第四节：矢量函数的极限、

1、第四节：矢量函数的极限、连续和导数第四节：矢量函数的极限、连续和导数 主要内容： 一、矢量函数一、矢量函数 二、矢量函数的极限和连续二、矢量函数的极限和连续 二、矢量函数的导数二、矢量函数的导数 四、矢量函数的求导法则四、矢量函数的求导法则 五五, 单位矢量的导数单位矢量的导数 一、矢量函数矢量函数 在力学课中知道任一 质点的位置矢量为： )(trr R F a r xy z o A BO M M )(tr )(ttr r v v )()(trttrrMM 如图，动点如图，动点M在时间间在时间间 隔隔 内的位移为内的位移为t 的函数。都是时间结论：tMMr, 对而对任意矢量有对而对任意矢量有：

2、 称为矢量函数。当时间变化时，)(taa kjia zx aat y a)( 在直角指标系中， O x y z i j k r M x y z 显然，矢径的矢端曲线就是点运动的轨迹。显然，矢径的矢端曲线就是点运动的轨迹。 也称也称矢端曲线。矢端曲线。坐标系的原点也叫坐标系的原点也叫矢端曲线矢端曲线 的极的极 用矢径法描述点的运动有简洁、直观的用矢径法描述点的运动有简洁、直观的 优点。优点。 定义定义 1 1 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 ( (不论它多不论它多 么小么小),),总存在正数总存在正数 , ,使得对于适合不等式使得对于适合不等式 0 0tt 的一切的一切 t,t,对

3、应的矢量函数对应的矢量函数 a a 都都 满足不等式满足不等式 0 aa , ,那末常数那末常数 a a0 0就叫函数就叫函数 a a 当当 0 tt 时的极限时的极限, ,记作记作 )(lim 00 0 ttaa tt 当或 0 aa . ,0, 0, 0 0 0 aa tt 恒有 时使当 定义定义 二、矢量函数的极限和连续矢量函数的极限和连续 1、矢量函数的极限矢量函数的极限 2极限运算法则极限运算法则 极限运算法则极限运算法则 （）（） .)()(limbatgtf （）（） （） .)()(limbatgtf （）（） ),0.()()(limbbatgtf 假设假设btgatf )(

4、lim,)(lim batgtf )()(lim kjia zx aatlimlimalim)(lim y 在直角指标系中， 推论推论1 1 ).(lim)(lim ,)(lim tfctf c ctf 则为常数而存在如果 常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面. .)(lim)(lim ,)(lim nn xfxf nxf 则是正整数而存在如果 推论推论2 2 3、 函数的连续性函数的连续性(Continuity of Function) (1) 函数的增量函数的增量 ., ),(,)()( 00 00 的增量的增量称为自变量在点称为自变量在点 内有定义内有定义在在设函数设

5、函数 xxxx xUxxUxf .)(),()( 0 的的增增量量相相应应于于称称为为函函数数xxfxfxfy x y 0 0 xxx 0 )(xfy x y (2) 函数在一点连续的定义函数在一点连续的定义 定义定义 1 1 设函数设函数)(xf在在)( 0 xU 内有定义内有定义, ,如如 果当自变量的增量果当自变量的增量x 趋向于零时趋向于零时, ,对应的函对应的函 数的增量数的增量y 也趋向于零也趋向于零, ,即即0lim 0 y x 或或 0)()(lim 00 0 xfxxf x , ,那末就称函数那末就称函数 )(xf在点在点 0 x连续连续, , 0 x称为称为)(xf的连续点

6、的连续点. . , 0 xxx 设设),()( 0 xfxfy ,0 0 xxx 就是就是 ).()(0 0 xfxfy 就是就是 定义定义 2 2 设函数设函数)(xf在在)( 0 xU 内有定义内有定义, ,如果如果 函数函数)(xf当当 0 xx 时的极限存在时的极限存在, ,且等于它在且等于它在 点点 0 x处的函数值处的函数值)( 0 xf, ,即即 )()(lim 0 0 xfxf xx 那末就称函数那末就称函数)(xf在点在点 0 x连续连续. . 定义定义3 定定义义 .)()( , 0, 0 0 0 xfxf xx时，恒有时，恒有当当 由极限定义和上述极限可以得到：由极限定义

