出的基本初等函数的导数求基本幂函数的导数，能利用给出的基本初等

14、函数的导数 公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单 的复合函数（仅限于形如的复合函数（仅限于形如f(ax+b)）的导数）的导数. 导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际 背景和广泛的应用背景和广泛的应用.它是研究函数增减、变化快慢、最大它是研究函数增减、变化快慢、最大 （小）值等问题最一般，最有效的工具，只要求学生能借（小）值等问题最一般，最有效的工具，只要求学生能借 助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系. 导数是微积分

15、的核心概念，理解导数概念的实质、把握导导数是微积分的核心概念，理解导数概念的实质、把握导 数概念的生成所反映的思想和方法，是学习微积分的重中数概念的生成所反映的思想和方法，是学习微积分的重中 之重，从导数概念的发生、发展来看，变化率则是导数思之重，从导数概念的发生、发展来看，变化率则是导数思 想方法的核心，亦即中学开设微积分课程价值的核心想方法的核心，亦即中学开设微积分课程价值的核心. 重视和学生一起收集有关微积分创立的时代背景和有关人重视和学生一起收集有关微积分创立的时代背景和有关人 物的资料，并进行交流，体会微积分的建立在人类文化发物的资料，并进行交流，体会微积分的建立在人类文化发 展中的

16、意义和价值展中的意义和价值. 课标要求课标要求 （1）能根据导数定义，求函数）能根据导数定义，求函数 2 1 ,yc yx yxy x 的导数的导数 （理）能根据导数定义，求函数（理）能根据导数定义，求函数 32 1 ,yc yx yxyxyyx x 的导数的导数 （2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则 运算法则求简单函数的导数运算法则求简单函数的导数 （理）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的（理）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的 四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数四则运算法则求简单函数的导数，能求简

17、单的复合函数 （仅限于形如（仅限于形如 ()f axb ）的导数）的导数 （3）会使用导数公式表）会使用导数公式表 3导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用 考试大纲要求考试大纲要求 （1）能根据导数定义，求函数）能根据导数定义，求函数 2 1 ,yc yx yxy x 的导数的导数 （理）能根据导数定义，求函数（理）能根据导数定义，求函数 32 1 ,yc yx yxyxyyx x 的导数的导数 （2 2）能利用表）能利用表1 1给出的基本初等函数的导数公式和导数的给出的基本初等函数的导数公式和导数的 四则运算法则求简单函数的导数四则运算法则求简单函数的导数 （理）能利用表（理）能利用

18、表1给出的基本初等函数的导数公式和导数给出的基本初等函数的导数公式和导数 的四则运算法则求简单函数的导数能求简单的复合函数的四则运算法则求简单函数的导数能求简单的复合函数 （仅限于形如（仅限于形如 ()f axb ）的导数）的导数 表表1：常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式：常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式： 常数、幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数（含常数、幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数（含e 为底）、对数函数（含为底）、对数函数（含e为底）的导数公式和、差、为底）的导数公式和、差、 积、商的导数运算法则公式积、商的导数运算法则公式 4生活中的优化问题生活中的优

19、化问题 会利用导数解决某些实际问题会利用导数解决某些实际问题 5（理）定积分与微积分基本定理（理）定积分与微积分基本定理 （1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思 想，了解定积分的概念想，了解定积分的概念 （2）了解微积分基本定理的含义）了解微积分基本定理的含义 3导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用 说明：说明： 大纲要求大纲要求 教材分析教材分析 大纲大纲教材是在学习了数列的极限、函数的极限、函教材是在学习了数列的极限、函数的极限、函 数的连续性等知识的基础上，从切线的斜率和瞬时速度数的连续性等知识的基础上，从切线的斜率和瞬时速度 引

