结构力学之矩阵位移法

1、第十二章矩阵位移法【例12-1】矩阵位移法计算。 w图a所示连续梁，EI=常数，只 考虑杆件的弯曲变形。分别用位移法和2PIP3 1g亦幺6丄I 少十盯2十“犁胆十引I EI日4=02)3(h)/?/8 FJ/4M 图(x/208)基本结构P1/4 2PEI/l-y 1原结构yEi;i2EI/1 4EI/1_P/4Pih.ftp轴图卅尸1 2酗胚图54P1/4 二51图 12-1解：（1 ）位移法解基本未知量和基本结构的确定这里我们将结点1处的转角也作为基本未知数，这用位移法解的基本结构如图 c所示。 样本题仅一种基本单元，即两端固定梁。*位移法基本方程的建立心想+心2日2 +心3日3+尺卩=

2、021日1 +K22 日2 十23日3 +R2P=0，K“q +K32 日2 +K333 +R3P = 0,将上式写成矩阵形式K11K12K13 1RJK21K22K2322卜 + =由叠加法绘弯矩图，如图 h所示。（2）矩阵位移法解对单元和结点编号（图 a）本题只考虑弯曲变形的影响，故连续梁每个结点只有一个角位移未知数。原始结构刚度阵为 4 4阶；用先处理法结构刚度阵为 米用先处理法来说明矩阵位移法计算过程。0，K31K32K331收1R3Pj2系数项和自由项 计算（须绘出单位弯矩图和荷载弯矩图）由图d,结点力矩平衡条件 a M = 0，得a =4EI I，K21 =2EI I，K31 =0

3、由图e，结点力矩平衡条件 v M =0,得K12 =2EL I，K22 =4EI I 4EI I =8EI I，K32 =2EI I由图f，结点力矩平衡条件 v M =0，得K13=0， K23 =2EI I，K33 = 4EI I 4EI. I =8EI I由图g，结点力矩平衡条件M = 0，得Rm = - PI 8， R2P = - PI. 8， R3P = 0将系数项和自由项代入位移法基本方程，得EI42【282028111PI2丿日2 丿4 416EI18解方程，得3 3阶（已知角位移若用后处理法日4 = 0 ）。下面单元标准形式为（图 b）4EIk(一 2Ei2EI 1I(e)斗）k

4、j叮4EII 一kJ k)求局部坐标系下的单元刚度矩阵k(e)求整体坐标下的单元刚度矩阵k(e) = TTk(e)T，因连续梁的局部坐标和整体坐标是致的，所以有k(e)= k(e)，得(注:本题用先处理法换码)按对号入座”2k V44 2_旦-2k2 322 42 44 2-旦-k规则集成总刚,EI 42_0形成荷载列阵P(1)计算单元固端列阵FF=pi丿-181.1/82，(2)F F=PH卜 1/4；2114 3，=PP-1/4： 3 1/4 P (本题结点荷载为解方程，得EI4 201V82 8 22 =Pl1 /8，i。2 8 J.0 ,pi2 4，_1416EI(2)将单元固端列阵反

5、号，并按“对号入座”规则送入荷载列阵 零)1P = Pd 十 Pe = 0 , + Pl1/8 + 1/4 ,= Pl 2-14 14P，得*将结构刚度矩阵及荷载列阵代入矩阵位移法方程K ：计算杆端弯矩F(e)二Fp- k(e)、：(e)= FFe) k(卩)=Fp(e)- k(eT-1818广- u i4 2_4 416EIH%P6广 52l+Pl52Pl52416 38! juJF208 45F (2) = ph-1 4旦4 2上lL14： 冷f4一104l 2 4_416EI-1416104Pl+416 414：J = 208 i 54Pl45F (3) = pi1：l 2 4 416E

6、I0416104-1 4 .旦4 2上14 T冷Plf-104f-4Pl+416 -2【例12-3】只计弯曲变形时，用先处理法写出结构刚度矩阵K 。(设 EI = 1)得各单元杆端弯矩后，再叠加上一相应简支弯矩图即得各单元弯矩图。将各单元弯矩图组合在一起，得整个结构的弯矩图（图h ）。小结：通过本题的计算可看到：（1）基本未知量和基本结构。位移法与矩阵位移法二者都是以结点位移为基本未知量， 以单根杆件（单元）为计算对象。位移法为方便计算，有三类杆件；而矩阵位移法只有一类 杆件，即两端固定等截面梁。（2）刚度矩阵与荷载列阵的形成。位移法是用单位弯矩图和荷载弯矩图并由结点的平衡条件计算系数项和自由

