徐芝纶弹性力学第三版习题解答

1、徐芝纶弹性力学（第三版）习题解答尹久仁2005湘潭大学第二章2-1如果某一问题中，6 = Tzl = r.r = 0 ,只存在平面W力分最,且它们不沿Z方向 变化，仅为的断数，试考虑此问题是否就是平面应力问题？解由J-Tifti问题具有相同的平衡微分方程和儿何方程，现将b： = j = ro. = 0代入卜列方程16=尹厂心+ 6)5 专0-心+ 6)6=扣-心+ S)1 1 1 yz =石 j 则有A zx6=(丁-如)E 专 一6)这正是平而应力的广义虎克定律。同时，在平面应力问题中，6 =0,当沿Z方向的应变并不为零,而有J =一(6 + 6).2-2如果某一问题屮，6=y=，只存在平面

2、应变分最6迅，為，且它们不沿Z方向 变化，仅为兀y的函数，试考虑此问题是否就是平面应变问题？解由J：平面问题几仃相同的平衡微分方程和儿何方程，现将6=人，=人、=0代入卜列方程16 =尹-(6 + 6)5 专0-心+ /)J =誣-心+ S)则佇6 =三6一 + 6)E=右6-(匹 + 6)0 =右6一(6十)1h = Gr-也就是3E1+、佥IE1+“-2“E2(1 + “)E2(1 + “)入这正是平而应变的广义虎克定律。同时，在平面应变问题屮.& =0,当沿Z方向的应力并不为冬, 且有|k /6 =心+5).2-3试分析说明，在不受任何面力作用的空间体表而附近的薄层 中，图2-11,其应

3、力状态接近J：卜面应力的情况。卜解：设薄层的厚度为5,由J：Z方向不受力，即若薄层足够小.则可认为在实耳度5范H；l内上述三应力保持与表 面-致，考虑上述近似，则仃其中e=nj为体枳应变，改写z,则有乞冷2 -厲耳专D-如1/xy=-rxy可见在5范囲内为平面应力状态。52-4试分析说明，在板面上处处受法向约束II不受切向面力作用的等 厚度薄板中，如图示，当板边上只受x,y向的面力或约束，但不沿厚度变 化时，其应变状态接近平面应变的情况。解：由图知，两个刚性平而与弹性薄板为光滑接触，所以在薄板板面 上有az:-,/2 式 丄切2 = 4、L“2 = 0(3)由板很薄，周边压力又不沿厚度方向变化

4、，也就是说板不会产生弯 曲，可以认为在整个弹性薄板的所仃各点除仃与板面相同的应力分駅7 HO,r” = q = O(b)此外，还冇6。、,它们仅是x,y的函数，与z无关。注意剪应力的互等性，所以 5 = 0,rv. = 0 o又因为两个固定的刚性平而只阻止周边受压弹性薄板的膨胀，即只阻止板内点在Z方向的移 动.所以位移分?：vr=o,因而应变分最& =0。再由各向同性体的广义虎克定律1E=黄6-“(5+君=e匕-(7+巧)卜- b1c1C7_“(a+bJ = 01 一 “21-7V1人=訐必可见，爲,必 仅是x和y的函数，丄 = y：x = V =0o可见符合平面应变问题的两个判别条件,所以问

5、題得证。同时，由式(c)还得到平面应变问题的物理方程一丐1-2(1 + )/ =r =-rf G 兀 E yz2-5在图23的微分体屮，若将对形心的力矩平衡条 件巩 =0,改为对角点的力矩平衡条件，试问将导出什 么形式的方程？解：若选取图示F点为矩心，并设单元体厚度为5 = 1,则(兀、(da g+ 卩 dvSddT+ 7 +dv.tvrI &丿l去)咖= o，W(碍dy曲一匕+詈d屮碍碍I 6化简厉两边同时除以&kdy,忽略二阶以上的微凤 贝怖dv葺+沁碍一泌碍“7#2-6在图2-3的微分体中，若考世每而上的应力分届不是均匀分布的，试问将导出什么形式的 平衡微分方程？提示：当考18至二阶微磺