20、入导数的概念；引入导数的概念； 课标课标教材没有给出极限的定义，而是按照：平均速度教材没有给出极限的定义，而是按照：平均速度 （平均变化率）（平均变化率）瞬时速度（瞬时变化率）瞬时速度（瞬时变化率）导数的概导数的概 念念导数的几何意义这样的顺序来安排，用形象直观的导数的几何意义这样的顺序来安排，用形象直观的 “逼近逼近”方法定义导数避开极限概念的难点，让学生有方法定义导数避开极限概念的难点，让学生有 更充裕的时间学习导数的思想方法，体会导数概念产生的更充裕的时间学习导数的思想方法，体会导数概念产生的 背景及其在现实生活中的应用背景及其在现实生活中的应用 形成导数定义以及理解导数内涵的基础都是瞬

21、时速度这形成导数定义以及理解导数内涵的基础都是瞬时速度这 个具体的物理模型，因此教学的关键是让学生充分经历个具体的物理模型，因此教学的关键是让学生充分经历 从平均速度探究到瞬时速度，体会到整个过程中采用的从平均速度探究到瞬时速度，体会到整个过程中采用的 方法以及明确瞬时速度的含义方法以及明确瞬时速度的含义 瞬时变化率是通过缩短自变量的改变量，用平均变瞬时变化率是通过缩短自变量的改变量，用平均变 化率化率“逼近逼近”了瞬时变化率瞬时变化率不是由了瞬时变化率瞬时变化率不是由“计算计算” 得来的，而是客观存在的，令自变量的改变量趋于零，得来的，而是客观存在的，令自变量的改变量趋于零， 只是一种研究或

22、刻画的方法，即是极限的思想方法，要只是一种研究或刻画的方法，即是极限的思想方法，要 会用会用“动动”来看来看“静静”（极限的符号只能作为一种记（极限的符号只能作为一种记 号）由实际问题抽象为数学的函数模型问题，就得到函号）由实际问题抽象为数学的函数模型问题，就得到函 数的瞬时变化率数的瞬时变化率导数，即导数是函数瞬时变化率的导数，即导数是函数瞬时变化率的 另一种说法另一种说法 此部分内容的重点是让学生体会研究的方法与过程此部分内容的重点是让学生体会研究的方法与过程 从自变量的改变量出发，再令自变量的改变量从自变量的改变量出发，再令自变量的改变量“无限无限” 的趋于零的趋于零 要引导学生归纳出求

23、函数导数的三个基本步骤：要引导学生归纳出求函数导数的三个基本步骤： （1）求函数的增量；）求函数的增量； （2）求平均变化率）求平均变化率 ； （3）取极限）取极限. 注意：研究导数的条件是函数注意：研究导数的条件是函数f（x）必须是在闭区间）必须是在闭区间 a，b“连续连续”的，而导数的，而导数f （x）又是只在开区间（）又是只在开区间（a， b）才可能存在的，至于为什么这不是我们现在研究的）才可能存在的，至于为什么这不是我们现在研究的 范围范围 必须在学生对图形充分感知的基础上进行，这是课标明确必须在学生对图形充分感知的基础上进行，这是课标明确 要求的要求的 导数的几何意义导数的几何意义就

24、是从图形的角度说明什么是导数，就是从图形的角度说明什么是导数， 要让学生充分感知导数几何意义形成的过程，这也是对本要让学生充分感知导数几何意义形成的过程，这也是对本 节知识、方法的归纳总结过程，平均变化率的几何意义是节知识、方法的归纳总结过程，平均变化率的几何意义是 过两点直线（割线）的斜率，瞬时变化率是一点处切线的过两点直线（割线）的斜率，瞬时变化率是一点处切线的 斜率，割线变为切线的过程就是斜率，割线变为切线的过程就是“逼近逼近”的过程，也是以的过程，也是以 “直直”代代“曲曲”的过程，重要的是研究的过程与方法的过程，重要的是研究的过程与方法 注意与初中圆的切的区别注意与初中圆的切的区别