7、项的，而后形成刚度矩阵与荷载列阵的；而矩阵位移法是以单元杆端刚度元素、单元杆端荷载元素，按“对号入座”规则形成刚度矩阵与荷载列阵的。矩阵位移法基本方程的建立，归结为两个问题：一是根据结构的几何和弹性性质建立整 体刚度矩阵K，二是根据受载情况形成整体荷载列阵P。（3） 有（1）、（ 2）可知，二者的关系是：“原理同源，作法有别”。因此矩阵位移法不是 一个新方法，它是新的计算工具（电子计算机）与传统力学原理（位移法）相结合的产物。【例12-2】试求图a所示结构原始刚度矩阵中的子块K22，已知单元 的整体坐标的单元刚度矩阵如图 c所示。EI结点位移编号(c)_ 723600 ；-7236003600

8、2x10-3600lxlO4-72-360072-36003600lxlO4-36002xlO4： 佃）/LS : S J7子块形式图 12-2解：本题每个结点有两个基本位知量（竖向线位移和角位移），如图b所示。单元刚度 矩阵为4況4阶（图c）。由图d所示子块形式， K22的元素应为单元的j端元素（图c右下角子块）与单元i端元素（图c左上角子块乘以2）之和，即K 22 = K+ Ki(i2) = K 22)+ K 22)7 72-3600+严7200 _2163600 -360020000一720040000一-360060000一234 /(b)、话1234单元、结点位移(C)12Z6EI|

9、12Z6EI6EI4反I6EI2EIPT|T112E16EI|12EI6EITi T P 6SI 2EI 6EI 4EI(0, 0)(1, 2)(0, 3)(0, 4) 结点位移编号解：由图d及先处理法结点位移编号图 成整体刚度矩阵。图 12-3c写出各单元刚度矩阵，并按“对号入座”规则集5177.5X 15dr 275552)551 1 rL1鳥-1.551512 0 3O.5O1 f 20.8891.333-0.8891.33310k(3)=1.3332.6671.3331.33330.8891.3330.889-1.333 01.3331.3331.3332.667一 4【例12-4】-

10、2.2501.50106102,K =1.514.6671.3333001.3332.667_4K ,E=常数。叮用先处理法写出图23a所示结构刚度矩阵 1 叽 )3 (0,0. 2)4 (Qf0,3)不计轴向变形影响。护 2(0 0, 1)图 12-4解：本题虽然是刚架，但不计轴向变形影响，即每一个结点只有一个角位移未知量。根据图b所示结点位移编号，则整体刚度矩阵为3 3阶。由于每个单元杆端只有角位移未知量，故单元刚度矩阵为 22阶的连续梁单刚形式。O 21J4 884旦=X72k1 2-HI-2 44 2-旦=X72 3-III-4 88 4-旦=X72 o_220412 30 4 8【例

11、12-5】图示连续梁，不计轴向变形，EI =常数，已知结点位移一出 _=Jql 、52ql12 12EI对12EI1 36EI1 2ql4qlll8EI7 ql2称4EIl 一、0 ,qlJ212EI6EI12EI6EIa所示桁架各杆内力。F单元、的截面面积为A，单元【例12-6】用矩阵位移法求图的截面面积为 2A，各杆E相同。1?4A3V212Aj % x图 12-6解：桁架每个结点两个线位移未知量（图b）。局部坐标系下的单元刚度矩阵为4沃4阶，即0 1-1 10】cosetsi na0k(e)= EA0000，T-sin aCOS a00l-101000cosasi na0000一-00-

12、si nacos0.0整体坐标系下的单元刚度矩阵为k(e)二 TTk(e)T由图 b 可知，单兀 ? - 30， sin : = 3 2， cos- 1 2。单元 ? - 45，k (3)=E8A-3J3-3v30-222/2-2逅-2/2J31-J3-10 , k(2) =EA1-2/2-2/2-33318l-222迈2/22迈-=ni000J3/212EA1.67381：P0.6285001/2冋2 _0.38497,r i0计算各杆轴力(拉)F (2)= Tk 化価2-匝/2002 2-2 200002 2-2 2002222k(2) piEA0i 01.67381-0.38497-0.