6、的条件下，上两题都将得出相同式(21)和式(22)的平衡条件。解：所谓单元体徐面上应力分杲不是均匀分布，即应力分杲是随x,y逐点变化的，P.A.B.D点 处的应力是不同的，应力是一个歯数/(x,y) 设此函数在点x = xp9y= yp处的值为jxpyyp)或 fp ,则把f(xp + dv, yp 4- dv)展开为Taylor级数时，就求得邻近点x = xp + dv, y = yP + dy处的 曲数值为：rQ#fg + dx, yp + dy) = /(?+dy2 +d?+丄7(a)dvdv + p式中(尉，(筍 等表示在点(卩,力,)处的-阶偏导数.若设 / (x + dr, y)

7、= ay (x9 y)并令 dy = 0 ,得Ob1 d2av 2 1oa=o.+ dv +Ldx + dv + - dx2 dx2 6 dv3可见PA微分面上的应力分磧6是按非线性规律变化的。 同样，如设/(x,y) = o(x，)。并令山 =0,又得60； ,1 0匕 1 夕6.3b诃=o+dv +dv* +dv + “內2 肝-6 N r(drxx5rvr rvv + dv 讯6丿/+rvr + R dv + J dyl -&勿 Jtdv+dx丄2严 dxvx +X/dvdv = 0式中/为六而体厚度。将式(d)展开约简以后，两边除以Khdy,得 da 比J- + +X=0 dx dyF

8、同样iijir = of得;D=erv+dv + dy2-7在导出平而问题的三套基本方程时，分别应用了哪些基本假定？这些方程的适用条件是什 么？解:基本方程幕木假定适用条件平衡微分方程连续性，小变形，均匀性任意条件几何方程连续性，小变形，均匀性小变形物理方程连续件，小变形，均匀性，完全弹性，各向同性完全弹性，发生泊松变形28试列出卜列两图所示问题的全部边界条件。在其端部边界上用用圣维南原理列出三个枳 分的应力边界条件。I Q h= i)9#解：边界y = 0,cy尸 -pgh“厂j尸 = 0边界 y = /q “Lw=o|f=O边界 x = 0ax | v=0 = -pgy(O y 他),r=

9、0边界 x = bbj = -pgy(O y0X- 5ch =2丿12V-L5dv=0#山此可见，两问题是静力等效的。210检脸平而问题中的位移分磺是否为正确解答的条件是什么？解：应满足形变协调方程，即相容方程：玉+玉=竺令2ax2 沏FOF2-11检验平面问题中的应力分彊是否为正确解答的条件是什么？ 解：应满足应力表示的相容方程：(6 + S) = -(1+“)(dX#解:212检強半面问题中的应力頤数O是否为正确解答的条件是什么？ 应满足重调和方程V=0o2-13检脸卜列应力分吊定否是图示问题的解答:(a)图,)#解：将上述应力代入到Navier方程.满足。再将其代入用应力表示的相容方程，

10、不满足相容方 程。所以不是正确解答。Mv(b)图2-17,由材料力学公式，6 =亠= 冬(取梁的厚度b = l), bl.得出所示问题的解#答:迹沪2#乂根据平衡微分方程和边界条件得出3gxy 2qxy qx2lh lie2/试导出上述公式，并检验解答的止确性。 解：又代入上面的方程得到er十上=*宀与一響x /6/ If 11?5er叽 ar3q 、 f+ = J =- 一 y = + /(x) dx 0v J dx /3r(rxy)v-0.5/i =xyxyO.75qx2冶、-一 (加-4厂)11#dr 将口代入于#又/6=瓷 则g(x)=-知故代入到相容方程,不满足，所以不是正确解答。需