25、AC B bx ay c tan ay bx (,)ABxy 对教材内容处理的几点建议对教材内容处理的几点建议 P5练习练习B 1、（文）、（文）P78练习练习B1，“治污效果治污效果 好？好？” “治污效治污效率率好？好？” 例：函数例：函数f(x)在区间（在区间（a，b）内处处可导，其图象大致）内处处可导，其图象大致 如图所示，并且它的导数如图所示，并且它的导数f/(x)在（在（a，b）内仍处处可导，）内仍处处可导， 令令y=g(x)= f /(x) ，则，则g(x)的导数的导数g/(x)的值（的值（ ） A恒为正数恒为正数 B恒为负数恒为负数 C有正也有负有正也有负 D不小于零不小于零

26、o y x ab y= f(x) 不要选择下列类问题进行训练不要选择下列类问题进行训练 0 ()fx 0 2()fx 0 2()fxB.A.C. D. 0 1. 若函数若函数 ( )yf x在区间在区间 ( , )a b内可导，且内可导，且 0 ( , )xa b， 00 0 ()() lim h f xhf xh h 的值为（的值为（ ）则则 0 33 34,lim 2 h fhf f h 设则为 AB2C3D1 ( ) 2. 二、导数的运算二、导数的运算 文科不要求文科不要求 3 yx、yx ()f axb的求导的求导 有理指数函数、对数函数的导数公式不再推导，直接以有理指数函数、对数函数

27、的导数公式不再推导，直接以 公式表的形式给出公式表的形式给出. 增加了增加了 23 1 ,yx yxyxyyx x 导数公式的推导导数公式的推导. 新增加了新增加了“数学软件的应用数学软件的应用”这一教学内容；复合函数的这一教学内容；复合函数的 内容不以一小节的内容出现内容不以一小节的内容出现 . 23 1 ,yc yx yxyxyyx x 公式的推导公式的推导. 导数公式表的准确记忆与运用；运算法则的灵活运用导数公式表的准确记忆与运用；运算法则的灵活运用 难点是：导数公式的推导过程中求极限含义的理解；难点是：导数公式的推导过程中求极限含义的理解； 函数积与商的导数运算法则的灵活运用；复合函数

28、求函数积与商的导数运算法则的灵活运用；复合函数求 导过程的意义导过程的意义 重点是：重点是： 在推导的过程中，要注意形式化训练中的规范要求，在推导的过程中，要注意形式化训练中的规范要求， 由由 于在求极限的过程中，若于在求极限的过程中，若“简化简化”过程都会出现过程都会出现“0/0”的的 形式，由此让学生体会过程的重要性形式，由此让学生体会过程的重要性 既要突出导数这一算法的基本思想和方法既要突出导数这一算法的基本思想和方法 ，又要注意相，又要注意相 关基础知识的补充与强化关基础知识的补充与强化 导数公式表给出了基本初等函数的导数公式，主要是让导数公式表给出了基本初等函数的导数公式，主要是让

29、学生能准确记忆，并能熟练地应用于求导数的过程中，学生能准确记忆，并能熟练地应用于求导数的过程中， 这些公式中除这些公式中除y=c的导数外，其余公式都不要求学生独的导数外，其余公式都不要求学生独 立进行推导立进行推导 要让掌握用计算软件要让掌握用计算软件Maple求函数的导数求函数的导数 http:/ 工具软件工具软件 x C x D x OA B E sin() sin cos xxx x coscosCBx 探索与研究（探索与研究（理科）理科） 直观理解直观理解sin x和和cos x的导数的导数 导数的四则运算法则是导数的四则运算法则是“求导数求导数”作为一种运算的运算作为一种运算的运算

30、域的规定，教材只给出和（或差）公式的证明，不要求域的规定，教材只给出和（或差）公式的证明，不要求 学生能根据定义对积、商的导数公式进行证明学生能根据定义对积、商的导数公式进行证明 要让学生注意实数的运算法则并不完全适用于求导数的要让学生注意实数的运算法则并不完全适用于求导数的 运算法则运算法则 . 要求学生会求函数要求学生会求函数 cos2yx 的导数，不要求会求函数的导数，不要求会求函数 2 sinyx或或 2 sinyx的导数的导数 不要将解析式为分式的函数的分母改成负指数幂形式不要将解析式为分式的函数的分母改成负指数幂形式 运算法则满足运算律运算法则满足运算律 对教材内容处理的几点建议对