7、和上述极限可以得到： 4、矢量函数的连续性、矢量函数的连续性 定义： 处连续。在，则称且有 的某邻域内有定义，在点若矢量函数 00 0 )()()(lim )( tttatata tta 如果矢量函数在某一区间每一点处 都连续,则称它在该区间内连续. 三、矢量函数的导数三、矢量函数的导数 A BO M M )(tr )(ttr r v v )()(trttrrMM 则则 t r v 表示动点在时间间隔表示动点在时间间隔 内运动的平内运动的平t 均快慢和方向，称为点的均快慢和方向，称为点的平均速度平均速度。 当当 时，平均速度的极限矢量称为动时，平均速度的极限矢量称为动 点在点在t瞬时的瞬时的速

8、度速度。即。即 0t r dt rd t r vv tt 00 limlim 即：即：点的速度等于它的矢径对时间的一阶导点的速度等于它的矢径对时间的一阶导 数数。方向沿轨迹的切线方向。方向沿轨迹的切线方向。 如图，动点如图，动点M在时间间在时间间 隔隔 内的位移为内的位移为t M M v v v v a a 如图，动点如图，动点M在时间间隔在时间间隔 内速度矢量的内速度矢量的 改变量为改变量为 t vvv 则则 t v a 表示动点的速度在时表示动点的速度在时 t内的平均变化率，称为内的平均变化率，称为间间隔间间隔 平均加速度平均加速度。 当当 时，平均加速度的极限矢量称为时，平均加速度的极限

9、矢量称为 动点在动点在t瞬时的瞬时的加速度加速度。即。即 0t rv dt vd t v aa tt 00 limlim 即：即：点的加速度等于它的速度对时间的一阶点的加速度等于它的速度对时间的一阶 导数，也等于它的矢径对时间的二阶导数导数，也等于它的矢径对时间的二阶导数。 任意矢量导数的定义 a ta t tattad t )()( dt )( lim 0 一方。方向都指向时间减少的 的的方向与时，是矢量函数，aata 0 )2( 注意: 向时间增加的一方， 的方向指与时，）当（aat 01 kjia zx aat y a)( 在直角指标系中， )( limlim 0 k t a j t a

10、 i t a t a z y x t )k dt da j dt da i dt da dt ad z y x )k dt ad j dt da i dt ad dt ad m z m m y m m x m m m 222 )()()( dt da dt da dt da dt ad z y x 四四 矢量函数的求导法则矢量函数的求导法则 batbta,)().(为都是可微分函数，简记设 dt d dt dba ba )( dt d 1）（ 的函数）是）（ t(f dt d f)( dt d 2a a a dt df f dt d dt b ab ad ba )( dt d 3）（ d )(

11、 dt d 4b dt a dt b aba d ）（ 以上公式自证。 是常矢量）cc (0)( dt d )5( 例例1 A B M R O 杆AB绕A点转动时，带动套在半径 为R的固定大圆环上的小护环M运动， 已知 （ 为常数）。求小环M的 运动方程、速度和加速度。 t A B M Ox y 2 解：建立如图所示的直角坐标。则 2cos 2sin Ry Rx 即为小环M的运动方程。 tRy tRx 2cos 2sin 即 tRxvx2cos2 tRyv y 2sin2 例1 故M点的速度大小为Rvvv yx 2 22 A B M Ox y 2 v x v y v 其方向余弦为 2cos),

12、cos( v v iv x 2sin),cos( v v jv y 如图。 xtRva xx 22 42sin4 ytRva yy 22 42cos4 故M点的加速度大小为 222 4Raaa yx 且有rj yi xj yi xa 2222 4)(444 加速度的方向如图。 a 例题:2书248页. 五五 单位矢量的导数单位矢量的导数 的矢量。单位矢量：摸值为 1 1| )(| )(| 00 ttata 如图； ttt a 2 2 sin 2 sin2 | 0 由等腰三角形有： 转动角速度。单位矢量导数的摸等于 0 dt d dt ad 0 |aaa dt ad aa dt ad dt ad 0 0 | | , 1 ) 1 ( 00 aa 注意：0a 2 0 0 dt ad ）（ 物理实例物理实例:平面极坐标系中平面极坐标系中 单位矢量的导数单位矢量的导数 坐标系特点坐标系特点 径向单位矢量径向单位矢量i和横和横 向单位矢量向单位矢量j随时间随时间 而