11、(4)J 3/iy)x+g(x)#2-14试证明：在发生最大与最小切应力的面上，正应力的数值都等于两个主应力的平均值。 证明：山应力张彊或者主应力张吊得方向的正山力为+ ”o心 + 叫)(1 /n)Ta n = (I in)(/ 7)t = (laxr b1l小v=l2ax + nr(Jr + lmrxv = l2 + nr(J2则剪应力为记=加一云=加(by _ bJ + (/2 -m2 )rn. = lm(a2 -巧) 由于/2+m2=l,消除加,得到F； = 土/Jl-/(6 _ 5)= yjl2 -I4 (从而有m = 1 I2 =,此时由上式可见，当时，匚取得最大或最小值。于是，得到

12、心_ 5 + q _ 6 + 65册陰证毕。215设已求得一点处的应力分炭，试求5,6，巧。= 100, /50 :解：由应力张蹴6丿P】1 %、01 a22)其特征方程为det(b-AI) = A2 -(100+ 5Qy/2)A 一 2500(1- 2血)=0其解为33.25人=2 + 72 + 710-472 =137.46.2, =2 + 忑-&0 - 4忑 二5 = = 200 解：由应力张量=2 + /2 =。厶=0”)=貝特征方程为+ J10 -, 6=2 + y/2 10 42 ,CTj 0=-400 :%呵=(200-400、%丿1-(-4000det(a-27) = A2 -

13、2002 -160000 = 051巧2、Z_ 6叮(-2000-4006%S丿一 -4001000/=-400 :(b”)=det(r-2Z) = 22 +10002 -2160000 = 0其解为人=100(1 + 庐丛=100(1- V17)5 = 100(1 + V17), a2 = 0, cr3 = 100(1 - V17) (3) 6 =-2000。、=1000、 解：由应力张量具特征方程为人=100(-5 + 7)2 =100(-5 - ViJl)=100(-5 4-/241T2 =0.cr3 = 100(-5-/24i) /?),还=0, = 250(-1-375)2-16设白

14、任意形状的等度薄板,体力可以不计，在全部边界匕(包括孔I I边界上)受有均匀斥力 试证丁 =丁 =-q及r“=0能满足平衡微分方程，相容方程和应力边界条件，也能满足位移单值 条件 I対而就是正确的解答。提示：(1)在校核边界条件时，应考1S边界为任意的;M边界，并应用公式(215)。(2)対J：多连体的情况应由应力分晟求出位移分彊.再校核位移单值条件是否满足(参考第三章 中求位移的方法)。解：不计体力，即X = K = 0 o将a = a = -q及rn = 0代入到Navier方程，满足。 代入到相容方程2 2 尹 + 刍(b,+b、) = V-2q) = 0满足。代入到边界条件Il(Jx

15、+ mrxy +ql = 0q、+/rn +qm = 0满足。所以是正确的解答。2-17设仃矩形截面的悬肾梁，在门宙端受仃集中荷.0h2力/2一 / .载F,图2-18,体力可以不计。试根据材料力学公式，F严写出弯应力6和切应力rvv的表达式，并取挤压应力 5=0,然肩证明，这些表达式满足衡微分方用和相 容方程，再说明，这些表达式是否就农示正确的解答。解：由材料力学，丁=竺,=咚学代入x 厂 =0,得到ex dvF+ /（x）#由r，U=0*得/一#则#12/xv6 F v* 3F将a=，牛=叭一-亦代入到应力相容方程2J8试证明,如果体力虽然不是常量,但却是有势的力，即体力分量可以表示为 人

16、一石4一贾go其中V是势换数，则应力分最亦町用应力函数表示成为&7dxd试导出相应的相容方程。证明、卜面问题中的平衡微分方程为现将 dV Y dVX击一示b 时.根据S-N原理还可等效为偏心受拉问题(图b)o 当d 0时为偏心拉伸，当a V 0时为偏心压缩。3-2取满足相容方程的应力函数为:(1) (p = ax2y ,(p = bxy (3) cp = cxy3,试求出应力分杲(不计体力)，画出图示弹性体边界上的面力分布，并在次要边界 上衷示出而力的主矢量和主矩。oh/2(h b)解：d2(pd2(p6二盲= 0=乔=2好厶d2(p=dxdy=-lax在边界 y = -h/2 处.I = O