13、644200.6442(拉)F二Tk何）0101000000-10010k巴EA0.76990i 01.67381-0.38497 |0門0.7699 i(压)【例12-7】已知图示桁架的自由结点位移列阵.:，求杆12在局部坐标系中的杆端力 设 E =3000kN/cm2，杆 12 的横截面积 A = 18cm2。严03川m -341.834J解:图 12-7:=53.160， sin : = 0.8， cos 匚-0.6。EA 3000kN cm2 18cm2l600cm=90kN / cm-900-9000.6F(e) = k(e)T 於 e)=0000-0.8-9009000000000

14、.8 0 0 (613.803 ”85.32 0.6 0 0厂341.834；10“ = *0kN0 0.6 0.8085.320 -0.8 0.60 0 【例12-8】 用位移法和矩阵位移法计算图a所示结构。各杆材料及截面均相同,J“6血卜2初”82-5 4-2 2E =2.0 10 kN /m，I =32 10 m，A=1 10 m。要求：（1）不考虑轴向变形影响的位移法解。（2）考虑轴向变形影响的位移法解。（3）用矩阵位移法（采用先处理法）解。 10fcV/mft4m(d).66716.667不考虑轴向 变形影响 3.333(g)4EI/1基本结构2(c)诵图6EI/PSA/l(f)(h

15、)21EA/1(j)46EI/12IIIN.6S1/l V4刃“(i)6.198173141(1, 2、3考虑轴向 变形影响3.044W7*123(0, 0, 0)2 (0, 0, 0)iT*O0图 12-8解：(1)不考虑轴向变形影响的位移法求解位移法的基本方程为不考虑轴向变形影响下，仅有结点1处的角位移未知量 乙。K11Z1R| p = 0系数和自由项由图 b、c得Ku =8EM =128000kN.m，Rp = -q|2 12 二 -40 3kN.m将系数和自由项由代入位移法的基本方程，并解得乙=1.042 10-弧度。由叠加法作弯矩图，即 M二MpM, Z,。整个结构的弯矩图如图 d所

16、示。（2）考虑轴向变形影响的位移法求解基本结构如图e所示。位移法的基本方程为K11Z1 K12Z2 K13Z3 R1PK21Z1K 22Z2 K23Z 3 R2PK31Z1K32Z2 K33Z3 R3P-0-0系数和自由项计算由图 f: K“ = 12EI I3 EA l = 1.2 1045. 105= 5.12 105 kN mK21 =0，K31 = -6EL l2 =2.4 104kN由图 g： K22 = K11 =12EL l3 EA l =5.12 105 kN m，K32 一6EI I2 =2.4 104kN由图 h： K33 =8EI I =128000kN.m由图 c： R

17、1P =0，R2P=ql 2=20kN，R3P = -ql2 12 = -40 3kN.m将系数和自由项由代入位移法的基本方程，并解得Z1 =4.621 10“m，Z2 =3.444 10m，Z 9.858 10弧度考虑轴向变形影响的结构弯矩图如图i所示（剪力图和轴力图未画出）。（3）用矩阵位移法（采用先处理法）解用矩阵位移法求解时，单元和结点编号如图j所示。采用先处理法时其整体刚度矩阵为3 3阶。两单元对应的整体编码如下图所示。按对号入座”12EI EAl规则集成结构刚度矩阵6EI712EI EAl l6EIl24EIl6EI有6EI有4El注：(1)单元局部坐标与整体坐标一致，所以有k二k

18、。(2)单元局部坐标与整体坐标的夹角:-=90，须进行坐标变换，即k(e) =TTk(e)T。TTk(e)T运算的结果是将k中相关元素作行列交换。另外当局部坐标与整体坐标的夹角=90时，我们也可直接在整体坐标系下进行对换，如图k所示。按先x后y再转角的次序，则可直接在局部坐标的单元上标注相应的整体编码，本题就是采用这一方法。注意到坐标进行了 x, y轴交换，sin 变号，故副系数须反号。见本题中单元中送入结构刚度矩阵的元宵K13和K31。n荷载列阵的集成。方法一是按Pe =-送fF及fFe) = TT FF(e)进行。另一作法是，由imP - R，于是有0 1P 十20 240/3 J 3将结

19、构刚度矩阵 K和荷载列阵P基本方程，得与前位移法解得的相同结果，即4.621 如0上 u心十3.444。0啓v9.858 x10*6同样得结构弯矩图如图i所示（剪力图和轴力图未画出）。【例12-9试求用矩阵位移法求解图a所示结构时，结点2的综合结点荷载列阵F2 。解：刚架每个结点有三个基本未知量（u,v,日），同时也有三个方向结点荷载项。二3ar1/22Cd)八4(0,0,0)（D需图 12-90（1）结点2的直接结点荷载:02 2虫2 38（2）结点2的等效结点荷载涉及到单元、及的2端的固端力（见图c、d、e）。n按式Pe - 4 fF （ Ff（e）-TTFf（e）应首先应计算局部坐标系下

