第四章 复频域分析

1、信号与系统分析（第2版）电子教案 1 电子教案目录 信号与系统分析（第2版）电子教案 2 一、信号变换域分析的必要性一、信号变换域分析的必要性 对系统的分析可改在变换域进行，变换域分析的一个好对系统的分析可改在变换域进行，变换域分析的一个好 处是处是能从一种新的角度认识信号与系统能从一种新的角度认识信号与系统，信号与系统的某些，信号与系统的某些 特征在变换域分析会更加方便和明显特征在变换域分析会更加方便和明显. 二、信号可以有多种不同的表示二、信号可以有多种不同的表示 从数学角度看，通过在函数的完备集中展开信号可以实从数学角度看，通过在函数的完备集中展开信号可以实 现信号的无数种表示现信号的无

2、数种表示.取哪种表示来用，是要看用哪种表示可取哪种表示来用，是要看用哪种表示可 以更好的表示信号的特征，可以组成分析一般问题的基本信以更好的表示信号的特征，可以组成分析一般问题的基本信 号单元，这样的基本单元应该满足以下要求：号单元，这样的基本单元应该满足以下要求： 1、利用这种基本信号单元能够组成相当广泛的一类信号、利用这种基本信号单元能够组成相当广泛的一类信号 2、LTI系统对基本信号单元的响应应该容易求得，且响应具系统对基本信号单元的响应应该容易求得，且响应具 有尽可能简单的形式有尽可能简单的形式. 信号与系统分析（第2版）电子教案 3 三、本书用到的信号的变换域三、本书用到的信号的变换

3、域 连续信号连续信号 离散信号离散信号 自变量自变量 基本信号单元基本信号单元 变换名称变换名称 复频域复频域 频域频域j tj e js st e拉氏变换拉氏变换 傅氏变换傅氏变换 复频域复频域 频域频域 j e j e j erz n zz变换变换 傅里叶变换傅里叶变换 信号与系统分析（第2版）电子教案 4 四、拉氏变换在系统分析中的优势四、拉氏变换在系统分析中的优势 1、将系统在时域内微分方程转换为复频域的代数、将系统在时域内微分方程转换为复频域的代数 方程，降低求解难度方程，降低求解难度. 2、将系统在时域内的卷积计算转换为复频域的乘、将系统在时域内的卷积计算转换为复频域的乘 法计算，

4、减少计算量法计算，减少计算量. 3、在拉氏变换的基础上建立的运算法，为线性时、在拉氏变换的基础上建立的运算法，为线性时 不变电路的分析计算提供了很大方便不变电路的分析计算提供了很大方便. 4、利用在复频域中引出的系统函数，可以方便地、利用在复频域中引出的系统函数，可以方便地 分析系统的各种特性分析系统的各种特性. 信号与系统分析（第2版）电子教案 5 信号与系统分析（第2版）电子教案 6 1. 拉普拉斯变换的定义4.1 拉普拉斯变换 jjjj 11 ( )eded( )eded 22 ttt xx tt d)()()(*)()(txttxtx dde 2 1 )( )(j de 2 1 )(

5、j t t x t ttxX t de )()( j d)e( 2 1 )( j t Xtx 映射：傅里叶变换与傅里叶反变换是一对一的变换对。映射：傅里叶变换与傅里叶反变换是一对一的变换对。 条件：信号条件：信号 必须满足绝对可积条件必须满足绝对可积条件)(tx ttxd)( )(tx可以分解为可以分解为 的线性组合的线性组合. tj e 回顾回顾3.3节傅里叶变换节傅里叶变换 信号与系统分析（第2版）电子教案 7 d)e( d)e(de)e( )j( j ttxttxttx stttt js令令复频率复频率 ttxsX st de )()( d)e( 2 1 e )( j tt sXtx d

6、)e( 2 1 )( )j(t sXtx ssX std e )( j2 1 j j sd j 1 d 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义 d)e( 2 1 st sX 1. 拉普拉斯变换的定义4.1 拉普拉斯变换 信号与系统分析（第2版）电子教案 8 拉氏变换对拉氏变换对： ttxsX st de )()( j j 1 ( )( )e d 2 j st x tX ss 说明说明： sXLtx 1 原函数原函数,实际存在实际存在,实函数实函数, 可以感知和测量可以感知和测量. txLsX 象函数象函数,自然界中不存在自然界中不存在,复函数复函数,无法直接测量；无法直接测量； t e 关键在于