17、jn = -l = /=0,满足。齐方程应力通解为d2(pat = ar=d2(p八= oxd2(p12F04F - F c “ 碍歹* 一乔一仃）在边界 y = -hjl 处，/ = Ojn = -1X =l(7xF + 7 GY=irs+ m oxyi/2i/2 = =0X#在边界 y = /2处，/ = Ojn = 1.7/2=0=0在次要边界x = 0 h, / = -Lm = 0E +川G.n*+ /? T ./y2dy = -Fl能满足相容方程.并考察它在图示矩形板和朋标系中能解决什么问题（设矩形板的长度为人高度为h,不计体力）。解题方法完全同33,此处解略。oh2h/2(h b)

18、3-5设冇矩形截而的竖杈密度为宀在一边侧面I：受冇均布剪力j 如图所示，试求应力分最。解本题采用半逆解法，即先根据己仃力学知贝分析图示柱子的应力 分布规律而设定某个应力分起的函数形式，然后反推出应力函数并使貝满 足相容方程和应力边界条件。结合图受力特点以及材力知识，可知这屈J- 偏心受压.纵向纤维间无挤压以及剪应力的分布只是X的函数，故町假设:hpkA）dy = ：；2（6L）dy = 0 丄）dy=f仙4 12F V其边界如图示。町见能解决悬臂梁在自由端受集中力作用的问题。3-4试证积分得代入到双调和方程得必仃故丿卫力分量为利用边界条件，可得故仃应力解答= 0,满足。其应力通解为d2(P八r

19、d2(p r=吞=6阳.n* = -A-3B.V dxdyr在边界 x = b/2 处.X=0j = +q9 / = iJH = o,有在次要边界y = 0处，X =0,F = 0, / = 0冲=1,由J无法确定枳分常数，可选择圣维南边界,显然，第一式恒满足。山第二式，*/2, BbLb/2 J_fe/2(-A-3-)dv = - = 0联立得IT代入上而应力表达式，则自a=012q 砖丹 r 一 余申 _q &i # 号 dxdy 2 b2 3-7设单位厚度的悬臂梁在左端受到集屮力和力矩 作用，不计体力，/力，如图所示，试用应力函数 (p = Axy + By2 + Cv3 + Dxy3

20、求解应力分起。解：将0 = Axy + By2 + Cv3 + Dxy3代入双调和方 ffiV2V=0,满足。其应力通解为= v = 28 + 6Cv+ 6Dxy x丹rd2(p八ay=dx =_ d2(pdxdv= -A-3Dv2F在主要边界匕 y = /2,X = Y = 0,/ = 0,m = +1,aA + -Dh2 =Q4在次要边界上，将应力通解代入上式，可得J；2 (2B + 6Cv)dv = 2Bh = -Fn C(-A_3Dy2)dy=r/r/2|d 一行丄 /丄o)dy-Mf：, (IB + 6Cy)dy = C 手=_MF37F宀卞一护亠-卞2hA壬18Af 12Firy-

21、JTxy/F r38设图示三角形悬宵梁是受重力作用，而梁的密度 为Q,试用纯三次式的应力函数求解。解：取纯三次式应力函数为(p = Av3 + Bx2y + Cxy2 + Dy3可验证其满足双调和方程v2vV=o o选取与体积力X=0.Y = pg对应的特解为=0应力通解为守2。反= 6 Ay + 2Bvy dx2d(pf n =-2Bx-2Cy dxdv-r从而有a; = d; + erf = +cr： = 2Cx 內2b、= + 戻=+ 戻=6Ax + 2By- pgy arrvv = J 4- r. = -4- = -2Bx-2Cy dxdy c由边界条件,在y = 0面上,X = 7

