概率随机变量的数字特征习题课

1、一、重点与难点一、重点与难点 二、主要内容二、主要内容 三、典型例题三、典型例题 第四章随机变量的数字特征第四章随机变量的数字特征 习习 题题 课课 一、重点与难点一、重点与难点 1.重点重点 数学期望的性质和计算数学期望的性质和计算 2.难点难点 数字特征的计算数字特征的计算 方差的性质和计算方差的性质和计算 相关系数的性质和计算相关系数的性质和计算 二、主要内容二、主要内容 数学期望数学期望 方方 差差 离散型离散型 连续型连续型 性性 质质 协方差与相关系数协方差与相关系数 二维随机变量的数学期望二维随机变量的数学期望 定定 义义 计计 算算 性性 质质 随机变量函数的随机变量函数的 数

2、学期望数学期望 定定 义义 协方差协方差 的性质的性质 相关系数相关系数 定理定理 离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望 的分布律为的分布律为设离散型随机变量设离散型随机变量 X ., 2 , 1, kpxXP kk , 1 绝对收敛绝对收敛若级数若级数 k kk px , 1 数学期望数学期望的的为随机变量为随机变量则称级数则称级数Xpx k kk , )(XE记为记为.)( 1 k kk pxXE即即 连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望 , )( , , d)( XE X xxxf 记为记为 的数学期望的数学期望随机变量随机变量则称此积分值为连续型则称此积分值为连

3、续型 绝对收敛绝对收敛若积分若积分 .d )()( xxxfXE 即即 ),( , xfX它它的的概概率率密密度度为为是是连连续续型型随随机机变变量量 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望 离散型随机变量函数的数学期望为离散型随机变量函数的数学期望为 ), 2, 1(, )( kpxXPXgY kk 且且若若 则有则有 .)()( 1 k kk pxgXgE .d )()()(xxfxgXgE ),( , xfX它它的的分分布布密密度度为为是是连连续续型型的的若若 则有则有 数学期望的性质数学期望的性质 1. 设设C是常数是常数, 则有则有.)(CCE 2. 设设X是一个随机变量是一个

4、随机变量, C是常数是常数, 则有则有 ).()(XCECXE 3. 设设X, Y 是两个随机变量是两个随机变量, 则有则有 ).()()(YEXEYXE 4. 设设X, Y 是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量, 则有则有 ).()()(YEXEXYE 二维随机变量的数学期望二维随机变量的数学期望 ,dd),( , )( yxyxxf px XE ij iji 同理可得同理可得 则其期望值定义为则其期望值定义为存在存在 都都若若为二维随机变量为二维随机变量设设 , )( , )( , ),( YEXEYX ; ),( ij pYX的的概概率率分分布布为为 . ),( ),(yxfYX的密

5、度为的密度为 ,dd),( , )( yxyxyf py YE ij iji ; ),( ij pYX的的概概率率分分布布为为 . ),( ),(yxfYX的密度为的密度为 , ),( , , . 1是是二二元元函函数数为为离离散散型型随随机机变变量量若若yxgYX ,),(),( i ij j ji pyxgYXgE . ),( ij pYX的的联联合合概概率率分分布布为为当当 ,dd),(),(),(yxyxfyxgYXgE 则则 则则 , ),( , , . 2是是二二元元函函数数为为连连续续型型随随机机变变量量若若yxgYX . ),( ),( yxfYX的的联联合合分分布布密密度度为

6、为当当 方差的定义方差的定义 . )( , )( , )()(Var)( ),(Var )( , )( , )( , 2 2 2 XXD XEXEXXD XXD XXEXE XEXEX 记为记为为标准差或均方差为标准差或均方差称称 即即 或或 记作记作的方差的方差是是则称则称 存在存在若若是一个随机变量是一个随机变量设设 方差的计算方差的计算 .)()()( 22 XEXEXD 离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差 ,)()( 1 2 k k k pXExXD 连续型随机变量的方差连续型随机变量的方差 ,d)()()( 2 xxfXExXD . , 2 , 1 , 的分布律的分布律是是其中

7、其中XkpxXP kk . )( 为概率密度为概率密度其中其中xf 方差的性质方差的性质 1. 设设 C 是常数是常数, 则有则有. 0)( CD 2. 设设 X 是一个随机变量是一个随机变量, C 是常数是常数, 则有则有 ).()( 2 XDCCXD ).()()(YDXDYXD , )(),( , , . 3则则存在存在相互独立相互独立设设YDXDYX 即即取常数取常数以概率以概率的充要条件是的充要条件是,10)(. 4CXXD . 1 CXP 协方差与相关系数的定义协方差与相关系数的定义 ).()(),(CovYEYXEXEYX , )()( 的的协协方方差差与与 称称为为随随机机变变

8、量量 YX YEYXEXE ),(Cov YX记为记为 . )()( ),(Cov 关系数关系数 的相的相与与为随机变量为随机变量称称YX YDXD YX XY 协方差的性质协方差的性质 ).,(Cov),(Cov. 1XYYX ) ,(),(Cov),(Cov. 2为常数为常数baYXabbYaX ).,(Cov),(Cov),(Cov. 3 2121 YXYXYXX 相关系数定理相关系数定理 . 1)1( XY . 1 ,:1)2( bXaYP ba XY 使使存存在在常常数数的的充充要要条条件件是是 三、典型例题三、典型例题 解解 ).( )( , 2 , 1,)1( , 1 XDXE