31、教材内容处理的几点建议 例例1. .求函数求函数 的导数的导数 1 ln 1 x y x 例例2. .求函数求函数 的导数的导数 1 ( ) (1)cos x f x xx 1 ln(1)ln(1) 2 yxx 1121 ( )(1) 1cos1cos x f x xxxx 整体上教学要求有所提高整体上教学要求有所提高.增加了增加了“能利用导数研究函数能利用导数研究函数 的单调性；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有的单调性；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有 效性；体会导数在解决实际问题中的作用效性；体会导数在解决实际问题中的作用”；但在研究函；但在研究函 数的极值与最值方面却有严

32、格限制，要求所研究的函数类数的极值与最值方面却有严格限制，要求所研究的函数类 型为多项式函数，且多项式的次数不超过三型为多项式函数，且多项式的次数不超过三 课标课标要求高于要求高于大纲大纲要求；要求；课标考纲课标考纲要求高要求高 于于课标课标要求要求. 取消了取消了“函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值”一节一节 ；增设了解决实；增设了解决实 际问题的内容单独为一小节际问题的内容单独为一小节. 特别是对抽象函数的图象的识别能力，要求学生有较高特别是对抽象函数的图象的识别能力，要求学生有较高 的观察能力的观察能力 三、导数的应用三、导数的应用 重点是：利用直观的方法理解、体会函数的单调性、函

33、数重点是：利用直观的方法理解、体会函数的单调性、函数 的极值、函数的最值与导数的关系；会求不超过三次的多的极值、函数的最值与导数的关系；会求不超过三次的多 项式函数的单调区间；函数在某点取得极值的必要条件和项式函数的单调区间；函数在某点取得极值的必要条件和 充分条件，利用导数判别可导函数极值的方法；求一些实充分条件，利用导数判别可导函数极值的方法；求一些实 际问题的最大值与最小值际问题的最大值与最小值 难点是：对抽象函数图象的观察与识别；函数在某点取得难点是：对抽象函数图象的观察与识别；函数在某点取得 极值的必要条件和充分条件；最值与极值的区别和联系，极值的必要条件和充分条件；最值与极值的区别

34、和联系， 如何建立模型求一些实际问题的最大值与最小值；函数的如何建立模型求一些实际问题的最大值与最小值；函数的 单调性与极值、最值知识的综合运用单调性与极值、最值知识的综合运用 要强化数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想要强化数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想 的教学的教学. 教材为解决单调区间的端点问题，教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单都一律用开区间作为单 调区间调区间，虽简化了问题，但在实际应用中遇到端点的问题，虽简化了问题，但在实际应用中遇到端点的问题 时仍要谨慎处理时仍要谨慎处理 ( )0fx是是( )f x为增函数的充分不必要条件为增函数的充分不必要条

35、件 ( )0fx是是( )f x为增函数的必要不充分条件为增函数的必要不充分条件 当当 ( )0fx 时时, ( )0fx是是( )f x为增函数的充要条件为增函数的充要条件 （1）利用导数研究函数的单调性）利用导数研究函数的单调性 （2）利用导数研究函数的极值）利用导数研究函数的极值 极值是比较极值点附近函数值的结果；而函数的最值是比极值是比较极值点附近函数值的结果；而函数的最值是比 较整个定义区间的函数值的结果，函数的最值是在函数的较整个定义区间的函数值的结果，函数的最值是在函数的 极值基础上的发展极值基础上的发展 只有当函数在闭区间只有当函数在闭区间a，b上连续，在开区间（上连续，在开区

