理论力学II资料

1、2013级工程力学3班复习资料动力学第一章 质点动力学的基本方程 一：动力学的基本定律（牛顿三定律）1. 不受力作用的质点，将保持静止或匀速直线运动2. 作用于质点上的力的大小等于质量与加速的的乘积，方向与加速度方向相同。3. 两个物体的作用力与反作用力总是大小相同，方向相反，作用在不同物体上。 二：质点的运动微分方程 由第二定律得 而加速度是关于时间的两次导数则有 对于矢量方程在做计算时我们将其投影到坐标轴上计算 直角坐标系： 自然轴系： （只在密切面内受力） 三：关于求解1. 正确选择研究对象2. 画受力图进行受力分析3. 用运动学内容进行运动分析4. 列出适当的微分方程求解由运动分析直接

2、能计算出加速度则可直接求受力 （常微分方程的解法） （关键在于方程的建立，所以运动分析和受力分析很重要）第二章 动量与冲量质点的动量： 质点系的动量：（矢量和）由可得又已知，故可知（质点系的动量主失等于质心速度与其全部质量的乘积）冲量：作用力与作用时间的乘积，当作用力为时间的函数则第三章 动量矩质点Q的动量对点O的矩，定义为质点对于O的动量矩同力矩一样质点对点O之矩在某个轴上的投影等于对该轴的动量矩。即 质点系的动量矩：对O点的主矩等于每个质点对O点动量矩的矢量和，同样也满足动量矩的计算：1：平动：可将全部质量集中于质心，视作一个质点来计算其动量矩2：定轴转动：由推导可知 我们定义为转动惯量，

3、当连续分布时求和改为积分则：。 所以其转动惯量为 *转动惯量*（1） 回转半径：我们定义回转半径（2） 几个常见物体的转动惯量：细杆对z轴的转动惯量：均质薄圆环对中心轴的转动惯量：均质薄圆环对中心轴的转动惯量：（3） 平行轴定理:刚体对任一一轴的转动惯量等于刚体通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量加上刚体质量与两轴间距的的平方的乘积：第十章 动量，冲量，动量矩求解动力学问题 一动量定理与质心运动定理 对于单质点来说我们有牛顿第二定理可知变形可得 即（质点动量的变化等于作用于质点的力在此段时间内的冲量） 下面来看质点系，对于每一个质量微元来说，可将其视为质点则有（内力与外力）求和可得 由于所以（质

4、点系动量的增量等于作用于质点系的外力的元冲量的矢量和），也可以写成 由第八章可知动量主失等于质量乘以质心的速度故上述公式可继续变形为： （质量不变） （这就是质心运动定理） 其在坐标轴上的投影式为： *注意*此公式反应的是质心的速度，加速度与所受外力的关系，故不适用于其他点 质心运动守恒定理：如果质点系的外力主失等于零则质心做匀速直线运动；若开始时静止则质心位置保持不变。（若在某轴上的投影为零，则在某轴上也满足该式）。 二动量矩定理 a)刚体绕定轴转动的微分方程 根据质点系对z轴的动量矩定理有： 动量矩对时间的导数等于外力对轴的矩 上式可以写成： b)刚体平面运动的微分方程： 由质点系相对于质

5、心的动量矩定理推导可知：质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩（对质心成立） 即 对于刚体的平面运动我们可以选定质心为基点则刚体运动的位置可用基点的位置与刚体绕基点的转角确定，运动可分解为质心的平移和绕质心的转动两部分。 对于平动我们可得方程： 对于绕质心转动我们可得方程： 所以对于刚体平面运动我们可得三个方程： 笛卡尔坐标系： 自然轴系： 该方程组只能求解3个未知数，当未知力大于3是需补充方程（运动学关系可以得到）第十一章 动能定理功：几种常见力的功：重力的功：弹性力的功： 其中 相对于原长的形变量力偶的功：滑动摩擦的功：平面运动的功： （不一定是质心，只要

6、向某点简化就行）动能定理： 质点： 质点系：（离散的） （连续的） 柯尼希定理： （为质心速度，为各点相对质心的速度） 通过柯尼希定理我们可知a) 刚体做平动时 b) 定轴转动时 c) 平面运动 已知瞬心和质心相距d。可得 带入平面运动的动能得 而则是刚体以过瞬心垂直于平面的直线为轴的转动惯量。 故 （P为速度瞬心） 动能定理：质点系在某一段运动过程中，起点和终点的动能的改变量等于质点系全部力在这段时间所做的功。相关习题：11-16 11-17 11-19 11-20 11-23 11-25（注意转动惯量的计算）11-27 11-30 11-15（分析清楚运动学关系）12-4 12-7 12-

7、9 12-10 12-12 12-14综7 综9* 综10 综13 综15 综16 分析力学基础第十三章 达朗贝尔原理定义：作用在质点上的主动力、约束力和虚假的惯性力组成的形式上的平衡力系。 令 刚体惯性力系的简化（1） 平动： 平移刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合力，大小等于质量与加速度的乘积，方向与加速度方向相反。（2） 定轴转动：当刚体有质量对称面且绕垂直与此对称面的轴作定轴转动时，惯性力系向转轴简化是，得到位于此平面的一个力与力偶。这个力等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度相反且过转轴。力偶等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积转向与角加速度相反。 (3) 平面运动：

8、 有质量对称面的刚体，平行于此平面运动时，刚体的惯性力系简化为过质心的，大小等于刚体质量与加速度乘积，方向与质心加速度相反的力与一个大小等于刚体对过质心且垂直于质量对称面的轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度相反。 解题一般步骤：（1） 运动学分析：确定自由度，建立加速度间的关系（运动学）（2） 正确计算虚加的惯性力（见刚体惯性力系的简化）（3） 用形式上的平衡方程列出方程式，并求解（静力学）第十五章 自由度与广义坐标一 约束的分类1） 几何约束与运动约束几何约束：限制质点或质点系在空间中的几何位置的条件（只能在其子空间中运动）运动约束：限制质点系运动情况的运动学条件（运动学条件的限制

9、）2） 定常约束与非定常约束不随时间变化的约束称为定常约束，否则为非定常约束。二 自由度与广义坐标在完整约束情况下，确定质点在空间中位置所需要的独立参数个数，称为自由度。如果质点系由n个质点组成的质点系，若受到s个完整约束的作用下，自由度即为，而确定质点系在空间中位置的独立参数称为广义坐标（可以是角量也可以是线量，就像描述点在空间中位置不一定要用笛卡尔坐标系）分析时不考虑守恒时导致的相关性第十四章 虚位移 虚位移：在静止平衡的问题中，质点系中各个质点都不动。我们设在约束允许的条件下，给某个质点任意的，及其小的位移（假想的位移），称为虚位移，用表示。 虚位移的求法 1），和质点系中各质点的速度求法类似（瞬心法，基点法。） 2）若笛卡尔系中的量可以由其他参量（广义坐标系中的量）表示即： 则笛卡尔系中的各个质点系的虚位移有：虚功与广义力：虚功的定义：力在虚位移中做的功称为虚功。由虚位移原理可知：对于具有理想约束的质点系，其平衡的充分必要条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所做的功为0。即其解析形式*运用虚位移原理求平衡时的约束力*：去除约束用约束力代替（可以看做主动力）列出虚功方程求解。*动力学普遍方程* 运用达朗贝尔原理可得到虚加的惯性力（看做主动力）列出虚功方程求解。广义力：由：可知 可得虚功在广义坐标下的公式：令定义为广义力。【将传统意义下的力（笛卡尔坐标系下的力）扩