第2章 岩土流变力学

1、第二章 岩土流变力学 2-1 2-1 岩石工程中的流变问题岩石工程中的流变问题 岩体的变形随时间增长而变化岩体的变形随时间增长而变化 地下硐室的开挖地下硐室的开挖 岩基地基岩基地基 岩石边坡岩石边坡 一、流变的概念一、流变的概念 岩石的流变性岩石的流变性: :岩石应力应变关系随时间而变化的性质。岩石应力应变关系随时间而变化的性质。 外部条件不变时，应力或变形随时间而缓慢变化。外部条件不变时，应力或变形随时间而缓慢变化。 流变性（粘性）流变性（粘性） 蠕变蠕变 松弛松弛 弹性后效弹性后效 长期强度长期强度 2-2 岩石流变力学属性岩石流变力学属性 蠕变蠕变: :蠕变是当应力不变时，变形随时间增加

2、而增长的现象蠕变是当应力不变时，变形随时间增加而增长的现象 松弛松弛: :松弛是当应变不变时，应力随时间增加而减小的现象松弛是当应变不变时，应力随时间增加而减小的现象 弹性后效弹性后效: :弹性后效是加载或卸载时，弹性应变滞后于应力弹性后效是加载或卸载时，弹性应变滞后于应力 的现象的现象 长期强度长期强度: :在长期载荷持续作用下岩石的强度在长期载荷持续作用下岩石的强度 t t的强度的强度 长期 强度 方法方法1 1 方法方法2 2 二、岩石的蠕变性能二、岩石的蠕变性能 1 1、岩石的蠕变特性、岩石的蠕变特性 通常用蠕变曲线（通常用蠕变曲线（-t-t曲线）表示岩石的蠕变特性。曲线）表示岩石的蠕

3、变特性。 （1 1）稳定蠕变稳定蠕变：岩石在较小的恒定力作用下，变形随时：岩石在较小的恒定力作用下，变形随时 间增加到一定程度后就趋于稳定，不再随时间增加而变化，间增加到一定程度后就趋于稳定，不再随时间增加而变化， 应变保持为一个常数。稳定蠕变一般不会导致岩体整体失稳。应变保持为一个常数。稳定蠕变一般不会导致岩体整体失稳。 （2 2）非稳定蠕变非稳定蠕变：岩石承受的恒定荷载较大，当岩石应：岩石承受的恒定荷载较大，当岩石应 力超过某一临界值时，变形随时间增加而增大，其变形速率力超过某一临界值时，变形随时间增加而增大，其变形速率 逐渐增大，最终导致岩体整体失稳破坏。逐渐增大，最终导致岩体整体失稳破

4、坏。 2 2、岩石的典型蠕变曲线及其特征、岩石的典型蠕变曲线及其特征 典型的蠕变曲线可分为典型的蠕变曲线可分为4（3）个阶段：个阶段： (1)(1)瞬时弹性变形阶段（瞬时弹性变形阶段（OA）：）： E 0 0 (2)(2)一次蠕变阶段（一次蠕变阶段（AB）：）： （瞬态蠕变段（瞬态蠕变段/ /第第一蠕变阶段一蠕变阶段/ /初始蠕变段初始蠕变段/ / 减速蠕变阶段减速蠕变阶段） 此阶段卸载此阶段卸载 一部分应变瞬时恢复一部分应变瞬时恢复(PQ段段) 一部分应变随时间逐渐恢复（一部分应变随时间逐渐恢复（OROR段）段） 0 2 2 td d 粘弹性粘弹性 (4)(4)三次蠕变阶段（三次蠕变阶段（C

5、D）：应变速率迅）：应变速率迅 速增加，直到破坏速增加，直到破坏 （第三（第三蠕变阶段蠕变阶段/ /加速蠕变段）加速蠕变段） 0 2 2 td d (3)(3)二次蠕变阶段（二次蠕变阶段（BC）：应变速率不变）：应变速率不变 （第二蠕变阶段第二蠕变阶段/ /等速或稳定蠕变段）等速或稳定蠕变段） 0 2 2 td d 此阶段卸载此阶段卸载 一部分应变瞬时恢复一部分应变瞬时恢复 一部分应变随时间逐渐恢复一部分应变随时间逐渐恢复 一部分应变不能恢复（一部分应变不能恢复（v v） 粘弹塑性粘弹塑性 当应力水平当应力水平 较低时，可能无此阶段较低时，可能无此阶段 （稳定蠕变）（稳定蠕变） 蠕变变形总量：

