双曲线的定义及其标准方程

1、双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程 平陆第二高级中学 师会丽 1. 1. 椭圆的定义椭圆的定义 和和 等于常数等于常数 2a ( 2a|F1F2|0) 的点的轨迹的点的轨迹. 平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的的距离的 1 F 2 F 0, c 0, cX Y O yxM, 2. 引入问题：引入问题： 差差 等于常数等于常数 的点的轨迹是什么呢？的点的轨迹是什么呢？ 平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的的距离的 复习复习 |MF1|+|MF2|=2a( 2a|F1F2|0) 两个定点两个定点F1、F2双曲线的双曲线的焦点焦点; |F1F2|=2c 焦距焦距. （1）2a

2、0 ； 双曲线定义双曲线定义 注意：注意： | |MF1| - |MF2| | = 2a 1. 建系建系: :以以F1,F2所在的直线为所在的直线为x轴，线轴，线 段段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，的中点为原点建立直角坐标系， 2.设元设元: 则则F1(-c,0),F2(c,0) 3.方程方程: 2222 ()()2x cyx cya F1 M x O y 12 2MFMFa 设双曲线上任意一点设双曲线上任意一点M（x,y), F2 求曲线方程的步骤：求曲线方程的步骤： 2222 ()()2x cyx cya 22 2222 ()2()x cyax cy 222 ()cxaaxcy 4

3、4. .化简化简. . 令：令：c2-a2=b2 2 2222222 ()() yc a x aa c a 22 22 1 xy ab 即：即： （a0，b0） 2222222 ()44()()xcyaax cyx cy 移项平方得移项平方得: 整理得：整理得：，平方得：，平方得： 42222222222 22aa cxc xa xa cxa ca y 整理得：整理得： 2 22222 y b x aab 1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 b x a y F2 2F1 1 M x O y O M F2 F1 x y )00(ba， 若建系时若建系时,焦点在焦点在y轴上呢轴

4、上呢? 思考：思考： 如何判断双曲线如何判断双曲线 焦点的位置？焦点的位置？ 22 22 1 xy ab 22 22 1 yx ab (0,0)ab 222 cab F2 2F1 1 M x O y O M F2 F1 x y 椭圆要看分母，焦点跟着大的走椭圆要看分母，焦点跟着大的走 双曲线看正负，焦点跟着正的走双曲线看正负，焦点跟着正的走 判断焦点的位置方法：判断焦点的位置方法： 请判断下列方程哪些表示双曲线？并说出焦点请判断下列方程哪些表示双曲线？并说出焦点 位置和的位置和的a,b,c. 22 (1)1 32 xy 22 (3)169144xy 22 (2)1 44 xy 22 22 (5

5、)1(0) 1 xy m mm 22 (4)431xy 22 1 91 6 xy )0b, 0a( 1 b y a x 2 2 2 2 )0b, 0a( 1 b x a y 2 2 2 2 4) 3() 3() 1 ( 2222 yxyx 5) 3() 3() 2( 2222 yxyx 6)3()3()3( 2222 yxyx 方程表示的曲线是双曲线方程表示的曲线是双曲线 方程表示的曲线是双曲线的右支方程表示的曲线是双曲线的右支 方程表示的曲线是方程表示的曲线是x轴上分别以轴上分别以F1和和F2为端点，为端点， 指向指向x轴的负半轴和正半轴的两条射线。轴的负半轴和正半轴的两条射线。 练习巩固练

6、习巩固: : 典例讲解典例讲解 求适合下列条件的双曲线标准方程求适合下列条件的双曲线标准方程 (1)a=4,b=5,焦点在焦点在y轴上。轴上。 (2)a=3,c=5 1 5 x 4 y 2 2 2 2 1 43 : 2 2 2 2 yx 方程为 课堂练习1 1 4 x 3 y 2 2 2 2 或或 例例2 2: :如果方程如果方程 表示双表示双 曲线，求曲线，求m的取值范围的取值范围. . 22 1 21 xy mm 解解: : 22 1 21 xy mm 思考：思考： 21mm 得得或或(2)(1)0m m由由 课堂练习2 求与双曲线求与双曲线 有相同焦距，双曲有相同焦距，双曲 线上一点线上一点P到到F1、F2的距离之差的绝对值为的距离之差的绝对值为4 的双曲线的标准方程。的双曲线的标准方程。 1 124 22 xy 或1 124 22 yx 1 313 22 yx 2.焦点位置的确定方法焦点位置的确定方法 1.双曲线定义及标准式方程双曲线定义及标准式方程 小结小结 222 bac | |MF1|- -|MF2| | =2a（ 2ac0， 令令a2-c2=b2(b0) ca0 ， 令令c2-a2=b2(b