22、= 0, / = 0,w = 1则=0卩y=0得到 A = B = 0.在 y = xtana 面上，X = Y = 0 9 I = -sma.m = cosa , =0v=x tana+ Qva tanaC = cota,D =2-牛c。賦从而佇 = Oo选取与体枳力X=O= Qg对应的特解为b=0Q、-Qgy球=0应力通解为&x = - = (6Ay + 2B) + x(6Ey 2F) - 2Ay3 - 2Bv2 + 6/v + 2K 茁 2Fa = Av3 + By2 + Cy + D-dx2dxdy-= -x(3Ay2 + 2By + C) - (3Ey2 + 2Fy + G)从而仃o

23、 =+ cr： =cr = (6Av + 2B) + x(6Ey + 2F) - 2Av3 - 2Bv2 + 6Hy + 2Kdy2b、,=反 + 長=癸+ 戻=Av3 + By2 + Cy-D-pgydrJ = fn. + r； = - + r. = -x(3Ay2 + 2By + C) - (3Ey2 + 2Fy + G) oxcxr由边界条件确定待定常数。考堆到对称性，应为X的奇两数，6和丁.应为X的偶两数，故由应力的第一和第三式得 E=F二G = 0注意到利用了対称性，相当于利用了二部分边界条件。=0长边：y yhftA h lrA+ B +84 J= 0丄+ 怒3 = 0,+6-疋+

24、必3=03lr2f28422A + hB + C = QyA-hB + C = 0 44B = D = 0,A = -=-,C = n2短边:lZady = 2Kh = 9crxydy = 2Kh = 027#从而有#S = pgy 卡+器，（卩_小-|xy l誉3 11111TTT1OA/2 lxI:y3-10图示怂臂梁，长为人 高为h , /,在边界上受 均布载;荷Q,试检验应力函数能否成为此问题的解？若可以，试求出应力分彊。(P = Av5 + Bx2y3 + Cv3 + Dx2 + Ex2 v解：将代入。代入到双调和方程v2vV = o,得到24(54 + 3) = 0因此耍使成为应力

25、惭数.需满足5A + B = 0,即(p = Ay5 一 5Av2 y3 + Cy3 + Dx2 + Ex2 y可以作为应力函数。应力通解为a = 2 = -3OAx2 y + 20Ay3 + 6Cy x d2rtv = - = -10Av3 + 2Ev + 2D，dx2d2(p，j = -2Ex + 30At* I v/r/2 %在上边界=-h2匕X=0.Y = q9 / = 0jn = -l,则由 + m j = a=Yy y/i/2-2 Ex 4- 30Av = 04h10A-2E+2D = -q8 2在卜边界y = h2匕X =0,F = 0, / = 07 = l,则力.-2Ex +

26、 30 At = 0410/1 + 2.E卜 2D = 08 2可得2q10/?在左边界x = 0, x =0,y = 0, / = -l,/n = 0,则宙SN原理，有6Cy)dy = (5Ay4 + 3Cy2+ 6Cy2 )dy = (4Ay + 2Cy)T三oLh/2dv = 0得故有C = 25h12(/ 2 8(7 1 6(/ 一丽丽y 一v5旷 5h 2 _丝& +25hy5h12(7,诸矿3-11扌半十墙的密度为p, *应为/?,如图所示，水的密度为 /,试求应力分量。解：采用半逆解法。根据受力特点，假设6 = V(y)考虑到X=Qg = O,则有积分得0=?/(刃+劝(刃+/2

27、(刃o代入到相容方程，并注意到方程不随K变化，即仃族系数均为零，解Z可得 f (刃=Ay3 + By2 + Cy + D f2(y)=Ey3 + Fy2/i(y) = _刍_ 分 + 时 + Ky2 + Gy10 o最后得兀3(p = -(Ay3 + By2 + Cy + D)Hy3 + Ky2 +Gy) + Ey3 + Fy2这里已经舍弃一次项，它倉冇9个待定常数，可利用应力边界条件解得31#3-12为什么在主耍边界(占边界绝人部分丄必须满足桁确的W力边界条件la += X - (*) g + nq = Y而在次耍边界上可以应用sv原理，用三个积分的应力边界來代替(*)?如果在主要边界上用三