6、蠕变变形总量：=0 0+ +1 1(t)+(t)+2 2(t)+(t)+3 3(t)(t) 式中式中：0 0为瞬时弹性应变；为瞬时弹性应变；1 1(t)(t)，2 2(t)(t)，3 3(t)(t)为与时间有关的一次蠕为与时间有关的一次蠕 变、二次蠕变、三次蠕变。变、二次蠕变、三次蠕变。v v 为粘塑性应变， 为粘塑性应变， Q Q 为粘弹性应变。 为粘弹性应变。 3 3、岩石的蠕变曲线类型、岩石的蠕变曲线类型 类型类型1 1：稳定蠕变：稳定蠕变 。曲线包含瞬时弹性变形、瞬态蠕变和稳定蠕。曲线包含瞬时弹性变形、瞬态蠕变和稳定蠕 变变3 3个阶段（压应力个阶段（压应力10MPa10MPa，12.

7、5MPa12.5MPa），无第三阶段蠕变），无第三阶段蠕变 类型类型2 2：典型：典型蠕变蠕变 。曲线包含。曲线包含4 4个阶段（压应力个阶段（压应力15MPa15MPa，18.1MPa18.1MPa） 类型类型3 3：加速：加速蠕变蠕变 。曲线几乎无稳定蠕变阶段，应变率很高（压。曲线几乎无稳定蠕变阶段，应变率很高（压 应力应力20.5MPa20.5MPa，25MPa25MPa）变形近似直线状急剧发展，迅速破坏）变形近似直线状急剧发展，迅速破坏 3-3 岩石的流变模型岩石的流变模型 岩石的流变本构模型岩石的流变本构模型 ：用于描述岩石应力应变关系随：用于描述岩石应力应变关系随 时间变化的规律。

8、它是通过试验理论应用证实而得到的。时间变化的规律。它是通过试验理论应用证实而得到的。 本构模型分类：本构模型分类： 1 1、经验公式模型、经验公式模型：根据不同试验条件及不同岩石种类求得：根据不同试验条件及不同岩石种类求得 的数学表达式，这种表达式通常采用幂函数、指数函数、的数学表达式，这种表达式通常采用幂函数、指数函数、 对数函数的形式表达。对数函数的形式表达。 2 2、积分模型、积分模型：是在考虑施加的应力不是一个常数时的更一：是在考虑施加的应力不是一个常数时的更一 般的情况下，采用积分的形式表示应力应变时间关系般的情况下，采用积分的形式表示应力应变时间关系 的本构方程。的本构方程。 3

9、3、组合模型、组合模型：将岩石抽象成一系列简单元件（弹簧、阻尼：将岩石抽象成一系列简单元件（弹簧、阻尼 器、摩擦块），将其组合来模拟岩石的流变特性而建立的器、摩擦块），将其组合来模拟岩石的流变特性而建立的 本构方程。本构方程。 （一）经验公式模型（一）经验公式模型 45690. 0 101610. 1 t 1 1、幂函数型、幂函数型 ： DtBt e lg)( )10()( nAtt n 式中：式中：A A和和n n是经验常数，其值取决于应力水平、材料物是经验常数，其值取决于应力水平、材料物 理特性及温度条件。理特性及温度条件。 2 2、对数型、对数型 ： 式中：式中： e 为瞬时弹性应变；为

10、瞬时弹性应变；B B，D D取决于应力性质及水平的待定常数。取决于应力性质及水平的待定常数。 大理岩试验大理岩试验 （ 轴向、侧向）轴向、侧向） 第一、第二阶段第一、第二阶段 轴向蠕变方程轴向蠕变方程 45044. 0 104205. 0 t 第一、第二阶段第一、第二阶段 侧向蠕变方程侧向蠕变方程 通常形式通常形式 通常形式通常形式 如：如： 式中：式中： e 为瞬时弹性应变；为瞬时弹性应变；A A为蠕变系数。为蠕变系数。 罗伯逊（罗伯逊（RoberstsonRoberstson）根据开尔文（）根据开尔文（KelvinKelvin）粘弹性模型通过试）粘弹性模型通过试 验曲线修正后得到半经验公式

