正方体的截面图完整版

1、 什么是截面？什么是截面？ 截面就跟他名字一样，就是像用刀子切 出來的面。 虽然有很多种切法， 但在这里只讨论切平面而不讨论 曲面。 截面：截面： 现在要讨论正方体的截面 先把正方体的截面形状分成几个部分讨论： 一、三角形：锐角三角形三角形、正三角形、 直角三角形、等腰三角形、钝角三角形 二、四边形：正方形、长方形、平行四边形 、菱形、梯形、等腰梯形 三、其他：正五边形、 正六边形、 正七边形 我们先设一正方体边长为n，如下图： 开始讨论截面吧！开始讨论截面吧！ 三角形截面：三角形截面： 正三角形：等腰三角形： 其他直角三角形、钝角三角形都无法截出 因为三角形至少其中一个顶点必须要在正方体 的

2、顶点上，而一顶点在正方体顶点上之最大角 度即为最大之正三角形的度，否则如果 图形沒有任一点在正方体頂点上而在边上图 形变数最少即为四边形；所以不可能出现直 角或钝角三角形（角度小于度）。 但有人想如果我这样切（下面二图） 不就可切出直角跟钝角吗 ？ 答案是：沒有这种切法。 因为你看看，此两图虽然两条边都在正方体 之一面上，但是有一条边是存在于正方体內 ，而这样就不是截面了。所以这是不可能出 現直角或钝角三角形。 面积最大的三角形截面： 四边形截面：四边形截面： 正方形：长方形： 四边形截面：四边形截面： 梯形：等腰梯形： 这样來做个说明： 为什么会平行？ 因为： 正方体那一面和那一 面是相对的

3、面，因为截面不会 弯曲，所以只要切到之两面是平 行的，此两边就会平行。 四边形截面：四边形截面： 菱形：面积最大的四边形截面： 此四边形两点位于 正方体顶点，两点位于 正方体边长之中点，所 以此四边形四条边都是 ，而四角不相等， 所以此四边形为菱形。 n 2 5 大于四边其它的截面：大于四边其它的截面： 五边形：正六边形： 可是这样又不能确定是正六边形 虽然我们知道它每一边都是 2n 但是它每个角得120度才行 來确认吧！ 要怎么算呢？ 只要把它当成一长方体对角线 算就好了（见右图） 首先取六边形中一三角形 （如右图蓝色部分），只 要确定的度数是120就 好了，首先要先算出 的长度。 222

4、ZYX 依长方体对角线公式： n n nnnBC 2 6 2 3 ) 2 1 () 2 1 ( 2 222 所以： 再算出 BCAB. 长为 n 2 2 三角形就完成边长了（右上图） （各代表长方体的长、宽、高。） 算到之高 n n nn 8 8 8 1 ) 4 6 () 2 2 ( 22 接着把、的一半和 上的高比起來 3:1:2 6:2:22 62:22:24 4 6 : 8 8 : 2 2 nnn 而这三边比就是直角三角形30度.60度.90度 的组合，所以角的一半为60度。 所以角就是120度啦！ 因此这六边形是正六边形 。 大于四边之其它形状截面：大于四边之其它形状截面： 六边形以上

5、的多边形无法切出來， 为什么？ 因为正方体每个面只能有一个图 形的边，才是一个直的截面，才 能切成一直线，每个面只能有一 条边，而正方体只有六个面，所 以截面最多只能有六条边。 最大面积的截面：最大面积的截面： 有两个图形（长方形跟正六边形）比较可能， 來比较看看吧。 可是用看的实在看不出哪个大 那就用来算算吧！ nnnn22 222 先算长方形面积 长方形比较好算，只要长乘以高 宽就是正方体边长n了 那长就依照华氏定理 两股为n，斜边长即对角线长 再乘以n，面积就是 2 2n nnnn 2 2 2 1 ) 2 1 () 2 1 ( 22 正六边形面积就比较麻烦了 先把它切成六个正三角形 如右

6、图 则其一正三角形边长AB即为 右图即为之放大图。 要求面积就得先知道此三角 形的高， 來求吧 斜变为 n 2 2 ，底面一半n 4 2 就當一股 n n n nn nn 4 6 8 24 8 3 8 1 2 1 ) 4 2 () 2 2 ( 22 22 这就是的高啦！ 運用商高定理 面积就是底乘以高除以二 即是 比较两个面积大小 长方形面积是 2 2n，而正六边形面积为 2 4 33 n 由於23和 不能直接比较，所以取近似值 最后近似值长方形面积就是1.414n2， 正六边形面积近似值就是1.299n2 所以正方体最大截面是长方形， 面积是1.414n2！ 2 8 3 2 4 6 2 2 n nn 再乘以6（六三角形）則正六边形面积即为4 33 结论： 正方体的三角形的截面只有锐角三角形而 不会有钝角或直角三角形。 正方体面积最大的三角形截面是正三角形。 正方体面积最大的四边形截面是长方形。 正方体截面最少边是三角形，最大边是 六边形。 正方体截面最大为长方形。 结论与感