36、间（ a，b ） 上可导，才能用导数求极值与最值上可导，才能用导数求极值与最值 A.要通过判定可导函数的极值，加深学生对可导函数单调要通过判定可导函数的极值，加深学生对可导函数单调 性与其导数的关系的了解性与其导数的关系的了解 ; B.最值问题必须在闭区间上研究；最值问题必须在闭区间上研究； C.f(x0)=0是函数是函数f(x)在点在点x=x0处取得极值的必要条件，而处取得极值的必要条件，而 不是充分条件；不是充分条件； D. f(x)不存在的点也可能是极值点；不存在的点也可能是极值点； E.解答格式、步骤规范化问题解答格式、步骤规范化问题 （3）教学中应注意以下问题：）教学中应注意以下问题

37、： 教材是以具体的问题情境，以抽象的函数图象来研究导数教材是以具体的问题情境，以抽象的函数图象来研究导数 与函数的单调性的关系的，这对学生的探究与认识有很大与函数的单调性的关系的，这对学生的探究与认识有很大 的难度，可根据具体情况适当补充整系数二次函数类型的的难度，可根据具体情况适当补充整系数二次函数类型的 问题，让学生逐步感知、体会问题，让学生逐步感知、体会 4.要注意学法指导要注意学法指导 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最 高等问题，这些问题称为优化问题，优化问题有高等问题，这些问题称为优化问题，优化问题有 时也称为最值问题解决这些问题具

38、有非常重要时也称为最值问题解决这些问题具有非常重要 的现实意义的现实意义 这些问题通常可以转化为数学中的函数问题，进这些问题通常可以转化为数学中的函数问题，进 而转化为求函数的最值问题关键是引导学生能而转化为求函数的最值问题关键是引导学生能 从实际问题的不同情景出发，建立与之相对应的从实际问题的不同情景出发，建立与之相对应的 函数关系函数关系 在教学中要让学生了解背景，对问题有一定的生在教学中要让学生了解背景，对问题有一定的生 活经验感知，从生活经验的角度去看待问题，在活经验感知，从生活经验的角度去看待问题，在 生活经验的基础上，逐步引入到数学问题中生活经验的基础上，逐步引入到数学问题中 应用

39、中常用的一个概念应用中常用的一个概念经济学中的边际成本经济学中的边际成本 工厂生产某种产品所需的全部经济资源投入的费用总额工厂生产某种产品所需的全部经济资源投入的费用总额 称为总成本，总成本中包括固定成本（如厂房、设备、称为总成本，总成本中包括固定成本（如厂房、设备、 设备维修费等到）与可变成本（如原材料、劳动力成本设备维修费等到）与可变成本（如原材料、劳动力成本 等）生产等）生产x单位产品所付出的总成本是单位产品所付出的总成本是x的函数，的函数， 记为记为 C（x），经济学中称），经济学中称C（x）为成本函数）为成本函数 成本函数的平均变化率为：成本函数的平均变化率为： ()( )CC xx

40、C x xx 若若x当趋于当趋于0时，平均变化率逐渐趋于一个确定值，该时，平均变化率逐渐趋于一个确定值，该 确定值即为成本函数确定值即为成本函数C（x）的瞬时变化率）的瞬时变化率C （x），在），在 经济学中称为边际成本经济学中称为边际成本 C（x0）就是当产量为）就是当产量为x0时的时的 边际成本，可以解释为产量达到时边际成本，可以解释为产量达到时x0再生产一个单位成再生产一个单位成 本所增加的成本，或解释为产量为本所增加的成本，或解释为产量为x0时生产最后一个产时生产最后一个产 品所添加的成本品所添加的成本 推荐：严世健主编，齐植兰、李心灿编著的推荐：严世健主编，齐植兰、李心灿编著的微积分

41、微积分 对教材内容处理的几点建议对教材内容处理的几点建议 例例. . 已知函数已知函数 32 ( )(0)f xaxbxcxda 轴相交于点轴相交于点P，经过点，经过点P P的切线的方程为的切线的方程为 的图象与的图象与y 40kxy 且且( )f x在在2x 时取得极值时取得极值8 （1）当）当 0a 时，求函数时，求函数 ( )f x的单调递减区间；的单调递减区间； （2）当）当 0a 时，时，设另一个极值点的坐标为设另一个极值点的坐标为 (m, ,n), 求求n的值域的值域 四、定积分与微积分基本定理四、定积分与微积分基本定理 （1）定位：了解定积分的实际背景，借助几何直观体会）定位：了