11、：验曲线修正后得到半经验公式： 如：如： tAt e ln)( c n E A)( 单轴单轴 c n G A) 2 ( 31 三轴三轴 n nc c 为蠕变指数为蠕变指数 )(exp1)(tfAt 3 3、指指数型数型 ： 式中：式中： A A为试验常数，为试验常数，f(t)f(t)是时间是时间t t的函数。的函数。 通常形式通常形式 如：如： 伊文思（伊文思（EvansEvans）对花岗岩、砂岩研究得到：）对花岗岩、砂岩研究得到： )1exp(1 )( 4 . 0 ctAt 式中：式中： A A、c c为试验常数为试验常数 4 4、幂函数、幂函数、指指数函数、对数函数数函数、对数函数 混合型

12、混合型： 如：如： 干燥的钙质石灰岩：干燥的钙质石灰岩： 6651. 0 10)48lg52822()( ttt 干燥的白云质石灰岩：干燥的白云质石灰岩： 6489. 049. 0 10)567 . 0648()( tet t 干燥的砂岩：干燥的砂岩： 6687. 001. 0 10)410581858()( tet t 经验法简单实用，经验法简单实用，对特定的岩石试验而得，难以推广到对特定的岩石试验而得，难以推广到 所有情况所有情况 （二）积分模型（二）积分模型 （一维） 流变方程：流变方程： 0),(tf应力为常数，蠕变方程应力为常数，蠕变方程 0),(tf应变为常数，松弛方程应变为常数，

13、松弛方程 蠕变方程蠕变方程 应力随时间应力随时间 的变化规律的变化规律 每时刻在给定应力下的应变每时刻在给定应力下的应变 应力不为常数时应力不为常数时 )( 0 tJ 蠕变方程蠕变方程 恒定应力t的函数 0 0时刻：作用应力：时刻：作用应力：0 0 -t-t时刻：作用应力：时刻：作用应力： 0 0+0 0 t t时刻：应变：时刻：应变： )()( 00 tJtJ 设应力增量设应力增量作用在作用在0 0时刻：时刻： 时刻的应变为：时刻的应变为： )0()( 000 tJtJ t ti i时刻应力相对前一时间时刻应力相对前一时间 步步t ti-1 i-1增加 增加i i，相应，相应应变应变 增量为

14、：增量为： )( iii tJ 引起的引起的总应变：总应变： t i ii tJtJ 0 0 )()( 积分形式积分形式： )()()( )()()( 0 0 0 0 dtJtJ dtJtJ t t 积分形式的流变方程积分形式的流变方程 )()()( 0 0 dtJtJ t 令：令： vduuvudv )(),(ddvtJu 利用分部积分：利用分部积分： dtJtJJtJ tdJtJtJt t t t )()()0()()()0()( )()()|()()()( 0 0 0 00 dtJtJJtJt t )()()0()()()0()()( 0 0 E J 1 )0( 式中：式中： 为为0 0

15、时刻的应力应变关系，有：时刻的应力应变关系，有： )0(J )( 1 )(tK E tJ 令：令： 材料蠕变核材料蠕变核 dtKt E t t )()()( 1 )( 0 积分形式的流变方程常用通式积分形式的流变方程常用通式 dtRtEt t )()()()( 0 积分形式的松弛方程常用通式积分形式的松弛方程常用通式 同理同理 材料松弛核材料松弛核 （三）组合模型（三）组合模型 1 1、流变模型元件、流变模型元件 （1 1）弹性介质及弹性元件（虎克体）弹性介质及弹性元件（虎克体） ： 满足虎克定律满足虎克定律 E 弹性介质性质：弹性介质性质： （1）具有瞬时变形性质；）具有瞬时变形性质； （2