7、衰减因子关键在于衰减因子 的引入，适合于更多信号的引入，适合于更多信号. s 表示振荡幅度的增长速率或衰减速率表示振荡幅度的增长速率或衰减速率. 只能描述振荡频率，而只能描述振荡频率，而不仅能给出重复频率，还可以不仅能给出重复频率，还可以 域的目的：域的目的：s tx 把把变到变到 方便计算方便计算微分方程变为代数方程，卷积积分变成相乘微分方程变为代数方程，卷积积分变成相乘. 1. 拉普拉斯变换的定义4.1 拉普拉斯变换 信号与系统分析（第2版）电子教案 9 单边拉氏变换单边拉氏变换 信号的单边拉氏变换信号的单边拉氏变换 0 0)(0 )e()e()(tdtxtdtxsX st txt st

8、时， 0 )e()e()()(tdtxtdttxsX stst 因果信号双边拉氏变换因果信号双边拉氏变换 1. 拉普拉斯变换的定义4.1 拉普拉斯变换 结论：结论： 的单边拉氏变换即为的单边拉氏变换即为 （因果信（因果信 号）的双边拉氏变换，单边拉氏变换的反变换号）的双边拉氏变换，单边拉氏变换的反变换 应是因果信号，即应是因果信号，即 . )(tx)()(ttx )()(ttx )(tx 信号与系统分析（第2版）电子教案 10 单边拉氏变换的工程背景单边拉氏变换的工程背景 本书仅研究线性时不变的因果系统，故仅讨论单边拉本书仅研究线性时不变的因果系统，故仅讨论单边拉 氏变换氏变换. 即：即： 0

9、 j 1 j ( )ed 1 ( )( )e d 2j -st st XsLxtxtt xtLXsXst 拉氏正变换拉氏正变换 拉氏反变换拉氏反变换 在系统分析中，一般认为信号在在系统分析中，一般认为信号在0时刻加入，对于因果系统时刻加入，对于因果系统 其响应在其响应在 才出现，实际响应一定也是因果信号才出现，实际响应一定也是因果信号 .0t tty tx 实际信号实际信号 都有起始时刻，一般认为起始时刻为都有起始时刻，一般认为起始时刻为0时刻，时刻， 故把实际信号看成因果信号是符合实际的故把实际信号看成因果信号是符合实际的. 0 积分下限取积分下限取 . tx 00t考虑到信号考虑到信号在在

10、时可能出现冲激，故采用时可能出现冲激，故采用 1. 拉普拉斯变换的定义4.1 拉普拉斯变换 信号与系统分析（第2版）电子教案 11 信号与系统分析（第2版）电子教案 12 （1）系统的时域特征）系统的时域特征 1. 系统的特征4.6 系统函数 )(t )(th 以单位冲激信号以单位冲激信号 作为激励时，系统产生的零状作为激励时，系统产生的零状 态响应，记作态响应，记作 . 任意时域信号激励时系统的响应任意时域信号激励时系统的响应 信号与系统分析（第2版）电子教案 13 （2）系统的复频域特征）系统的复频域特征系统函数系统函数 )(tx)(sX L )(sY)(ty L )( )( )( sX

11、sY sH )(th L 1. 系统的特征4.6 系统函数 信号与系统分析（第2版）电子教案 14 系统冲激响应系统冲激响应h(t)的拉式变换的拉式变换H(s)，称为，称为系统函数或传递函数系统函数或传递函数。 系统函数也是系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换系统函数也是系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换 之比。之比。 )( )( )( sX sY sH X(s) H(s) Y(s) txthtysXsHsY 系统函数与系统的结构和元件的参数有关，与输系统函数与系统的结构和元件的参数有关，与输 入信号的大小无关入信号的大小无关. 2. 系统函数的定义4.6 系统函数 信号与系统分析（

12、第2版）电子教案 15 描述描述LTI连续时间系统的三种数学形式连续时间系统的三种数学形式 时域输入输出关系微分方程时域输入输出关系微分方程 经典法经典法 th时域的冲激响应时域的冲激响应 卷积法卷积法 s sH域的系统函数域的系统函数 拉氏变换拉氏变换 2. 系统函数的定义4.6 系统函数 信号与系统分析（第2版）电子教案 16 由描述系统输入输出关系的微分方程由描述系统输入输出关系的微分方程(零状态零状态)产生产生 )( d )(d d )(d )( d )(d d )(d 1 1 10 1 1 1 txb t tx b t tx btya t ty a t ty m m m- m m n

