求极限的方法总结精品.doc

1、【关键字】方法、问题、关键、准则、需要求极限的几种常用方法一、约去零因子求极限例如求极限lim=,本例中当x t 1时，x- 1 - 0,表明x与1无限接近，但x丰1, x-l X-1所以x1这一因子可以约去。二、分子分母同除求极限求极限lim3x3 + 1三型且分子分母都以多项式给出的极限可通过分子分母同除来求。X2三、分子(母)有理化求极限例:求极限 lim (Vx3 + 3 一 y/x2 + 1)KT8分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。例：求极限limKT0vl+tanx-V 1+sinxJ1 + tanx _ Jl + sinxtan 七 sinxtux3- d x3(V

2、l + tanx + VF+sinx)1Vl + tanx +11 + sin xliin.v-MJtan x-sin x 1 tan x-sin x 1 lim=”=2-() x3 4本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键。四、应用两个重要极限求极限两个重要的极限(l)nm=l(2)lim(l + -)x = lim(l + x)x = e KT8xkto在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利 用公式。例：求极限lim(近尸KT8 X1第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出1,再凑1 +匕 最后凑指数部分。X2x+ 12(1 V

3、12 1lim ()x= lim (1 + )x= lim 1 + y(1 + 厂)可=eKT8 X 1 KT8 X 1 KT8 X 丄)X 1五、利用无穷小量的性质求极限无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。这种方法可以处理一 个函数极限不存在但有界，和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。例：求im氾KT8 X因为|sinx| 0 -x2例：求极限limx-0sinx-xtan3x3x2sinx-xsinx-xcosx-1lim =lim = lim ktO tan3x ktO x3x-03x2七. 利用函数的连续性求极限这种方法适合求复合函数的极限。如果u = g(x)在

4、点X。处连续g(x0) = u0,而f(u) 在点X。处连续，那么复合函数y = f(g(x)在点X。处连续。lim f(g(x) = f(g(x0)=X-XO也就说，极限号lim与河以互换顺序。 X-Xo例：求 lim ln(l + )x令 y = lnu, u = (1 + 非因为lnu在点u = lim(l + -)x = e处连续X-*0OK所以 limln(l + -)x = In lim (1 + -)x = lne = 1X-*OOXX-*OOX八. 用洛必达法则求极限洛必达法则只能对专或兰型才可直接使用，其他待定型必须先化成这两种类型之一, 0 oo然后再应用洛必达法则。洛必达

5、法则只说明当也存在lim験等于A时，那么 g（K）lim嘤存在且等于A。如果lim荽不存在时，并不能断定lim姿也不存在，这是 g（X）g（X）g（K）不能用洛必达法则的，而须用其他方法讨论limo 例：求极限limlncos2x-h：(1+sin2x)KT0X2, lncos2x - in(l + sin2x)limktOxz1 、1 + sin2x)一2sin2x _ sin2xqQv i -1- cin2ysin2x2lim coszx 丄十 sin x =恤(kto2x2x cos2xx-0九、用对数恒等式求limfO）能）极限liml + ln(l + x)l = limelln1+

6、ln(1+x) = ei時咚凹=e2ktOx-0对于18型未定义式，也可以用公式 limf(X)g(x)18 = eHmf(x)-lg(x)因为limf(X)g(x)= Jmg(x)ln(l+f(x)-l) = Jimf(x)_lg(x)十、利用两个准则求极限夹逼准则：若一正数N。当nN时，有xn yn zn, lim xn = , lim zn = a,则 KT8KT 8有 lim yn = aKT8利用夹逼准则求极限关键在于从yn的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出 两个有相同极限值的数列Xn和Zn,使得Xn Y Zn o例乂厂禽+為十+禽求Xn的极限。因为Xn单调递减，所以存在最大项和最小项111_ nX yfn2+n + vfn2+n + n2+nn2+n111nxn oo vn-+l所以limn8单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推 公式求极限。例，证明下列极限存在，并求其极限。Yi = Va ,y2 = J a +证明：从这个数列看儿显然是增加的。用归纳法可证。 乂因为y2 = Jam = Ja + y2 yn =+ Yn-i所以得y盒=a +