16、）常数，则常数，则保持不变，故无保持不变，故无 应力松弛性质；应力松弛性质； （3）常数，则常数，则也保持不变，故也保持不变，故 无蠕变性质；无蠕变性质； （4）0（卸载），则（卸载），则0，无，无 弹性后效。弹性后效。 可见，可见，、与时间与时间t无关无关(无蠕变无蠕变) （2）粘性介质及粘性元件（牛顿体） 满足牛顿定律 dt d ct t 0 加载瞬间，无变形加载瞬间，无变形 即当即当t=0t=0时时, ,=0 0,=0,=0,则则 c=0 粘性介质性质：粘性介质性质： （1）当）当0时，时， 说明在受应力说明在受应力 0作用，要产生相应的变形作用，要产生相应的变形 必须经过时间必须经过时

17、间t，表明无瞬时变形，表明无瞬时变形，粘性元件具有蠕变性质；粘性元件具有蠕变性质； t 0 0 （2）0（卸载），则（卸载），则常数，故无弹性后效，有永久变形。常数，故无弹性后效，有永久变形。 （3）常数，则常数，则=dd/dt/dt0，粘性元件不受力，故无应力松弛，粘性元件不受力，故无应力松弛 性质。性质。 牛牛 顿顿 粘粘 性性 系系 数数 （3）塑性介质及塑性元件（圣维南体） 当当: :s s ，=0=0 s s , , 可模拟刚塑性体的变形性质。 牛顿体具有粘性流动的特点。塑性元件具有刚塑性体变形牛顿体具有粘性流动的特点。塑性元件具有刚塑性体变形 （塑性变形也称塑性流动）的特点。（塑性

18、变形也称塑性流动）的特点。 粘性流动粘性流动：只要有微小的力就会发生流动。：只要有微小的力就会发生流动。 塑性流动塑性流动：只有当应力：只有当应力达到或超过屈服极限达到或超过屈服极限s才会产生才会产生 流动。流动。 粘弹性体粘弹性体：研究应力小于屈服极限时的应力、应变与时间：研究应力小于屈服极限时的应力、应变与时间 的关系；的关系； 粘弹塑性体粘弹塑性体：研究应力大于屈服极限时的应力、应变与时：研究应力大于屈服极限时的应力、应变与时 间的关系；间的关系； 2、岩石的组合流变模型 基本元件基本元件岩石一种性质岩石一种性质 岩石性质岩石性质 弹性弹性 塑性塑性 粘性粘性 组合组合 组合方式组合方式

19、 串联串联 并联并联 应力：应力： n 21 应变：应变： n 21 应力：应力： n 21 应变：应变： n 21 （1 1）理想弹塑性介质模型）理想弹塑性介质模型 o s 当当: :s s ， =s s , , 保持不变，保持不变， 持续增大，持续增大，。 E 无蠕变、无松弛、无弹性后效无蠕变、无松弛、无弹性后效 （2 2）理想粘塑性介质模型）理想粘塑性介质模型 1 1+2 2， 1 1 = =2 2 : 0: 1 1 s s 2 阻尼器：阻尼器： 摩擦片：摩擦片： s ss s : 0: 本构方程本构方程 s s s : 0: A A、蠕变曲线：、蠕变曲线：当当保持不变，保持不变， 即即

20、 0 0常数常数 通解为：通解为：ct s 0 初始条件：初始条件： 加载瞬间加载瞬间 00时，t t s 0 s s :考虑： 蠕变方程：蠕变方程： 蠕变曲线蠕变曲线 B B、卸载曲线：、卸载曲线： 当当t=tt=t1 1时卸载，时卸载， 1 0 t s 由于：由于：1 1 = =2 2 1 1 为塑性变形，故 为塑性变形，故为为 永久变形，永久变形， 无弹性后效无弹性后效 C C、松弛曲线、松弛曲线： 当当保持不变，保持不变， d/dtd/dt=0,=0, 代入代入 s s 无松弛无松弛 （3）马克斯威尔模型（Maxwell）（粘弹性体） 该模型由弹性元件和粘性元件串联而成，可模拟变形随该

21、模型由弹性元件和粘性元件串联而成，可模拟变形随 时间增长而无限增大的力学介质。时间增长而无限增大的力学介质。 1 1 2 2 设弹簧和粘性元件的应力、设弹簧和粘性元件的应力、 应变分别为应变分别为1 1,1 1和和 2 2 , ,2 2， ， 组合模型的总应力为组合模型的总应力为和和。 弹簧弹簧: : tttd d d d d d 21 E 1 1 tEtEtd d1 d d1 d d 11 22 d d t 由由( (b):b): 粘性粘性元件元件: : 则则 1 12 2， (a) (a) 1 1 2 2 (b) (b) tE d d1马克斯威尔模马克斯威尔模 型本构方程型本构方程 马克斯