13、 n n- n n n nn m mm asas bsbsb sX sY sH 1 1 1 10 )( )( )( )()()()( 1 10 1 1 sXbsbsbsYasas m mm n nn ( )( )( )( )( )( )y tx th tY sX s H s ( ) ( )H sL h t )( )( , )( )( , )( )( , )( )( 1 2 1 2 1 2 1 2 sU sI sI sI sI sU sU sU （2）系统函数的来源：）系统函数的来源： 由由s域电路模型产生（初始条件为域电路模型产生（初始条件为0） 由时域卷积产生由时域卷积产生 由系统冲激响应产

14、生由系统冲激响应产生 2. 系统函数的定义4.6 系统函数 信号与系统分析（第2版）电子教案 17 信号与系统分析（第2版）电子教案 18 （1）频率响应定义）频率响应定义：系统在正弦信号激励之下稳态响应随信 号频率的变化情况。包括幅度随频率的响应以及相位随频 率的响应两个方面。 当正弦信号角频率 变化时，由系统函数可得： )(j j e)(j)()(j |H|sHH s )(jH 表明了系统对正弦信号作用的效果。 2. 频率响应4.8 系统的频率响应 信号与系统分析（第2版）电子教案 19 幅频特性幅频特性 | )j (|H反映了系统对输入信号的放大能力，反映了系统对输入信号的放大能力， 称

15、为称为幅度函数幅度函数，它随角频率，它随角频率 的变化曲线的变化曲线 称为系统的幅频响应。称为系统的幅频响应。 相频特性相频特性)j (arg)(H 反映了系统所引入的相位，称为反映了系统所引入的相位，称为 相位函数相位函数，它随，它随 变化的曲线称变化的曲线称 为系统的相频响应。为系统的相频响应。 |()| |()| Y j X j yx 正弦信号加在不同的系统（正弦信号加在不同的系统（H(j)不同），其响应也不同；不同），其响应也不同； 不同频率的正弦信号加在相同的系统其响应也不同。不同频率的正弦信号加在相同的系统其响应也不同。 关键在于关键在于H(j)随随的变化规律，即频率响应特性。的变

16、化规律，即频率响应特性。 2. 频率响应4.8 系统的频率响应 信号与系统分析（第2版）电子教案 20 信号与系统分析（第2版）电子教案 21 0 j C e| ( ) 0 t H 其余 （1）理想滤波器的频率响应）理想滤波器的频率响应 O )(H 1 C C O C C 0 t )( O t0 t C C )(th )(t Ot 特点特点(1)只有通带和阻带只有通带和阻带; (2)通带不衰减，相位线性变化通带不衰减，相位线性变化,阻带恒为零阻带恒为零 (3)物理不可实现（非因果）物理不可实现（非因果） 1. 滤波器的频率响应4.10 模拟滤波器简介 信号与系统分析（第2版）电子教案 22 （

17、2）实际滤波器的频率响应实际滤波器的频率响应 |H(j)| ps0 p 1 s ps0 |H(j)| p1p2s1s20 |H(j)| p1p2s1s20 |H(j)| 1. 滤波器的频率响应4.10 模拟滤波器简介 信号与系统分析（第2版）电子教案 23 概念：对于低通滤波器概念：对于低通滤波器 （4）分贝表示法 |H(j)|/dB ps0 p 0 s -100 pp 20lg(1)A ss 20lgA p/20 p 1 10 A s/20 s 10 A （1）通带：(0, p)；阻带：(s,)；过渡带： (p, s) p称为通带（截止）频率， s称为阻带（截止）频率 1. 滤波器的频率响应

18、4.10 模拟滤波器简介 （3）阻带衰减As： 的最大值与阻带内最大值之差| )j (|H （2）通带波纹Ap： 的最大值与通带内最小值之差| )j (|H 信号与系统分析（第2版）电子教案 24 实际滤波器特点：实际滤波器特点： 0p1p2 可以视具体情况有所侧重：声音信号对幅频特性要求 较高，视频信号对相频特性要求较高。 （1）有过渡带，通带幅频允许有衰减，阻带幅频允许非零。 带通滤波器的幅频特性呈几何对称时，定义中心频率 （2）不能同时满足幅频和相频要求，因为系统函数的实部和 虚部具有依从关系。 1. 滤波器的频率响应4.10 模拟滤波器简介 信号与系统分析（第2版）电子教案 25 （一