20、的固端反力Ff（e），而后i d进行坐标变换得整体坐标系下单元固端反力，再“按对号如座”规则反其符号集成。-ql/2、00 、1-ql/2、00ql/220q20 (2)，Ff =ql2/8,3，fF(3) =ql2/12 ,-ql/21 F07F- ql /202ql/280-ql2/12.3厂 ql2/8.9厂 qd/12c得234516c、d、e求出整体坐标系下的单元固端反力Ff（e）。这里我们直接根据图由图b及d、e、P2 E0 (2)q”2、（3）-ql + =+-ql/2卜 =-ql/2q2/6- ql 2/X.0 结点2的综合结点荷载列阵为13012-10】 试用先处理法写出图a

21、所示结构刚度矩阵K 由结点位移分量的编号如图示。-幺【例常数，自。各杆杆长均为I , EI =4 0, 0）2|1 0,0)to2、3)图 12-10解：单元与整体坐标一致。而单元、按图b所示整体坐标系下来进行换码（注意到坐标进行了 x, y轴交换，sin变号，故副系数须反号），而后按下图“对号入座”规 则集成总刚。0单元0002-13单元2-13000单元000123EA000002EAEAEA(1) 12EI(2)12EIt36EI12 El6EIT12EI (3)nr6EI育 EA6EII01EI12EI(1)(2)EAi(1)6EI()12 El,36 El126EIEAi(3)6EI

22、,22EI6577T4EI（1）4EI（）T6EI（1）（2）4EI（）十l(3)4EI ()T【例12-11】 用先处理法求图a所示刚架的结构刚度矩阵K ,略去轴向变形影响。EI 二 02 (1,0,0) 3(1AO) 4(1 A0)El1 (OAO)6 (0,0,0)(c)5(OAO)(b)图 12-11解：由图b的位移编号可知，横梁各结点仅有一个 示（这就是“手算”），按“对号入座”规则集成总刚（这就是“机算”12EI 12EI 12EI 36 EI F3 F3厂- 36EI3。l3【例12-12】按先处理法计算图 a所示结构的刚度矩阵 K。各杆长度为l , EA、El均 为相同。x向的

23、水平位移，其变形如图c的所）K = k（1）k（2）k 用经典位移法解时，其系数K11(a)图 12-12解：单元、结点及位移编号入图b所示。作为理解画出了结点位移的变形图，如图c、d及e所示（这就是“手算”）。按下图“对号入座”规则集成总刚（这就是“机算”）。EA（i）(2)EAI12EII3(3)(4)12EII3(3)EA(4)EAI(1)12EII3(2)12EII3单元213000单元000213单元123000单元000123r eaEAT0000010i12刃6刃12 El6 El0FI20I3F0206EI6EI00030/2IFiEAEA_T00T0010212 76EI12

24、EI6EI0r30,3201IIII6EI2EI4EI00303III2I213000【例12-13】图示刚架只考虑弯曲变形，按先处理法求在荷载和支座位移共同作下的结点荷载列阵 P。已知各杆EI =2 102kN m2 。图 12-13解：图b为结点、单元编号，单元固端反力如图c所示，是由支座位移产生的。5kNPd =1.5kN0Pe =2kN.m0P = Pd + Pe =6.5kN、02kN.m0【例12-14】图示刚架各杆El =64kN m2，结点6有支座的水平位移= 0.01m，竖向位移-0.01m，忽略轴向变形，已求得结点位移为:鳥 4 = b.005208 -0.000547 -

25、0.001719 -0.000547。求单元的杆端内力。ld-0,2)強34)(b)4m4tn%巧%2R16E12SIi3I2F6EI4EI6EI2EIi2IrI2EI6EI6EIFPI3r2EI6EI4lIII2I6询IB图 12-14解：本题有两各特点:（1）不计轴向变形影响，单元刚度为 44阶,如图b所示，不需坐标变换。(2)结点6的支座移动只有 二5对单元有影响，将它作为单 元 杆端位移值，则有Vi玩 Vj扌j T J-0.01 0 - 0.005208 -0.000547_1224 -12 24 1-0.01 、0.07062464 24 320-0.1325、=I1-12-24 12-24卜 0.0052080.0706 f.2432 -24 64 一-0.000547,厂0.1500所以F=kQfcM FCQcfM CF【例12-15】对图示刚架的结点和单元进行编号，并以子块形式写出结构的原始刚度矩竝_0翌。图 12-15解：所谓子块是按单元的 始末端点（结点号）i, j进行分块的。在形式上类似于连续梁的2 2的单元刚度矩阵形式，但对于刚架来说，则每一子块又是3 3阶的。分块单元刚度矩阵形式为：对本例有5个结点，故分块总刚应是 5 5的，如图b