22、威尔模型本构方程： A A、蠕变曲线：、蠕变曲线：当当保持不变，保持不变， 即即 0 0常数，常数，d/dtd/dt=0,=0, 代入上式得：代入上式得： tEtd d1 d d 0 d d t 通解为：通解为：ct 0 初始条件：初始条件： 加载瞬间加载瞬间 E t 0 0 0 时，时， 得：得： c = c = 0 0 t E t 000 0 蠕变方程：蠕变方程： 0 1 1 2 2 B B、卸载曲线：、卸载曲线：当当t=tt=t1 1时卸载，弹时卸载，弹 性变形性变形0 0立即恢复，则卸载曲线立即恢复，则卸载曲线 为：为： 1 0 t 这是不可恢复的塑性变形。这是不可恢复的塑性变形。 t

23、 E t 000 0 1 1 2 2 0 C C、松弛曲线、松弛曲线：当：当保持不变，保持不变， 即即0 0常数，常数，d/dtd/dt=0,=0, 代入上式得：代入上式得： tEtd d1 d d 0 1 dt d E 通解为：通解为： ct E ln 初始条件：初始条件： 0 0 时，时， t 得：得：c = lnc = ln0 0 t E e 0 松弛方程：松弛方程： 1 1 2 2 可见：马克斯威尔模型可见：马克斯威尔模型具有瞬时变形、蠕变和松弛的具有瞬时变形、蠕变和松弛的 性质，可模拟变形随时间增长而无限增大的力学介质。性质，可模拟变形随时间增长而无限增大的力学介质。 1 2 2 1

24、 （4）开尔文(Kelvin)模型 设弹簧和阻尼元件的应力、应设弹簧和阻尼元件的应力、应 变分别为变分别为1 1 、1 1和和2 2 、 、2 2， ，组 组 合模型的总应力为合模型的总应力为和和 。 弹簧弹簧: : EE 11 ttd d d d 2 2 由由( (a):a): 阻尼元件阻尼元件: : 则则 1 1+2 2， (a) (a) 1 1 = =2 2 (b) (b) 开尔文开尔文模型本构方程模型本构方程 t E d d (c)(c) (d)(d) 开尔文模型本构方程： A A、蠕变曲线、蠕变曲线：当：当保持不变，保持不变， 即即 0 0常数，代入上式得：常数，代入上式得： 通解为

25、：通解为： t E Ae E 0 初始条件：初始条件：加载瞬间，粘性元件不加载瞬间，粘性元件不 变形，即变形，即 00时，时， t 得：得： )1( 0 t E e E 蠕变方程蠕变方程： t E d d t E d d 0 E A 0 ( (c)c) 1 2 2 1 ( (e)e) )1( 0 t E e E 可见：可见：当当t=0t=0时时, , =0=0，当当t t 时，时， 0 00 0/E ,/E ,即弹性变形即弹性变形 趋于常数趋于常数 ( (e)e) 蠕变方程 1 2 2 1 凯尔文模型能模拟稳定蠕凯尔文模型能模拟稳定蠕 变，不能模拟瞬时弹性变形。变，不能模拟瞬时弹性变形。 若在

26、若在t tt t1 1 时卸载，时卸载，0 0， 由本构方程：由本构方程： 0 d d t E B、卸载曲线方程 t E d d 得：得： 通解为：通解为： t E Ae 1 2 2 1 初始条件：初始条件： 11t tt ， 得卸载曲线：得卸载曲线： 1 1 t E t eA 当当t t时，时，0,0, 即卸载后，变形慢慢恢复到即卸载后，变形慢慢恢复到0 0（弹性（弹性 后效）。后效）。 得得: : )( 1 1 tt E t e 1 2 2 1 弹性后效弹性后效 C C、松弛曲线：、松弛曲线：当当保持不变，保持不变， 即即0 0常数，常数，d/dtd/dt=0,=0, 代入开尔文代入开尔文