19、）逼近原则（一）逼近原则 满足性能指标要求（够用即可，不必追求理想）。 满足因果性，物理可实现，即要求H(s)是有理多项式。 满足稳定性，即要求H(s)的极点均在s平面左半部。 按照给定的频率特性指标寻求一种物理可实现的系统函数。 2. 确定系统函数的一般方法4.10 模拟滤波器简介 信号与系统分析（第2版）电子教案 26 （二）逼近方法（二）逼近方法(幅频特性幅频特性) 按照性能指标设计频率特性模平方按照性能指标设计频率特性模平方 2 |()|H j a. 原因: 由于 为复数，即：)(j)( j HsH s )(jImj)(jRee| )(j|)(j )(j HHHH j 2 )()()j

20、()(j| )(j| s sHsHHHH则有 因此： 必为 的实系数实系数有理函数，避免了直接求 时遇到开根号问题。 2 | )j (|H 2 |()|H j b. 给定 、 、 、 ，设计出最好的逼近函数（注意：逼近理 想）。 p s p A s A 2. 确定系统函数的一般方法4.10 模拟滤波器简介 幅度函数是偶函数，相位函数是奇函数 信号与系统分析（第2版）电子教案 27 巴特沃思（巴特沃思（Butterworth）逼近逼近 该逼近函数在通带和阻带内 具有单调衰减的幅频特性。 c. 典型的归一化低通逼近函数（ 、Ap=3db，不同逼近函数 会有不同的 和 ）。 1 p s s A 切比

21、雪夫（切比雪夫（Chebyshev）逼近逼近 其幅频特性在通带内等波纹 变化，在阻带内单调衰减。在相同阶数条件下，切比雪夫滤波 器比巴特沃思滤波器有更好的衰减特性。 2. 确定系统函数的一般方法4.10 模拟滤波器简介 信号与系统分析（第2版）电子教案 28 反切比雪夫逼近反切比雪夫逼近 其幅频特性在通带内单调衰减，在阻带内 等波纹变化。 贝塞尔（贝塞尔（Bessel）逼近逼近 它是用泰勒级数逼近s=0附近的线性 相位特性。 椭圆逼近椭圆逼近（也称考尔（Cauer）逼近或双切比雪夫逼近） 其 幅频特性在通带和阻带内均按等波纹变化。 2. 确定系统函数的一般方法4.10 模拟滤波器简介 信号与系

22、统分析（第2版）电子教案 29 （1）有源滤波器）有源滤波器 模拟滤波器的实现电路模拟滤波器的实现电路 无源滤波器: 无源元件 R、C、L 有源滤波器：R、C、有源器件（运算放大器、晶体管等） 基本模块电路基本模块电路 级联 由基本模块电路的不同连接组成：串联 并联 一阶滤波器、二阶滤波器 高阶电路高阶电路 3. 有源滤波器4.10 模拟滤波器简介 信号与系统分析（第2版）电子教案 30 有源滤波器的特点有源滤波器的特点 a. 用有源元件代替大而昂贵的电感，利于集成； b. 有源元件便宜且可起放大信号作用； c. 利用有源运算电路使设计过程更简单； d. 能实现多种类型的系统函数； e. 集成

23、电路有源滤波器的加工工序是自动化，增加了电路 的可靠性； f. 产量大，成本低，质量高，体积小、寄生效应小。 3. 有源滤波器4.10 模拟滤波器简介 信号与系统分析（第2版）电子教案 31 （2）二阶滤波器的频率特性）二阶滤波器的频率特性 无源实现典型举例无源实现典型举例RLCRLC串联电路的滤波作用串联电路的滤波作用 1( ) U s 2( ) Us sL 1 sC R 2 2 1 11 ( ) ( ) 11 ( ) U s sCLC H s R U s R sLss sCLLC 1( ) U s 2( ) U ssL 1 sC R 2 2 2 1 ( ) ( ) 11 ( ) U ssL