28、个积 分的应力边界条件来替代，将会发生什么问题？解：根据SamtAenant原理，当一个力系作用J弹性体某一小区域内时，如用与该力系静力等效 的另一力系替代，则厉者对物体的作用效应，除在力系作用处的较小局部范閘仃影响外，对距力系 作用处稍远的比它部分的效应与前者基木一致。对J：次耍边界，直特征尺寸和对结构的最大尺寸 较小，等效载荷的形式対结构内部向力、应变等的影响只局限J较小区域，所得理论解他区 域仍然可用，即使在其他等效荷载作用Fo如果在主要边界上川二个积分的应力边界条件來fl代， 所得的解答仅在某一种载荷形式下冇效，外载的任何微小变动都将影响弹性体的应力等的变化，使 得解答变为不可用。很多

29、时候.在一些应力边界区域要得到精确的某一种我荷分布是很困难的。第四章1.试比较极坐标和直角坐标系的平衡微分方程、儿何方程和物理方程，指出哪些项是相似的, 哪些项是极坐标中特有的？并说明产生这些项的原因。解:比较如下Navier 方程 直角坐标系吆+理+x = odx dy6bv+r = o dx dv极坐标系dar 1 drrA ar 一 er.+ +Kr =0 dr r d6 r贮空+理+込+r d6 dr r eCauchy 方程 由极坐标和宜角坐标同样是正交坐标系,所以.极坐标物理方程与直角坐标物理方程具有同两纽方程都包侖三个未知皈数，不同的是在后者的两个方程中并自增多了第三项（6-b&

30、） 和:;&，这是因为在极坐标的微分体对边微段“平行不相等，相等不平行”所致。这也反映了极 坐标的特征，所以后者两式中第三项表示了极坐标的特征项。#样的形式,只是卜标X改换为几&。#COS&i sin 0一 sill 0)( ur3.在轴对称位移问题屮，试丫出按位移求解的丛本方程。并证明=缶+色,知=0可以满足此基木方程。解：在平面应力问题中.将Hooke定律表达为应变扌II关的形式，即Young-Poisson形式a3 =& 1-+%)1-VE (、VE2(1 + v) Yre将Cauchy方程 dr1 duf cue & +r rr dO dr由是轴对称问题.因此位移分最也将仅是r的函数,

31、则上式变为2.试导出极坐标和苴角极坐中位移变战的坐标变换式。解：令点M(/,&)在变形中沿厂方向的位移为匕，沿&方向的位移为：/方向线元的正血变为。方向线元的正应变为, 厂与。方位线元的剪应变为人,那么，厂。与M点在oxy系中的 位移“川的关系为U = ur cos 0 一 ud sill O.v = ur sin 0 - u6 cos 3或者33#将其代入式得E2(1+ v)#将代入到Navier方程(考虑到应力分啟仅是r的函数)#化简后成为#这是一个关Jr的二阶变系数非齐次常微分方程组。对尸平面应变问题，只耍将上述方程组屮的弹性常数作如卜蚩换即可匸 Ev1-V1 一卩4.试导出轴对称位移问

32、题中，按应力求解时的相容方程。解：卄丿力函数0与8无关，只是尸的萌数，即0=仅厂)，则应力分 gS，陥亦只是厂的函数。若不计体积力，我们有应力函数0(厂)满足的方程相容方程成为d4 2 d3 1 d2 Id）上述方程的通解为（pr） = A nr+ Br2 In r + Cr2 + D.相应地，应力通解为AA6 = + B（l + 21n） + 2C,b& = -4- B（3 + 21nr）+ 2C,Tr0 = 05.试由一阶导数的坐标变换式,导出二阶导数的坐标变换式43中的式(a), (b), (c) o 解：极坐标与宜角坐标存在卜列关系r = x2 += arctan x x= rcos