42、解定积分的实际背景，借助几何直观体会 定积分的基本思想，初步了解定积分的概念；通过实例，定积分的基本思想，初步了解定积分的概念；通过实例， 直观了解微积分基本定理的含义直观了解微积分基本定理的含义. （2）增加了定积分和微积分基本定理的知识教学要求）增加了定积分和微积分基本定理的知识教学要求. （3）对相关的数学文化，由被动了解，变为主动收集、）对相关的数学文化，由被动了解，变为主动收集、 交流、体会交流、体会 由原来的没有具体知识内容，改为有明确的知识内容由原来的没有具体知识内容，改为有明确的知识内容 重点是：积分的基本思想重点是：积分的基本思想求曲边梯形面积的思维过求曲边梯形面积的思维过

43、程，微积分基本定理的意义，求积分与求导数的关系，程，微积分基本定理的意义，求积分与求导数的关系， 原函数的求法原函数的求法 . 难点是：曲边梯形的含义，极限思想及相关理论的认识难点是：曲边梯形的含义，极限思想及相关理论的认识 与理解，与理解，“以直代曲以直代曲”的科学性，数列的求和，微积分的科学性，数列的求和，微积分 基本定理的推导过程，原函数的求法基本定理的推导过程，原函数的求法 4.关于曲边梯形与定积分的教学：关于曲边梯形与定积分的教学： （2）明确为什么用先求小矩形的面积和来求曲边图形的）明确为什么用先求小矩形的面积和来求曲边图形的 面积的方法面积的方法.为什么不分成三角形为什么不分成三

44、角形 （1）应强化直观，让学生借助几何直观体会定积分的）应强化直观，让学生借助几何直观体会定积分的 基本思想，而不是掌握定积分的基本理论基本思想，而不是掌握定积分的基本理论 （4）定积分的最本质思想：在每个局部小范围内）定积分的最本质思想：在每个局部小范围内“以直以直 代曲代曲”，“以不变代变以不变代变”和逼近的思想，这也是应用定积和逼近的思想，这也是应用定积 分解决实际问题的思想方法分解决实际问题的思想方法 （5）注重过程体验，归纳求解问题的一般步骤）注重过程体验，归纳求解问题的一般步骤分割、分割、 近似代替、求和、取极限近似代替、求和、取极限 分割时，各长度可以不等，只要让其中最大长度趋于

45、分割时，各长度可以不等，只要让其中最大长度趋于0 就可以了就可以了思维策略，但是不妨思维策略，但是不妨n等分等分. （6）要注意对数列求和知识技能的强化）要注意对数列求和知识技能的强化.注重对极限的直注重对极限的直 观解释、说明观解释、说明. （7）注意引导学生对和式：）注意引导学生对和式： 1 0 ( ) n nii i Ifx 的认识的认识. （3）应特别强化）应特别强化“将底边等分的微分思想将底边等分的微分思想”和和“曲线之曲线之 下各小矩形面积之和，当下各小矩形面积之和，当n趋向于无穷时，极限应存在的趋向于无穷时，极限应存在的 极限与积分思想极限与积分思想” 5.定积分的常用参考结论：定积分的常用参考结论： 设函数设函数f（x）、）、g（x）在区间）在区间a，b上可积，则根据定上可积，则根据定 义可推证定积分有以下的性质：义可推证定积分有以下的性质： (1)1 bb aa dxdxba (2)( )( ) bb aa kf x dxkf x dx (3) ( )( )( ) bbb aaa f xg x dxf x dxg x dx ） (4)( )( )( ) bcb aac f x dxf x dxf x dx (5)( )( ) ba ab f x dxf x dx 6.关于微积分基本定理的教学：关于微积分基本定理的教学： （1）要特别