9、kppkXP X k 和和求求 它的分布律为它的分布律为服从几何分布服从几何分布设设 1 1 )( k k pqkXE )1 (pq 其中其中 1 1 k k qkp 2 )1(q p , 1 p 例例1 1 122 )( k k pqkXE 1 12 k k qkp 3 )1( )1( q qp , 1 2 p q 22 )()()(XEXEXD 22 11 pp q . 2 p q 解解 从数字从数字0, 1, 2, , n中任取两个不同的数字中任取两个不同的数字, 求这两个数字之差的绝对值的数学期望求这两个数字之差的绝对值的数学期望. , 的绝对值的绝对值为所选的两个数字之差为所选的两个

10、数字之差设设 X , 3 , 2 , 1 nX的所有可能取值为的所有可能取值为则则 , 2 1 1 n nXP, 2 1 )1(2 n nXP 一般的一般的 ., 2, 1, 2 1 )1(nk n knkXP n k kXkPXE 1 )( n k n knk 1 2 1 )1(. 3 2 n 例例2 解解 . ,)( , ! 0 的值的值与与求求已知已知为为 的概率的概率取非负整数值取非负整数值设随机变量设随机变量 BAaXE n AB p nX n n , 的分布列的分布列是是因为因为Xpn 0 n nXP 0 ! n n n B A, 1 B Ae, B eA 得得 0 ! )( n

11、n n B nAXE 1 )!1( n n n BA ,aABe B .,aBeA a 因此因此 例例3 某银行开展定期定额有奖储蓄某银行开展定期定额有奖储蓄, 定期一年定期一年, 定额定额60元元, 按规定按规定10000个户头中个户头中, 头等奖一个头等奖一个, 奖奖 金金500元元; 二等奖二等奖10个个, 各奖各奖100元元; 三等奖三等奖100个个, 各奖各奖10元元; 四等奖四等奖1000个个, 各奖各奖2元元. 某人买了五个某人买了五个 户头户头, 他期望得奖多少元他期望得奖多少元? 解解因为任何一个户头获奖都是等可能的因为任何一个户头获奖都是等可能的, . 的期望的期望金数金数

12、先计算一个户头的得奖先计算一个户头的得奖X 4234 10 8889 10 1 10 1 10 1 10 1 0210100500 p X 分布列为分布列为 例例4 的数学期望为的数学期望为X 2 10 1 10 10 1 100 10 1 500 10 1 )( 234 XE ),( 45. 0元元 买五个户头的期望得奖金额为买五个户头的期望得奖金额为 )(5)5(XEXE ).( 25. 245. 05元元 ).( )( )0( ., 0 , 11,)1( )( 2 XDXE x xc xf X 和和求求 其他其他 的密度函数为的密度函数为设随机变量设随机变量 解解, )( 是偶函数是偶函

13、数因为因为xf xxxfXEd)()( 所以所以 1 1 2 d)1(xxcx , 0 22 )()()(XEXEXD )( 2 XE 例例5 1 1 22 1 1 2 d)1( )1(2 1 d)1( )1(2 1 xxcxxxc 1 1 22 d)1(xxcx 1 1 12 1 1 12 d)1( )1(2 )1( )1(2 xx c xx c 1d)( xxxf)(d)( 2 XDxxfx ),( )1(2 1 )1(2 1 )( XDXD 于是于是 . 32 1 )( XD故故 ).1 ,min( , )1( 1 )( 2 XE x xfX 求求 的概率密度的概率密度设随机变量设随机变

14、量 解解)1 ,min( XE xxfxd)()1,min( 11 d)(d)( xx xxfxxfx 1 2 1 1 2 d 1 1 1 d 1 1 x x x x x x 1 2 1 0 2 d 1 1 2 d 1 2 x x x x x . 2 1 2ln 1 例例6 解解 ).( )( ),cos( , 0 , 2 0, 2 0),sin( 2 1 ),( ),( ZDZEYXZ yxyx yxf YX 和和求求且且 其他其他 函数为函数为 的联合密度的联合密度设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量 yxyxfyxZEdd),()cos()( yxyxyxdd)sin()cos( 2

15、 1 2 0 2 0 2 0 d)2cos(2cos 2 1 xxx, 0 例例7 )()( 2 ZEZD yxyxyxdd)sin()(cos 2 1 2 0 2 0 2 2 0 33 d 2 coscos 6 1 xxx . 9 2 解解 . ),( , 0 , 20, 10), 2 1 ( 7 6 ),( ),( 2 数数的协方差矩阵及相关系的协方差矩阵及相关系求求 其他其他 函数为函数为 的联合密度的联合密度设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量 YX yxxyx yxf YX yxyxfxXEdd),()( xyxyxxdd ) 2 1 ( 7 6 1 0 2 0 2 xxxd 7 6 7 12 1 0 23 , 7 5 例例8 yxxyxxXEdd ) 2 1 ( 7 6 )( 1 0 2 0 222 , 70 39 , 490 23 7 5 70 39 )( 2 XD故故 xyxyxyYEdd ) 2 1 ( 7 6 )( 1 0 2 0 2 因为因为, 7 8 xyxyxyYEdd ) 2 1 ( 7 6 )( 1 0 2 0