33、O.y = rsin因此有35#7 = CS=r=SinFdrdx设将由直角坐标系中的应力函数变换为极坐标中的应力函数，有厂=r(x9y),0 = y),且其反函数也存在,即x=Wy=)OP),则有0(几&) = (x(匚 &),)(几 &)此即可利用高等数学中的复介函数求导法则.得到d(p _d(p drd(pd6 _d(psill 0 d(pdx dr dxd6dxdrrdOd(p _d(p dr d(p dO _cos& d(pOv dr dydOdvdrrdO对二阶导数,则d2(p _ d ( d(py= drj俘+. dr dx dO dx ) dx dO-ddx-d = dr+_L

34、徑崖 dx l 去丿 dvdr d(p d6 dr d (= = a cos O+cr&siir 0-2rresincos Or则由A$(p.Sa 2sin&cos& d2(p cos2 0 d(p 2sin&cos&00 cos2 0 d2(p= snr 6 +vdr八1 d2(p)d2w1 d(p=F ?ir dr r 比较前述两式，则cos2 & +drcO + d2(p - -4-sin2(9-2 drr drr(1 d2(p 1 d(pr drdO r dOdO r2sin & cos &d021 d(p 1 dz(pCT = +r r dr r2 dO2d2(pe dr21 d2(

35、p 1 d(pTre r drdO r2 dO7存一实心圜盘，外边缘受均布压力q作用，试求圆 盘内的应力分鼠。解：本题是一轴对称问题，因为结构本身相荷载均对称 F圆盘的中心轴，在此情况卜，应力分布必然也是轴对称的, 即处在同一个同心圜柱面上的各点应力状态必然相同，曲此 可知应力函数及应力只是坐标值广的函数，与&无关。由相 容条件&毎借詈卜。fy展开，得到d40 2 d01 dV 1 d。歹十7庐一 7茁4V57 一具通解为卩(厂)=Anr+ BrlnrCr2 + D应力分?:为Aaf = + B(l + 21n r)+ 2CA+C6)求解应力分 ?：o解：将W力函数代入到应力相容方程d21 d

36、1 d2 f八丽+ ：亦+/莎丿0容易验证其满足方程。相W地应力通解为7=丄住+丄空=2-2阴】2& r r dr r- d6巧=?=2C8+23sin2& dr2竝一、塑一C-2B028 r drdO r2 d0考虑苴边界条件。在&二士刃2上，夕=0二q,代入可得 Ia yB = , C = 07则应力分暈为6 = qsin2&ae = -q sin 20小=geos 2810.试证明应力函数(PMO/Itc能满足相容方程，并求出对 丿“的分竜。若在内半径为4、外半径为bH厚度为1的関环中发 生上述应力，试求出边界上的面力。解：将应力曲数卩代入相容方程d1 1 d 1 d- f cdr r

37、dr r 2展开后为(夕 2 61 夕 1 2/2 夕 4 a2 1 a4(沪+： 戸 _P沪+7不+? 沁 6 _7令須 +?亦+尸丽)可以验证其满足，故可作为应力函数。应力分彊在心的边界上汕广跖：在上11.设上题所述的圆环在r = a处被固定，试位移分駅。 解：将上题的应力通解代入物理方程由几何方程可知G)根据边界条件，当r = a时，边界是固定的(题4。2图)。由r = 0,得pin才=0,心“)dr当r = a时,对任意8角都有舛=0,即ur6) = 0,由式(2),可知 duA八=0 d0因此知=知(” 再由式(3),可得根据剪应力与剪应变Z间的关系，得cue ue _ M dr r为求位移分吊:如，必须求解式(4),令r=F ,对式(4)进行代换代入，得些 M dt方程Z通解为设代入(5),得|仃=% +咚1% = Cd= Ae- Ae - Aef = -2叩A厶4矽由此得ud = Cd4%根据边界条件，r = a时，=0,即I厂MuA = C