27、模型本构方程模型本构方程 0 E 可见，应变恒定，应力恒定。即无应力松弛现象可见，应变恒定，应力恒定。即无应力松弛现象 该模型反映了有弹性后效现象和稳定蠕变，无应力松弛的该模型反映了有弹性后效现象和稳定蠕变，无应力松弛的 性质。性质。开尔文开尔文模型是一种粘弹性模型。模型是一种粘弹性模型。 t E d d 1 2 2 1 （5）广义开尔文模型 一个弹簧一个弹簧 一个开尔文元件一个开尔文元件 弹簧弹簧: : 111 E 1 12 2= = (a) (a) 1 1+2 2 = = (b) (b) E E1 1, ,1 1 E E2 2, ,2 2 , ,2 2 串联串联 111 E 广义开尔文广义

28、开尔文模型本构方程模型本构方程 E E1 1, ,1 1 E E2 2, ,2 2 , ,2 2 )()( )()( 11 2 112 EE E E 开尔文开尔文 体体: : 222 E 即即: : 2 1 2 1 )1 (E E E E 整理整理: : 当当保持不变，即保持不变，即 0 0常数，常数， 代入本构方程代入本构方程 )1 ( 2 2 0 1 0 t E e EE 蠕变方程蠕变方程： 1 0 0 E E E1 1, ,1 1 E E2 2, ,2 2 , ,2 2 A A、蠕变曲线：、蠕变曲线： 初始条件：初始条件： 解微分方程解微分方程 1 0 0 E t=0t=0 2 0 1

29、0 EE t t 蠕变范围蠕变范围： 1 0 E 2 0 1 0 EE 广义开尔文蠕变曲线广义开尔文蠕变曲线 1 0 E 1 0 E 2 0 E 若在若在t tt t1 1 时卸载，时卸载，0 0， 由本构方程：由本构方程： B、卸载曲线方程 1 0 E 1 0 E 2 0 E 通解通解 初始条件：初始条件： 特解特解 C C、松弛曲线：、松弛曲线：当当保持不变，保持不变， 即即0 0常数，常数，d/dtd/dt=0,=0, 代入代入本构方程本构方程 0 21 2 21 21 )( 21 1 t EE e EE E EE EE （6）宾汉姆(Bingham)模型 一个弹簧一个弹簧 一个理想粘塑

30、性元件一个理想粘塑性元件 串联串联 EE 11 串联串联 21, , s 串联串联 22, , 1 ,E 弹簧：弹簧： 理想粘塑性元件：理想粘塑性元件： s s s : 0: 1 21 本构方程本构方程 21 s s s E EE : ,: 1 当当保持不变，即保持不变，即 0 0常数常数 A A、蠕变曲线：、蠕变曲线： s s s : : 1 1 变只有弹簧有变形，无蠕 E t s00 蠕变方程蠕变方程： 解微分方程解微分方程 E 0 0 初始条件：初始条件： 微分方程微分方程 B B、松弛方程：、松弛方程： 当当保持不变保持不变 即即0 0常数常数 d/dtd/dt=0=0 0: : 1

31、01 s s s E E 无松弛常数， 本构方程本构方程 s s s E EE : ,: 1 0 s E t E ss e )( 0 松弛方程松弛方程： 解微分方程解微分方程 0 初始条件：初始条件： 微分方程微分方程 松弛范围：松弛范围： s 0 （7）伯格斯（Burgers）模型 串联串联 马克斯威尔模型马克斯威尔模型 开尔文模型开尔文模型 串联串联 E E1 1 E E2 2 开尔文开尔文 体体: : 1111 E 马克斯威尔模型本构方程马克斯威尔模型本构方程： 2 2 2 E 21 21 111121 E )()( 21 22 11 E E 1 21 2 21 21 1 1 2 2 1 2 )( EE E EEEEE 数学变换数学变换 本构方程本构方程 1 21 2 21 21 1 1 2 2 1 2 )( EE E EEEEE 本构方程本构方程 当当保持不变，即保持不变，即 0 0常数常数 A A、蠕变方程：、蠕变方程： 2 0 0 E 初始条件：初始条件： 0 21 0 ) 11 ( )1 ( 1 1 1 0