24、s H s R U s R sLss sCLLC 1( ) U s 2( ) Us sL 1 sC R 2 2 1 ( ) ( ) 11 ( ) R s U sR L H s R U s R sLss sCLLC 1( ) Us 2( ) Us sL 1 sC R 2 2 2 1 11 ( ) ( ) 11 ( ) sLs U s sCLC H s R U s RsLss sCLLC 3. 有源滤波器4.10 模拟滤波器简介 信号与系统分析（第2版）电子教案 32 双二次型函数双二次型函数 一般形式： 2 1012 2 1012 ()() ( ) ()() sbsbszsz H sKK sa

25、saspsp 当 ， 时， 21zz zzj 21pp ppj 令 ， ， 22 2 Q 则 22 p22 p ( ) z z z p ss Q H sK ss Q 二阶系统函数表示二阶系统函数表示 低通滤波器系统函数 2 p p 2 )( s Q s b sH 3. 有源滤波器4.10 模拟滤波器简介 无阻尼固有无阻尼固有 频率或极点频率或极点 频率频率 信号与系统分析（第2版）电子教案 33 带通滤波器系统函数 2 p p 2 )( s Q s bs sH 高通滤波器系统函数 2 p p 2 2 )( s Q s bs sH 陷波滤波器系统函数 2 p p 2 2 2 0 )( s Q s

26、 bsb sH 全通滤波器系统函数 2 p p 2 2 p p 2 )( s Q s s Q s bsH 中心中心 频率频率 品品 质质 因因 数数 Q Q的大小直接的大小直接 影响幅频曲线影响幅频曲线 的尖锐程度的尖锐程度 3. 有源滤波器4.10 模拟滤波器简介 信号与系统分析（第2版）电子教案 34 二阶滤波器的幅频特性二阶滤波器的幅频特性 Q分别取 、2、10。 2/1其中 均归一化为1rad/s；p 3. 有源滤波器4.10 模拟滤波器简介 信号与系统分析（第2版）电子教案 35 （3）单运放有源）单运放有源RC滤波器实现滤波器实现 Sallen R. P.和和Key E. L.低通

27、滤波器电路低通滤波器电路 + - + - vin(t)vout(t) R1R2 C1 C2 K + - + Ra Rb vout1(t) vin1(t) 1234 图中三角符号表示电压放大器，可用右图电路实现。 b a 1 R R K 电压放大倍数： 此电路的系统函数为： 3. 有源滤波器4.10 模拟滤波器简介 )( )( )( 1 4 sV sV sH 212112221 2 2121 11 )1 ( 111 CCRR s CR K CRR s CCRR K 信号与系统分析（第2版）电子教案 36 比较低通滤波器的一般表达式，得： 2121 p 1 CCRR 21121 2121 1222

28、1 2121 )1 ()( 1 )1 ( 111 1 CRKCRR CCRR CR K CRR CCRR Q 电路参数选取方法电路参数选取方法 在 和Q给定时，用以上两式确定R1、R2、C1、C2 、K ，尚 有三个自由参数，可按以下两种方法确定： p （1）取 ，指定 、C1和C2的值，求解 和K ； 12 RR 1 R （2）指定K、C1和C2的值，注意K必须大于1，求解 和 。 1 R 2 R 3. 有源滤波器4.10 模拟滤波器简介 信号与系统分析（第2版）电子教案 37 （4）多运放有源）多运放有源RC滤波器滤波器 用多个运算放大器实现的有源滤波器比单运算放大器电路灵 敏度低、品质因

29、数高、设计灵活、调试方便。 状态变量方法设计二阶滤波器状态变量方法设计二阶滤波器 a. 系统函数的框图表示系统函数的框图表示 设二阶系统函数为 2 2 1 1 2 2 1 10 21 2 21 2 0 in out 1 )( )( )( sasa sbsbb asas bsbsb sV sV sH 输出 为)( out sV)()()( out 2 2 1 1in 2 2 1 10out sVsasasVsbsbbsV -s-1 Vin(s)Vout(s) -b1 b2 b0 -a2 a1 -s-1 -s-1 -s-1 积分单元选取反相 形式，主要是考虑采用 运算放大器的反相积分 电路要比同相电路简单 -s-1 -s-1 -s-1 -s-1 Vin(s)Vout(s) -a2 a1 b0 -b1 b2 -s-1 -s-1 Vout(s)Vin(s) -a2 a1-b1 b0 b2 3. 有源滤波器4.10 模拟滤波器简介 交换级交换级 联顺序联顺序 合并积合并积 分单元分单元 信号与系统分析（第2版）电子教案 38 b.b.实现带通、低通滤波器的